Натуральный логарифм

Логарифм по основанию математической константы e

Натуральный логарифм числа — это его логарифм по основанию математической константы e , которая является иррациональным и трансцендентным числом, примерно равным2.718 281 828 459 . ^[1] Натуральный логарифм x обычно записывается как ln x , log _e x , а иногда, если основание e неявно, просто log x . ^{[2] [3]} Иногда для ясности добавляются круглые скобки , определяющие ln( x ) , log _e ( x ) или log( x ) . Это делается, в частности, когда аргумент логарифма не является одним символом, чтобы предотвратить двусмысленность.

Натуральный логарифм x — это степень , в которую нужно возвести e , чтобы оно стало равным x . Например, ln 7.5 равно 2.0149... , потому что e ^2.0149... = 7.5 . Натуральный логарифм самого числа e , ln e , равен 1 , поскольку e1 = e , а натуральный логарифм числа 1 равен 0 , поскольку e0 = ^{1 .}

Натуральный логарифм можно определить для любого положительного действительного числа a как площадь под кривой y = 1/ x от 1 до a ^[4] (причем площадь отрицательна, когда 0 < a <1 ). Простота этого определения, которое встречается во многих других формулах, включающих натуральный логарифм, приводит к появлению термина «натуральный». Затем определение натурального логарифма можно расширить, чтобы дать значения логарифма для отрицательных чисел и для всех ненулевых комплексных чисел , хотя это приводит к многозначной функции : подробнее см . Комплексный логарифм .

Функция натурального логарифма, если ее рассматривать как вещественную функцию положительной действительной переменной, является обратной функцией показательной функции , что приводит к тождествам:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\ln x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} _{+}\\\ln e^{x}&=x\qquad {\text{ if }}x\in \mathbb {R} \end{aligned}}}$$

Как и все логарифмы, натуральный логарифм отображает умножение положительных чисел в сложение: ^[5]

$${\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln x+\ln y~.}$$

Логарифмы могут быть определены для любого положительного основания, отличного от 1, а не только для e . Однако логарифмы в других системах счисления отличаются от натурального логарифма только постоянным множителем и могут быть определены через последний . ${\displaystyle \log _{b}x=\ln x/\ln b=\ln x\cdot \log _{b}e}$

Логарифмы полезны для решения уравнений, в которых неизвестное выступает как показатель степени какой-либо другой величины. Например, логарифмы используются для определения периода полураспада , константы распада или неизвестного времени в задачах экспоненциального распада . Они важны во многих разделах математики и научных дисциплинах и используются для решения задач, связанных со сложными процентами .

История

Концепция натурального логарифма была разработана Грегуаром де Сен-Винсентом и Альфонсом Антонио де Сараса до 1649 года ^{. [6]} Их работа включала квадратуру гиперболы с уравнением xy = 1 путем определения площади гиперболических секторов . Их решение породило необходимую функцию « гиперболического логарифма » , которая имела свойства, теперь связанные с натуральным логарифмом.

Первое упоминание о натуральном логарифме было сделано Николасом Меркатором в его работе Logarithmotechnia , опубликованной в 1668 году, ^[7] хотя учитель математики Джон Спейделл уже составил таблицу того, что на самом деле было натуральными логарифмами, в 1619 году. [ 8 ^] Было сказано, что логарифмы Спейделла были по основанию e , но это не совсем так из-за сложностей с выражением значений в виде целых чисел . ^{[8] : 152}

Соглашения об обозначениях

Обозначения ln x и log _e x однозначно относятся к натуральному логарифму x , а log x без явного основания может также относиться к натуральному логарифму. Такое использование распространено в математике, а также в некоторых научных контекстах, а также во многих языках программирования . ^{[nb 1]} Однако в некоторых других контекстах, таких как химия , log x может использоваться для обозначения обыкновенного (по основанию 10) логарифма . Это может также относиться к двоичному логарифму (по основанию 2) в контексте информатики , особенно в контексте временной сложности .

Определения

Натуральный логарифм можно определить несколькими эквивалентными способами.

