Точка ветвления

В математической области комплексного анализа точкой ветвления многозначной функции ( обычно называемой «многофункциональностью» в контексте комплексного анализа ⁾^{является точка} , такая, что если функция n-значна ( имеет n значений) в этой точке все его окрестности содержат точку, имеющую более n значений ^[1] . Многозначные функции строго изучаются с использованием римановых поверхностей , и формальное определение точек ветвления использует это понятие.

Точки ветвления делятся на три широкие категории: алгебраические точки ветвления, трансцендентные точки ветвления и логарифмические точки ветвления. Алгебраические точки ветвления чаще всего возникают из функций, в которых существует неоднозначность при извлечении корня, например, при решении уравнения w ² = z для w как функции от z . Здесь точкой ветвления является начало координат, поскольку аналитическое продолжение любого решения вокруг замкнутого цикла, содержащего начало координат, приведет к другой функции: существует нетривиальная монодромия . Несмотря на алгебраическую точку ветвления, функция w корректно определена как многозначная функция и в соответствующем смысле непрерывна в начале координат. В этом отличие от трансцендентных и логарифмических точек ветвления, то есть точек, в которых многозначная функция обладает нетривиальной монодромией и существенной особенностью . В геометрической теории функций безоговорочное использование термина « точка ветвления» обычно означает первый, более ограничительный вид: алгебраические точки ветвления. ^[2] В других областях комплексного анализа неквалифицированный термин может также относиться к более общим точкам ветвления трансцендентального типа.

Алгебраические точки ветвления

Пусть – связное открытое множество в комплексной плоскости и голоморфная функция . Если не является константой, то множество критических точек , то есть нулей производной , не имеет предельной точки в . Таким образом, каждая критическая точка лежит в центре диска, не содержащего других критических точек в своем замыкании. $\Омега$ $\mathbb {C}$ $f:\Omega \to \mathbb {C}$ $е$ $е$ $f'(z)$ $\Омега$ $z_{0}$ $е$ $B(z_{0},r)$ $е$

Пусть – граница области , взятая с ее положительной ориентацией. Число витков относительно точки является положительным целым числом, называемым индексом ветвления . Если индекс ветвления больше 1, то называется точкой ветвления , а соответствующее критическое значение называется (алгебраической) точкой ветвления . Эквивалентно, является точкой ветвления, если существует голоморфная функция , определенная в окрестности такой, что для целого числа . $\гамма$ $B(z_{0},r)$ $е(\гамма)$ $f(z_{0})$ $z_{0}$ $z_{0}$ $е$ $f(z_{0})$ $z_{0}$ ${\ displaystyle \ фи }$ $z_{0}$ $f(z)=\phi (z)(zz_{0})^{k}+f(z_{0})$ $k>1$

Обычно человека интересует не он сам, а его обратная функция . Однако обратной голоморфной функции в окрестности точки ветвления по существу не существует, и поэтому приходится определять ее в многозначном смысле как глобальную аналитическую функцию . Часто злоупотребляют языком и называют точку ветвления точкой ветвления глобальной аналитической функции . Более общие определения точек ветвления возможны для других видов многозначных глобальных аналитических функций, например тех, которые определяются неявно . Единая основа для работы с такими примерами представлена ниже на языке римановых поверхностей . В частности, в этой более общей картине точками ветвления можно считать и полюсы порядка больше 1. $е$ $w_{0}=f(z_{0})$ $е$ $f^{-1}$

В терминах обратной глобальной аналитической функции точки ветвления — это те точки, вокруг которых существует нетривиальная монодромия. Например, функция имеет точку ветвления . Обратная функция — это квадратный корень , имеющий точку ветвления в точке . Действительно, обходя замкнутый цикл , мы начинаем с и . Но после обхода цикла до имеем . Таким образом, вокруг этого цикла, охватывающего начало координат, существует монодромия. $f^{-1}$ $f(z)=z^{2}$ $z_{0}=0$ $f^{-1}(w)=w^{1/2}$ $w_{0}=0$ $w=e^{i\theta}$ $\theta =0$ $е^{i0/2}=1$ $\theta =2\pi$ $е^{2\pi i/2}=-1$

Трансцендентные и логарифмические точки ветвления

Предположим, что g — глобальная аналитическая функция, определенная на проколотом диске вокруг z ₀ . Тогда g имеет трансцендентную точку ветвления, если z ₀ является существенной особенностью g , такой что аналитическое продолжение функционального элемента один раз вокруг некоторой простой замкнутой кривой, окружающей точку z ₀ , дает другой функциональный элемент. ^[3]

Примером трансцендентной точки ветвления является начало координат многозначной функции.

g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,

для некоторого целого числа k > 1. Здесь группа монодромии обхода вокруг начала координат конечна. Аналитическое продолжение по k полным кругам возвращает функцию к исходной.

