Комплексный логарифм

Логарифм комплексного числа

Одна ветвь комплексного логарифма. Оттенок цвета используется для обозначения аргумента комплексного логарифма. Яркость цвета используется для отображения модуля комплексного логарифма.

Действительная часть log(z) представляет собой натуральный логарифм | г | . Таким образом, его график получается вращением графика ln( x ) вокруг оси z .

В математике комплексный логарифм представляет собой обобщение натурального логарифма на ненулевые комплексные числа . Этот термин относится к одному из следующих явлений, которые тесно связаны между собой:

• Комплексный логарифм ненулевого комплексного числа , определяемый как любое комплексное число, для которого . ^{[1] [2]} Такое число обозначается . ^[1] Если задано в полярной форме как , где и действительные числа с , то является одним логарифмом , и все комплексные логарифмы являются точно числами формы для целых чисел . ^{[1] [2]} Эти логарифмы равномерно расположены вдоль вертикальной линии в комплексной плоскости. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ln r+i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$ ${\displaystyle k}$
• Комплекснозначная функция , определенная на некотором подмножестве набора ненулевых комплексных чисел, удовлетворяющая всем в . Такие функции комплексного логарифма аналогичны функции действительного логарифма , которая является обратной действительной показательной функции и, следовательно, удовлетворяет условию e ^{ln x} = x для всех положительных действительных чисел x . Функции комплексного логарифма могут быть построены по явным формулам, включающим вещественнозначные функции, путем интегрирования или процесса аналитического продолжения . ${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle e^{\log z}=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1/z}$

Не существует непрерывной функции комплексного логарифма, определенной для всех . Способы решения этой проблемы включают ветвления , связанную с ними риманову поверхность и частичные инверсии комплексной экспоненциальной функции . Главное значение определяет конкретную функцию комплексного логарифма , которая является непрерывной, за исключением отрицательной вещественной оси; на комплексной плоскости с удаленными отрицательными действительными числами и 0 это аналитическое продолжение (действительного) натурального логарифма. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$

Проблемы с обращением комплексной показательной функции

График многозначной мнимой части функции комплексного логарифма с ветвями. Когда комплексное число z движется вокруг начала координат, мнимая часть логарифма увеличивается или уменьшается. Это делает начало координат точкой ветвления функции.

Чтобы функция имела обратную величину, она должна сопоставлять отдельные значения с разными значениями ; то есть оно должно быть инъективным . Но комплексная экспоненциальная функция не является инъективной, потому что для любого комплексного числа и целого числа , поскольку добавление к приводит к вращению радианов против часовой стрелки . Итак, точки ${\displaystyle e^{w+2\pi ik}=e^{w}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{w}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,}$

равномерно расположенные вдоль вертикальной линии, все отображаются в одно и то же число с помощью экспоненциальной функции. Это означает, что показательная функция не имеет обратной функции в общепринятом смысле. ^{[3] [4]} Есть два решения этой проблемы.

Один из них состоит в том, чтобы ограничить область определения показательной функции областью, которая не содержит двух чисел, отличающихся на целое число, кратное ${\displaystyle {\mathit {2\pi i}}}$ : это естественным образом приводит к определению ветвей , которые представляют собой определенные функции, которые выделяют один логарифм каждого числа в свои домены. Это аналогично определению on как обратному ограничению интервала : существует бесконечно много действительных чисел с , но произвольно выбирается одно из . ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \arcsin x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =x}$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Другой способ разрешить неопределенность — рассматривать логарифм как функцию, областью определения которой является не область комплексной плоскости , а риманова поверхность, которая покрывает проколотую комплексную плоскость с точностью до бесконечности до 1.

Преимущество ветвей состоит в том, что их можно оценивать комплексными числами. С другой стороны, функция на римановой поверхности элегантна тем, что она объединяет все ветви логарифма и не требует произвольного выбора в рамках своего определения.

Основная ценность

Определение

Для каждого ненулевого комплексного числа главным значением является логарифм, мнимая часть которого лежит в интервале . ^[2] Выражение остается неопределенным, поскольку не существует комплексного числа, удовлетворяющего . ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} 0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=0}$

Когда обозначение появляется без указания какого-либо конкретного логарифма, обычно лучше предположить, что имеется в виду главное значение. В частности, это дает значение, соответствующее реальному значению, когда является положительным действительным числом. Заглавные буквы в обозначениях используются некоторыми авторами ^[2] для отличия главного значения от других логарифмов . ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \ln z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle z}$

Расчет основной стоимости

Полярная форма ненулевого комплексного числа : где – абсолютное значение , – его аргумент . Абсолютная ценность реальна и положительна. Аргумент определяется с точностью до сложения целого числа, кратного 2 π . Его главным значением является значение, принадлежащее интервалу , которое выражается как . ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$