Обратная экспонента

Наиболее общее определение — это обратная функция , так что . Поскольку является положительным и обратимым для любого вещественного ввода , это определение корректно определено для любого положительного x . Для комплексных чисел необратима, как и многозначная функция . Поэтому, чтобы создать правильную функцию с одним выходом , нам необходимо ограничить ее определенной основной ветвью , часто обозначаемой . Как обратную функцию можно определить , обратив обычное определение : ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle e^{\ln(x)}=x}$ ${\displaystyle e^{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Ln} (z)}$ ${\displaystyle e^{z}}$ ${\displaystyle \ln(z)}$ ${\displaystyle e^{z}}$

$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}}$$

$${\displaystyle \ln(z)=\lim _{n\to \infty }n\cdot ({\sqrt[{n}]{z}}-1)}$$

n-

Интегральное определение

ln a как площадь заштрихованной области под кривой f ( x ) = 1/ x от 1 до a . Если a меньше 1 , площадь считается отрицательной.

Площадь под гиперболой удовлетворяет правилу логарифма. Здесь A ( s , t ) обозначает площадь под гиперболой между s и t .

Натуральный логарифм положительного действительного числа a можно определить как площадь под графиком гиперболы с уравнением y = 1/ x между x = 1 и x = a . Это интеграл ^[4]

$${\displaystyle \ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$

aотрицательную площадь ${\displaystyle (0,1)}$

Эта функция является логарифмом, поскольку она удовлетворяет фундаментальному мультипликативному свойству логарифма: ^[5]

$${\displaystyle \ln(ab)=\ln a+\ln b.}$$

Это можно продемонстрировать, разделив интеграл, определяющий ln ab, на две части, а затем сделав замену переменной x = at (т. е. dx = a dt ) во второй части следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln ab=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\,dx\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{at}}a\,dt\\[5pt]&=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\,dt\\[5pt]&=\ln a+\ln b.\end{aligned}}}$$

Проще говоря, это просто масштабирование на 1/ a в горизонтальном направлении и на a в вертикальном направлении. Площадь не меняется при этом преобразовании, но область между a и ab переконфигурируется. Поскольку функция a /( ax ) равна функции 1/ x , результирующая площадь равна точно ln b .

Тогда число e можно определить как уникальное действительное число a такое, что ln a = 1 .

Натуральный логарифм также имеет несобственное интегральное представление ^[9] , которое можно получить с помощью теоремы Фубини следующим образом:

$${\displaystyle \ln \left(x\right)=\int _{1}^{x}{\frac {1}{u}}du=\int _{1}^{x}\int _{0}^{\infty }e^{-tu}\ dt\ du=\int _{0}^{\infty }\int _{1}^{x}e^{-tu}\ du\ dt=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-tx}}{t}}dt}$$

Характеристики

Натуральный логарифм обладает следующими математическими свойствами:

• ${\displaystyle \ln 1=0}$
• ${\displaystyle \ln e=1}$
• ${\displaystyle \ln(xy)=\ln x+\ln y\quad {\text{for }}\;x>0\;{\text{and }}\;y>0}$
• ${\displaystyle \ln(x/y)=\ln x-\ln y}$
• ${\displaystyle \ln(x^{y})=y\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle \ln x<\ln y\quad {\text{for }}\;0<x<y}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1}$
• ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}{\frac {x^{\alpha }-1}{\alpha }}=\ln x\quad {\text{for }}\;x>0}$
• ${\displaystyle {\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1\quad {\text{for}}\quad x>0}$
• ${\displaystyle \ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x\quad {\text{for}}\quad x\geq 0\;{\text{and }}\;\alpha \geq 1}$

Производная

Производная натурального логарифма как вещественная функция на положительных действительных числах определяется формулой ^[4]

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

Как установить эту производную натурального логарифма, зависит от того, как она определена из первых рук. Если натуральный логарифм определяется как интеграл

$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt,}$$

теоремы исчисления

С другой стороны, если натуральный логарифм определяется как обратная (натуральная) показательная функция, то производную (при x > 0 ) можно найти, используя свойства логарифма и определение показательной функции.

Из определения числа показательную функцию можно определить как ${\displaystyle e=\lim _{u\to 0}(1+u)^{1/u},}$

$${\displaystyle e^{x}=\lim _{u\to 0}(1+u)^{x/u}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h},}$$

${\displaystyle u=hx,h={\frac {u}{x}}.}$

Затем производную можно найти из первых принципов.