Если группа монодромии бесконечна, т. е. невозможно вернуться к исходному функциональному элементу аналитическим продолжением вдоль кривой с ненулевым числом витков около z ₀ , то точка z ₀ называется логарифмической точкой ветвления . ^[4] Это называется так потому, что типичным примером этого явления является точка ветвления комплексного логарифма в начале координат. Пройдя один раз против часовой стрелки вокруг простой замкнутой кривой, окружающей начало координат, комплексный логарифм увеличивается на 2 $π$ i . При обходе петли с номером витка w логарифм увеличивается на 2 $π$ i w и группа монодромии представляет собой бесконечную циклическую группу . $\mathbb {Z}$

Логарифмические точки ветвления являются частными случаями трансцендентных точек ветвления.

Соответствующего понятия ветвления для трансцендентных и логарифмических точек ветвления не существует, поскольку соответствующая накрывающая риманова поверхность не может быть аналитически продолжена до покрытия самой точки ветвления. Поэтому такие покрытия всегда неразветвлены.

Примеры

0 — точка ветвления функции квадратного корня . Предположим, w = z ^1/2 , и z начинается с 4 и движется по окружности радиуса 4 в комплексной плоскости с центром в 0. Зависимая переменная w изменяется, зависящая от z непрерывным образом. Когда z сделает один полный круг, снова переходя от 4 обратно к 4, w сделает один полукруг, переходя от положительного квадратного корня из 4, т. е. из 2, к отрицательному квадратному корню из 4, т. е. — 2.
0 также является точкой ветвления натурального логарифма . Поскольку e ⁰ совпадает с e ^{2 $π$ i} , и 0, и 2 $π$ i входят в число кратных значений ln(1). Когда z движется по окружности радиуса 1 с центром в точке 0, w = ln( z ) меняется от 0 до 2 $π$ i .
В тригонометрии , поскольку tan( $π$ /4) и tan (5 $π$ /4) оба равны 1, два числа $π$ /4 и 5 $π$ /4 входят в число кратных значений arctan(1). Мнимые единицы i и - i являются точками ветвления арктангенса функции arctan( z ) = (1/2 i )log[( i - z )/( i + z )]. В этом можно убедиться, заметив, что производная ( d / dz ) arctan( z ) = 1/(1 + z ² ) имеет простые полюса в этих двух точках, поскольку знаменатель в этих точках равен нулю.
Если производная ƒ ' функции ƒ имеет простой полюс в точке a , то ƒ имеет точку логарифмического ветвления в точке a . Обратное неверно, поскольку функция ƒ ( z ) = z ^α для иррационального α имеет логарифмическую точку ветвления, а ее производная сингулярна, не будучи полюсом.

Срезы ветвей

Грубо говоря, точки ветвления — это точки, в которых сходятся различные листы многозначной функции. Ветви функции — это различные листы функции. Например, функция w = z ^1/2 имеет две ветви: одну, в которой квадратный корень стоит со знаком плюс, а другую — со знаком минус. Разрез ветки — это кривая на комплексной плоскости, позволяющая определить одну аналитическую ветвь многозначной функции на плоскости за вычетом этой кривой. Разрезы ветвей обычно, но не всегда, выполняются между парами точек ветвления.

Разрезы ветвей позволяют работать с набором однозначных функций, «склеенных» по разрезу ветвей вместо многозначной функции. Например, чтобы сделать функцию

F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,

однозначная, делается разрез по отрезку [0, 1] на вещественной оси, соединяющий две точки ветвления функции. Ту же идею можно применить к функции √ z ; но в этом случае нужно понимать, что точка в бесконечности является подходящей «другой» точкой ветвления для соединения с 0, например, вдоль всей отрицательной действительной оси.

Устройство для обрезки ветвей может показаться произвольным (и это так и есть); но это очень полезно, например, в теории специальных функций. Инвариантное объяснение явления ветвления развито в теории римановой поверхности (которой оно исторически является источником) и, в более общем плане, в теории ветвления и монодромии алгебраических функций и дифференциальных уравнений .

Комплексный логарифм

Типичным примером разреза является комплексный логарифм. Если комплексное число представлено в полярной форме z = r e ^{i θ} , то логарифм z равен

\ln z=\ln r+i\theta.\,

Однако существует очевидная двусмысленность в определении угла θ : прибавление к θ любого целого числа, кратного 2 $π$ , даст другой возможный угол. Ветвь логарифма — это непрерывная функция L ( z ), дающая логарифм z для всех z в связном открытом множестве на комплексной плоскости. В частности, в дополнении любого луча от начала до бесконечности существует ветвь логарифма: разрез ветки . Обычным выбором ветвления является отрицательная действительная ось, хотя этот выбор во многом зависит от удобства.