Это приводит к следующей формуле для главного значения комплексного логарифма:

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

Например, и . ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3)=\ln 3+\pi i}$

Главное значение как обратная функция

Другой способ описания — это обратное ограничение комплексной показательной функции, как в предыдущем разделе. Горизонтальная полоса , состоящая из комплексных чисел, является примером области, не содержащей двух чисел, отличающихся на целое число, кратное , поэтому ограничение экспоненциальной функции имеет обратную величину. Фактически, экспоненциальная функция биективно отображается на проколотую комплексную плоскость и обратная этому ограничению равна . В разделе конформного отображения ниже более подробно объясняются геометрические свойства этой карты. ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w=x+yi}$ ${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S}$

Главное значение как аналитическое продолжение

В области , состоящей из комплексных чисел, которые не являются отрицательными действительными числами или 0, функция является аналитическим продолжением натурального логарифма. Значения на отрицательной действительной линии можно получить как пределы значений близлежащих комплексных чисел с положительными мнимыми частями. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Характеристики

Не все тождества, удовлетворяемые методом, распространяются на комплексные числа. Это правда, что для всех (это то, что значит быть логарифмом ), но тождество не соответствует действительности за пределами полосы . По этой причине для вывода не всегда можно применять обе стороны тождества . Кроме того, идентичность может оказаться неудачной: две стороны могут отличаться на целое число, кратное ; ^[1] например, ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} z}=z}$ ${\displaystyle z\not =0}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (e^{z})=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle e^{z}=e^{w}}$ ${\displaystyle z=w}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Log} z_{1}+\operatorname {Log} z_{2}}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

но

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

Функция разрывна в каждом отрицательном вещественном числе, но непрерывна везде в . Чтобы объяснить разрыв, рассмотрим, что происходит при приближении к отрицательному действительному числу . Если приближается сверху, то приближается , что тоже является значением самого себя. Но если подойдет снизу, то подойдет . Таким образом, «перескакивает» при пересечении отрицательной вещественной оси и аналогичным образом перескакивает на . ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \arg a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle -\pi }$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

Ветви комплексного логарифма

Есть ли другой способ выбрать логарифм каждого ненулевого комплексного числа, чтобы получить функцию, непрерывную для всех ? Ответ - нет. Чтобы понять почему, представьте, что вы отслеживаете такую ​​функцию логарифма вдоль единичного круга , оценивая увеличение от до . Если непрерывен, то так же и , но последний представляет собой разность двух логарифмов , поэтому он принимает значения в дискретном наборе , поэтому он постоянен. В частности, , что противоречит . ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)-i\theta }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi i=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi =\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$

Следовательно, чтобы получить непрерывный логарифм, определенный для комплексных чисел, необходимо ограничить область определения меньшим подмножеством комплексной плоскости. Поскольку одна из целей состоит в том, чтобы иметь возможность дифференцировать функцию, разумно предположить, что функция определена в окрестности каждой точки своей области определения; другими словами, должно быть открытое множество . Кроме того, разумно предположить, что это связано , поскольку в противном случае значения функции на разных компонентах могут быть не связаны друг с другом. Все это мотивирует следующее определение: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Ветвь — это непрерывная функция , определенная на связном открытом подмножестве комплексной плоскости, такая что является логарифмом для каждого из . ^[2] ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Например, главное значение определяет ветвь открытого множества, где оно является непрерывным, то есть набора, полученного удалением 0 и всех отрицательных действительных чисел из комплексной плоскости. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$

Другой пример: сериал «Меркатор».

${\displaystyle \ln(1+u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}u^{n}=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\cdots }$

сходится локально равномерно для , поэтому установка определяет ветвь на открытом диске радиуса 1 с центром в 1. (На самом деле это просто ограничение , как можно показать, дифференцируя разницу и сравнивая значения в 1.) ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle z=1+u}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Как только ветвь зафиксирована, она может быть обозначена как " ", если это не приведет к путанице. Однако разные ветви могут давать разные значения логарифма определенного комплексного числа, поэтому ветвь должна быть зафиксирована заранее (или же необходимо понять основную ветвь), чтобы « » имело точное однозначное значение. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log z}$

Срезы ветвей

Приведенный выше аргумент, касающийся единичной окружности, обобщается и показывает, что на открытом множестве , содержащем замкнутую кривую , вьющуюся вокруг 0, не существует ветви. Говорят, что « имеет точку ветвления в 0». Чтобы избежать наличия замкнутых кривых, обвивающихся вокруг 0, обычно выбирают дополнение к лучу или кривой в комплексной плоскости, идущей от 0 (включительно) до бесконечности в некотором направлении. В этом случае кривая называется разрезом ветки . Например, главная ветвь имеет разрез вдоль отрицательной вещественной оси. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$