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\ln x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln x}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left({\frac {x+h}{x}}\right)\right]\\&=\lim _{h\to 0}\left[\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{all above for logarithmic properties}}\\&=\ln \left[\lim _{h\to 0}\left(1+{\frac {h}{x}}\right)^{\frac {1}{h}}\right]\quad &&{\text{for continuity of the logarithm}}\\&=\ln e^{1/x}\quad &&{\text{for the definition of }}e^{x}=\lim _{h\to 0}(1+hx)^{1/h}\\&={\frac {1}{x}}\quad &&{\text{for the definition of the ln as inverse function.}}\end{aligned}}}$$

Также у нас есть:

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln ax={\frac {d}{dx}}(\ln a+\ln x)={\frac {d}{dx}}\ln a+{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}$$

поэтому, в отличие от обратной функции , константа в функции не меняет дифференциал. ${\displaystyle e^{ax}}$

Ряд

Полиномы Тейлора для ln(1 + x ) обеспечивают точные аппроксимации только в диапазоне −1 < x ≤ 1 . За пределами некоторого x > 1 полиномы Тейлора более высокой степени становятся все более худшими приближениями.

Поскольку натуральный логарифм не определен в точке 0, он сам по себе не имеет ряда Маклорена , в отличие от многих других элементарных функций. Вместо этого ищут разложения Тейлора вокруг других точек. Например, если тогда ^[10] ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle \vert x-1\vert \leq 1{\text{ and }}x\neq 0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln x&=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{0}^{x-1}{\frac {1}{1+u}}\,du\\&=\int _{0}^{x-1}(1-u+u^{2}-u^{3}+\cdots )\,du\\&=(x-1)-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(x-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

Это ряд Тейлора примерно для 1. Замена переменных дает ряд Меркатора : ${\displaystyle \ln x}$

$${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}x^{k}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,}$$

${\displaystyle |x|\leq 1}$ ${\displaystyle x\neq -1.}$

Леонард Эйлер , ^[11] не обращая внимания , тем не менее применил этот ряд к , чтобы показать, что гармонический ряд равен натуральному логарифму ; то есть логарифм бесконечности. В настоящее время, более формально, можно доказать, что гармонический ряд, усеченный при N , близок к логарифму N , когда N велико, с разницей, сходящейся к константе Эйлера-Машерони . ${\displaystyle x\neq -1}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle {\frac {1}{1-1}}}$

Рисунок представляет собой график функции ln(1 + x ) и некоторых ее полиномов Тейлора около 0. Эти приближения сходятся к функции только в области −1 < x ≤ 1 ; за пределами этой области полиномы Тейлора более высокой степени переходят к худшим приближениям функции.

Полезный специальный случай для положительных целых чисел n , принимая , следующий: ${\displaystyle x={\tfrac {1}{n}}}$

$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{kn^{k}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n^{2}}}+{\frac {1}{3n^{3}}}-{\frac {1}{4n^{4}}}+\cdots }$$

Если тогда ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 1/2,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&=-\ln \left({\frac {1}{x}}\right)=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}({\frac {1}{x}}-1)^{k}}{k}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(x-1)^{k}}{kx^{k}}}\\&={\frac {x-1}{x}}+{\frac {(x-1)^{2}}{2x^{2}}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3x^{3}}}+{\frac {(x-1)^{4}}{4x^{4}}}+\cdots \end{aligned}}}$$

Теперь, принимая за положительные целые числа n , мы получаем: ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

$${\displaystyle \ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(n+1)^{k}}}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{2(n+1)^{2}}}+{\frac {1}{3(n+1)^{3}}}+{\frac {1}{4(n+1)^{4}}}+\cdots }$$

Если тогда ${\displaystyle \operatorname {Re} (x)\geq 0{\text{ and }}x\neq 0,}$

$${\displaystyle \ln(x)=\ln \left({\frac {2x}{2}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\frac {x-1}{x+1}}}{1-{\frac {x-1}{x+1}}}}\right)=\ln \left(1+{\frac {x-1}{x+1}}\right)-\ln \left(1-{\frac {x-1}{x+1}}\right).}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+y)-\ln(1-y)&=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}\left((-1)^{i-1}y^{i}-(-1)^{i-1}(-y)^{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right)\\&=y\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {y^{i-1}}{i}}\left((-1)^{i-1}+1\right){\overset {i-1\to 2k}{=}}\;2y\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{2k}}{2k+1}},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(x)&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{k}\\&={\frac {2(x-1)}{x+1}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}{\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {(x-1)^{2}}{(x+1)^{2}}}\right)}^{2}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

n ${\displaystyle x={\tfrac {n+1}{n}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)&={\frac {2}{2n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)((2n+1)^{2})^{k}}}\\&=2\left({\frac {1}{2n+1}}+{\frac {1}{3(2n+1)^{3}}}+{\frac {1}{5(2n+1)^{5}}}+\cdots \right).\end{aligned}}}$$

Это, безусловно, самая быстрая сходимость из описанного здесь ряда.