Логарифм имеет скачок 2 $π$ i при пересечении разреза ветвления. Логарифм можно сделать непрерывным, склеив вместе счетное множество копий, называемых листами , комплексной плоскости по разрезу ветки. На каждом листе стоимость бревна отличается от его основного значения кратно 2π $i$ . Эти поверхности склеены друг с другом вдоль среза ветки уникальным способом, чтобы сделать логарифм непрерывным. Каждый раз, когда переменная обходит начало координат, логарифм перемещается на другую ветвь.

Континуум полюсов

Одна из причин того, что разрезы ветвей являются общей чертой комплексного анализа, заключается в том, что разрез ветвей можно рассматривать как сумму бесконечного числа полюсов, расположенных вдоль линии в комплексной плоскости с бесконечно малыми вычетами. Например,

f_{a}(z)={1 \over za}

— функция с простым полюсом в точке z = a . Интегрируем по местоположению полюса:

u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{ 1 \over za}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)

определяет функцию u ( z ) с разрезом от −1 до 1. Разрез ветки можно перемещать, поскольку линию интегрирования можно смещать без изменения значения интеграла до тех пор, пока линия не проходит через точку z .

Римановы поверхности

Определено понятие точки ветвления для голоморфной функции ƒ: X → Y от компактной связной римановой поверхности X к компактной римановой поверхности Y (обычно сфере Римана ). Если она не является постоянной, функция ƒ будет отображением покрытия своего образа во всех точках, кроме конечного числа. Точки X , где ƒ не может быть покрытием, являются точками ветвления ƒ, а образ точки ветвления под ƒ называется точкой ветвления.

Для любой точки P ∈ X и Q = ƒ( P ) ∈ Y существуют голоморфные локальные координаты z для X вблизи P и w для Y вблизи Q , в терминах которых функция ƒ( z ) задается выражением

w=z^{k}

для некоторого целого числа k . Это целое число называется индексом ветвления P . Обычно индекс ветвления равен единице. Но если индекс ветвления не равен единице, то P по определению является точкой ветвления, а Q — точкой ветвления.

Если Y — это просто сфера Римана, а Q находится в конечной части Y , то нет необходимости выбирать специальные координаты. Индекс ветвления можно рассчитать явно по интегральной формуле Коши. Пусть γ — простая спрямляемая петля в X вокруг P . Индекс ветвления ƒ в точке P равен

e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _ {\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}} \,дз.

Этот интеграл представляет собой количество оборотов ƒ(γ) вокруг точки Q. Как и выше, P — точка ветвления, а Q — точка ветвления, если e _P > 1.

Алгебраическая геометрия

В контексте алгебраической геометрии понятие точек ветвления может быть обобщено на отображения между произвольными алгебраическими кривыми . Пусть ƒ: X → Y — морфизм алгебраических кривых. Возвращая рациональные функции на Y к рациональным функциям на X , K ( X ) становится полевым расширением K ( Y ). Степень ƒ определяется как степень этого расширения поля [ K ( X ): K ( Y )], и ƒ называется конечным, если степень конечна.

Предположим, что ƒ конечно. Для точки P ∈ X индекс ветвления e _P определяется следующим образом. Пусть Q = ƒ( P ) и пусть t — локальный параметр униформизации в P ; то есть t — регулярная функция, определенная в окрестности Q с t ( Q ) = 0, дифференциал которой не равен нулю. Оттягивание t назад на ƒ определяет регулярную функцию на X. Затем

e_{P}=v_{P}(t\circ f)

где v _P — нормирование в локальном кольце регулярных функций в P . То есть e _P — это порядок, при котором P обращается в нуль . Если e _P > 1, то говорят, что ƒ разветвлен в P . В этом случае Q называется точкой ветвления. ${\ displaystyle t \ circ f}$

Примечания

^ Дас, Шантану (2011), «Концепции понимания дробных дифференциаций», Функциональное дробное исчисление , Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg, стр. 213–269, doi : 10.1007/978-3-642-20545-3_5, ISBN 978-3-642-20544-6, получено 27 апреля 2022 г.(стр. 6)
^ Альфорс 1979
^ Соломенцев 2001; Маркушевич 1965г.
^ "Логарифмическая точка ветвления - Математическая энциклопедия" . www.энциклопедияofmath.org . Проверено 11 июня 2019 г.