Если функцию расширить до определения в точке разреза ветки, она обязательно будет там разрывной; в лучшем случае оно будет непрерывным «с одной стороны», как при отрицательном вещественном числе. ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Производная комплексного логарифма

Каждая ветвь на открытом множестве является обратной ограничением показательной функции, а именно ограничением на изображение . Поскольку показательная функция голоморфна (т. е. комплексно дифференцируема) с ненулевой производной, применяется комплексный аналог теоремы об обратной функции . Это показывает, что голоморфно на , и для каждого в . ^[2] Другой способ доказать это — проверить уравнения Коши–Римана в полярных координатах . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Построение филиалов через интеграцию

Функцию вещественного можно построить по формуле ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$$

${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$$

При разработке аналога комплексного логарифма возникает дополнительная сложность: определение комплексного интеграла требует выбора пути. К счастью, если подынтегральная функция голоморфна, то значение интеграла не изменится за счет деформации пути (при фиксированных концах), а в односвязной области (области без дыр) любой путь изнутри внутрь может непрерывно деформироваться внутри в любое другое. Все это приводит к следующему: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Если это односвязное открытое подмножество, не содержащее 0 , то ветвь определенного on может быть построена путем выбора начальной точки в , выбора логарифма и определения ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$$

для каждого в . ^[5] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Комплексный логарифм как конформное отображение

Окружности Re(Log z ) = постоянные и лучи Im(Log  z ) = постоянные в комплексной z -плоскости.

Комплексное картографирование бревен сопоставляет радиусы с горизонтальными линиями, а круги с вертикальными линиями.

Любое голоморфное отображение, удовлетворяющее всем, является конформным отображением , что означает, что если две кривые, проходящие через точку , образуют угол (в том смысле, что касательные к кривым в образуют угол ), то образы двух кривых образуют угол. тот же угол при . Поскольку ветвь голоморфна и ее производная никогда не равна 0, она определяет конформное отображение. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ ${\displaystyle z\in U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log z}$

Например, главная ветвь , рассматриваемая как отображение от к горизонтальной полосе, определяемой , имеет следующие свойства, которые являются прямыми следствиями формулы в терминах полярной формы: ${\displaystyle w=\operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} z\right|<\pi }$

• Круги ^[6] в плоскости z с центром в точке 0 отображаются в вертикальные сегменты в плоскости w , соединяющиеся с , где – действительный логарифм радиуса круга. ${\displaystyle a-\pi i}$ ${\displaystyle a+\pi i}$ ${\displaystyle a}$
• Лучи, исходящие из точки 0 в плоскости z , отображаются на горизонтальные линии в плоскости w .

Каждый круг и луч в плоскости z , как указано выше, встречаются под прямым углом. Их изображения под Log представляют собой вертикальный сегмент и горизонтальную линию (соответственно) в w -плоскости, и они тоже пересекаются под прямым углом. Это иллюстрация конформного свойства Log.

Соответствующая риманова поверхность

Визуализация римановой поверхности log  z . Кажется, что поверхность вращается вокруг вертикальной линии, соответствующей началу комплексной плоскости. Реальная поверхность простирается сколь угодно далеко как по горизонтали, так и по вертикали, но на этом изображении обрезана.

Строительство

Различные ветви невозможно склеить, чтобы получить единую непрерывную функцию, поскольку две ветви могут давать разные значения в точке, где обе определены. Сравните, например, главную ветвь с мнимой частью в и ветвь , мнимая часть которой лежит в . Они совпадают в верхней полуплоскости , но не в нижней полуплоскости. Поэтому имеет смысл склеивать домены этих ветвей только по копиям верхней полуплоскости . Полученная склеенная область является связной, но имеет две копии нижней полуплоскости. Эти две копии можно визуализировать как два уровня гаража, и можно перейти с уровня нижней полуплоскости на уровень нижней полуплоскости, двигаясь в радианах против часовой стрелки вокруг 0 , сначала пересекая положительную действительную ось ( уровень ) в общую копию верхней полуплоскости, а затем пересечение отрицательной вещественной оси (уровня ) с уровнем нижней полуплоскости. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (0,2\pi )}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$

Можно продолжить, приклеивая ветки с мнимой частью в , в и т. д., а в другую сторону — ветки с мнимой частью в , в и т. д. Конечным результатом является связанная поверхность, которую можно рассматривать как спиральный гараж с бесконечным множеством уровней, простирающихся как вверх, так и вниз. Это риманова поверхность , связанная с . ^[7] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\pi ,3\pi )}$ ${\displaystyle (2\pi ,4\pi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-2\pi ,0)}$ ${\displaystyle (-3\pi ,-\pi )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log z}$

Точку можно рассматривать как пару, где – возможное значение аргумента . Таким образом, R может быть встроен в . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$