Натуральный логарифм также можно выразить как бесконечное произведение: ^[12]

$${\displaystyle \ln(x)=(x-1)\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{2^{k}}]{x}}}}\right)}$$

Два примера могут быть:

$${\displaystyle \ln(2)=\left({\frac {2}{1+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{2}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{2}}}}\right)...}$$

$${\displaystyle \pi =(2i+2)\left({\frac {2}{1+{\sqrt {i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{4}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{8}]{i}}}}\right)\left({\frac {2}{1+{\sqrt[{16}]{i}}}}\right)...}$$

Из этого тождества мы можем легко получить следующее:

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {x}{x-1}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2^{-k}x^{2^{-k}}}{1+x^{2^{-k}}}}}$$

Например:

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}=2-{\frac {\sqrt {2}}{2+2{\sqrt {2}}}}-{\frac {\sqrt[{4}]{2}}{4+4{\sqrt[{4}]{2}}}}-{\frac {\sqrt[{8}]{2}}{8+8{\sqrt[{8}]{2}}}}\cdots }$$

Натуральный логарифм при интегрировании

Натуральный логарифм позволяет просто интегрировать функции вида : первообразная g ( x ) определяется выражением . Это происходит из-за правила цепочки и следующего факта: ${\displaystyle g(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}}$ ${\displaystyle \ln(|f(x)|)}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left|x\right|={\frac {1}{x}},\ \ x\neq 0}$$

Другими словами, при интегрировании по интервалу действительной прямой, не включающему , то ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,dx=\ln |x|+C}$$

Cпроизвольная константа интегрирования^[13]

Аналогично, когда интеграл находится в интервале, где , ${\displaystyle f(x)\neq 0}$

$${\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}$$

Например, рассмотрим интеграл по интервалу, который не включает точки, где он бесконечен: ${\displaystyle \tan(x)}$ ${\displaystyle \tan(x)}$

$${\displaystyle \int \tan x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=-\int {\frac {{\frac {d}{dx}}\cos x}{\cos x}}\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C=\ln \left|\sec x\right|+C.}$$

Натуральный логарифм можно проинтегрировать с помощью интегрирования по частям :

$${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C.}$$

Позволять:

$${\displaystyle u=\ln x\Rightarrow du={\frac {dx}{x}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\Rightarrow v=x}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln x\,dx&=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln x-\int 1\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}}}$$

Эффективные вычисления

Для случая, где x > 1 , чем ближе значение x к 1, тем быстрее скорость сходимости его ряда Тейлора с центром в 1. Для использования этого можно использовать тождества, связанные с логарифмом: ${\displaystyle \ln(x)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 123.456&=\ln(1.23456\cdot 10^{2})\\&=\ln 1.23456+\ln(10^{2})\\&=\ln 1.23456+2\ln 10\\&\approx \ln 1.23456+2\cdot 2.3025851.\end{aligned}}}$$

Такие методы использовались до появления калькуляторов: обращение к числовым таблицам и выполнение манипуляций, подобных описанным выше.

Натуральный логарифм 10

Натуральный логарифм 10, примерно равный2.302 585 09 , ^[14] играет роль, например, в вычислении натуральных логарифмов чисел, представленных в научной записи , как мантисса, умноженная на степень 10:

$${\displaystyle \ln(a\cdot 10^{n})=\ln a+n\ln 10.}$$

Это означает, что можно эффективно вычислять логарифмы чисел с очень большой или очень маленькой величиной , используя логарифмы относительно небольшого набора десятичных знаков в диапазоне [1, 10) .

Высокая точность

Для вычисления натурального логарифма со многими цифрами точности подход с использованием рядов Тейлора неэффективен, поскольку сходимость происходит медленно. Особенно если x близко к 1, хорошей альтернативой является использование метода Галлея или метода Ньютона для обращения показательной функции, поскольку ряд показательной функции сходится быстрее. Чтобы найти значение y , которое нужно дать с помощью метода Галлея или, что то же самое, чтобы дать с помощью метода Ньютона, итерация упрощается до ${\displaystyle \exp(y)-x=0}$ ${\displaystyle \exp {\Bigl (}{\frac {y}{2}}{\Bigr )}-x\exp {\Bigl (}-{\frac {y}{2}}{\Bigr )}=0}$

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+2\cdot {\frac {x-\exp(y_{n})}{x+\exp(y_{n})}}}$$

кубическую сходимость ${\displaystyle \ln(x)}$

Другой альтернативой для расчета с чрезвычайно высокой точностью является формула ^{[15] [16]}

$${\displaystyle \ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)}}-m\ln 2,}$$

Mсреднее арифметико-геометрическое4/ s

$${\displaystyle s=x2^{m}>2^{p/2},}$$

mpmπ ${\displaystyle \ln 2}$

$${\displaystyle \ln x={\frac {\pi }{M\left(\theta _{2}^{2}(1/x),\theta _{3}^{2}(1/x)\right)}},\quad x\in (1,\infty )}$$

где

$${\displaystyle \theta _{2}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{(n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(x)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }x^{n^{2}}}$$

тэта-функции Якоби^[17]

Основываясь на предложении Уильяма Кахана и впервые реализованном в калькуляторе Hewlett-Packard HP-41C в 1979 году (обозначаемом на дисплее только как «LN1»), некоторые калькуляторы, операционные системы (например, Berkeley UNIX 4.3BSD ^[18] ), системы компьютерной алгебры и языки программирования (например, C99 ^[19] ) предоставляют специальную функцию натурального логарифма плюс 1 , альтернативно называемую LNP1 , ^{[20] [21]} или log1p ^[19] для получения более точных результатов для логарифмов, близких к нулю. передавая аргументы x , также близкие к нулю, в функцию log1p( x ) , которая возвращает значение ln(1+ x ) , вместо передачи значения y близкого к 1 функции, возвращающей ln( y ) . ^{[19] [20] [21]} Функция log1p позволяет избежать в арифметике с плавающей запятой почти полного сокращения абсолютного члена 1 вторым членом из разложения Тейлора натурального логарифма. Это сохраняет аргумент, результат и промежуточные шаги близкими к нулю, где их можно наиболее точно представить в виде чисел с плавающей запятой. ^{[20] [21]}

В дополнение к основанию e стандарт IEEE 754-2008 определяет аналогичные логарифмические функции рядом с 1 для двоичных и десятичных логарифмов : log ₂ (1 + x ) и log ₁₀ (1 + x ) .

Подобные обратные функции, называемые « expm1 », ^[19] «expm» ^{[20] [21]} или «exp1m», также существуют, все они имеют значение expm1( x ) = exp( x ) − 1 . ^{[номер 2]}

Тождество в терминах обратного гиперболического тангенса ,

$${\displaystyle \mathrm {log1p} (x)=\log(1+x)=2~\mathrm {artanh} \left({\frac {x}{2+x}}\right)\,,}$$

xlog1p( x )

Вычислительная сложность

Вычислительная сложность вычисления натурального логарифма с использованием средней арифметико-геометрической (для обоих вышеперечисленных методов) составляет . Здесь n — количество цифр точности, с которой должен быть вычислен натуральный логарифм, а M ( n ) — вычислительная сложность умножения двух n -значных чисел. ${\displaystyle {\text{O}}{\bigl (}M(n)\ln n{\bigr )}}$

Непрерывные дроби

Хотя простых цепных дробей не существует, существует несколько обобщенных цепных дробей , в том числе:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1+x)&={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \\[5pt]&={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+{\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \left(1+{\frac {x}{y}}\right)&={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}\\[5pt]&={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}}$$

Эти непрерывные дроби, особенно последняя, ​​быстро сходятся для значений, близких к 1. Однако натуральные логарифмы гораздо больших чисел можно легко вычислить, многократно добавляя логарифмы меньших чисел, с такой же быстрой сходимостью.