Функция логарифма на римановой поверхности

Поскольку области ветвей склеивались только вдоль открытых множеств, где их значения совпадали, ветви склеивались, образуя одну четко определенную функцию . ^[8] Он отображает каждую точку на . Этот процесс расширения исходной ветви путем склейки совместимых голоморфных функций известен как аналитическое продолжение . ${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ln |z|+i\theta }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$

Существует «карта проекции» снизу вверх, которая «сглаживает» спираль, направляя ее в . Для любого , если взять все точки , лежащие «прямо выше» , и оценить во всех этих точках, можно получить все логарифмы . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$

Склеиваем все ветки бревна z

Вместо склеивания только выбранных выше ветвей можно начать со всех ветвей и одновременно склеивать каждую пару ветвей вдоль наибольшего открытого подмножества, с которым и согласны. Это дает ту же риманову поверхность и функцию, что и раньше. Этот подход, хотя его немного сложнее визуализировать, более естественен, поскольку не требует выбора каких-либо конкретных ветвей. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log _{R}}$

Если - открытое подмножество биективного проектирования на свой образ в , то ограничение на соответствует ветви определенного на . Каждая ветвь возникает таким образом. ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$

Риманова поверхность как универсальное накрытие.

Карта проекции реализуется как покрывающее пространство . Фактически, это накрытие Галуа с группой преобразований колоды, изоморфной , порожденной гомеоморфизмом , посылающим в . ${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle (z,\theta +2\pi )}$

Как комплексное многообразие биголоморфно с via . _ (Обратное отображение отправляет в .) Это показывает, что односвязно, как и универсальное покрытие . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Приложения

• Комплексный логарифм необходим для определения возведения в степень , в котором основанием является комплексное число. А именно, если и являются комплексными числами с , можно использовать главное значение для определения . Можно также заменить другими логарифмами, чтобы получить другие значения , отличающиеся множителями вида . ^{[1] [9]} Выражение имеет единственное значение тогда и только тогда, когда оно является целым числом. ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\not =0}$ ${\displaystyle a^{b}=e^{b\operatorname {Log} a}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle e^{2\pi inb}}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle b}$
• Поскольку тригонометрические функции могут быть выражены как рациональные функции от , обратные тригонометрические функции могут быть выражены через комплексные логарифмы. ${\displaystyle e^{iz}}$
• Поскольку отображение преобразует круги с центром в точке 0 в вертикальные сегменты прямых линий, оно полезно в инженерных приложениях, связанных с кольцевым пространством . ^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle w=\operatorname {Log} z}$
• В электротехнике константа распространения представляет собой комплексный логарифм.

Обобщения

Логарифмы по другим основаниям

Как и для действительных чисел, для комплексных чисел можно определить ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

с той лишь оговоркой, что его значение зависит от выбора ветви журнала, определенной в и (с ). Например, использование основного значения дает ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log b\not =0}$

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

Логарифмы голоморфных функций

Если f — голоморфная функция на связном открытом подмножестве , то ветвь on — непрерывная функция на такой, что для всех в . Такая функция обязательно голоморфна с для всех из . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Если является односвязным открытым подмножеством и является никуда не исчезающей голоморфной функцией на , то ветвь определенного on может быть построена путем выбора начальной точки a в , выбора логарифма и определения ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

для каждого в . ^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Примечания

1. Альфорс, Раздел 3.4.
2. Сарасон, Раздел IV.9.
3. Конвей, с. 39.
4. Другая интерпретация этого состоит в том, что «обратная» комплексная экспоненциальная функция представляет собой многозначную функцию , переводящую каждое ненулевое комплексное число z в набор всех логарифмов z .
5. Ланг, с. 121.
6. Строго говоря, точку на каждом круге на отрицательной действительной оси следует отбросить или там следует использовать главное значение.
7. Альфорс, Раздел 4.3.
8. Обозначения R и log _R не используются повсеместно.
9. Крейциг, с. 640.

Рекомендации

• Альфорс, Ларс В. (1966). Комплексный анализ (2-е изд.). МакГроу-Хилл.
• Конвей, Джон Б. (1978). Функции одной комплексной переменной (2-е изд.). Спрингер. ISBN 9780387903286.
• Крейциг, Эрвин (2011). Высшая инженерная математика (10-е изд.). Берлин: Уайли . ISBN 9780470458365.
• Ланг, Серж (1993). Комплексный анализ (3-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 9783642592737.
• Моретти, Джино (1964). Функции комплексной переменной. Прентис-Холл.
• Сарасон, Дональд (2007). Теория комплексных функций (2-е изд.). Американское математическое общество. ISBN 9780821886229.
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж. Н. (1927). Курс современного анализа (Четвертое изд.). Издательство Кембриджского университета.