Например, поскольку 2 = 1,25 ³ × 1,024, натуральный логарифм 2 можно вычислить как:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 2&=3\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[8pt]&={\cfrac {6}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {6}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

Более того, поскольку 10 = 1,25 ¹⁰ × 1,024 ³ , даже натуральный логарифм 10 можно вычислить аналогично:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln 10&=10\ln \left(1+{\frac {1}{4}}\right)+3\ln \left(1+{\frac {3}{125}}\right)\\[10pt]&={\cfrac {20}{9-{\cfrac {1^{2}}{27-{\cfrac {2^{2}}{45-{\cfrac {3^{2}}{63-\ddots }}}}}}}}+{\cfrac {18}{253-{\cfrac {3^{2}}{759-{\cfrac {6^{2}}{1265-{\cfrac {9^{2}}{1771-\ddots }}}}}}}}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(x)}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {x^{2}+1}{4x}}}}}}\ldots }$$

Например:

$${\displaystyle {\frac {1}{\ln(2)}}={\frac {4}{3}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {5}{8}}}}}}\ldots }$$

Комплексные логарифмы

Показательную функцию можно расширить до функции, которая дает комплексное число как e ^z для любого произвольного комплексного числа z ; просто используйте бесконечный ряд с комплексом x =z. Эту показательную функцию можно инвертировать, чтобы сформировать комплексный логарифм, который проявляет большинство свойств обыкновенного логарифма. Здесь возникают две трудности: ни один x не имеет e ^x = 0 ; и оказывается, что e ^{2 iπ знак} равно 1 знак равно е ⁰ . Поскольку мультипликативное свойство по-прежнему работает для комплексной показательной функции e ^z = e ^{z +2 kiπ} для всех комплексных z и целых чисел  k .

Таким образом, логарифм не может быть определен для всей комплексной плоскости , и даже тогда он многозначен — любой комплексный логарифм можно превратить в «эквивалентный» логарифм, добавив любое целое число, кратное 2 iπ , по желанию. Комплексный логарифм может быть только однозначным на плоскости сечения . Например, ln i =яπ/2или5 иπ/2или -3 иπ/2, и т. д.; и хотя i ⁴ = 1, 4 ln i можно определить как 2 iπ , или 10 iπ , или −6 iπ , и так далее.

• Графики функции натурального логарифма на комплексной плоскости ( главная ветвь )
• 
  z = Re(ln( x + yi ))
• 
  г = | (Im(ln( x + yi ))) |
• 
  г = | (ln( x + yi )) |
• 
  Суперпозиция предыдущих трех графиков

Смотрите также

• Аппроксимация натуральных показателей (логарифмическая база e)
• Повторный логарифм
• Напиров логарифм
• Список логарифмических тождеств
• Логарифм матрицы
• Логарифмические координаты элемента группы Ли.
• Логарифмическое дифференцирование
• Логарифмическая интегральная функция
• Николас Меркатор - первый, кто использовал термин натуральный логарифм.
• Полилогарифм
• Функция фон Мангольдта

Примечания

1. Включая C , C++ , SAS , MATLAB , Mathematica , Fortran и некоторые диалекты BASIC .
2. Для аналогичного подхода к уменьшению ошибок округления вычислений для определенных входных значений см. тригонометрические функции , такие как versine , vercosine , Coverine , Covercosine , Haversine , Havercosine , Hacoversine , Hacovercosine , Exsecant и excosecant .

Рекомендации

1. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A001113 (десятичное расширение e)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
2. Г.Х. Харди и Э.М. Райт, Введение в теорию чисел, 4-е изд., Оксфорд, 1975, сноска к параграфу 1.7: « log x - это, конечно, «наперовский» логарифм x по основанию e. «Общий» логарифмы не имеют математического интереса ».
3. Мортимер, Роберт Г. (2005). Математика для физической химии (3-е изд.). Академическая пресса . п. 9. ISBN 0-12-508347-5.Выдержка со страницы 9
4. Вайсштейн, Эрик В. «Натуральный логарифм». mathworld.wolfram.com . Проверено 29 августа 2020 г.
5. «Правила, примеры и формулы». Логарифм. Британская энциклопедия . Проверено 29 августа 2020 г.
6. Берн, Р.П. (2001). Альфонс Антонио де Сараса и логарифмы . История Математики . стр. 28:1–17.
7. О'Коннор, Джей-Джей; Робертсон, EF (сентябрь 2001 г.). «Число е». Архив истории математики MacTutor . Проверено 2 февраля 2009 г.
8. Каджори, Флориан (1991). История математики (5-е изд.). Книжный магазин АМС. п. 152. ИСБН 0-8218-2102-4.
9. Неправильное интегральное представление натурального логарифма. , получено 24 сентября 2022 г.
10. ""Логарифмические разложения" на Math2.org".
11. Леонард Эйлер , Введение в Analysin Infinitorum. Томус Примус. Буске, Лозанна, 1748 г. Образец 1, с. 228; quoque в: Opera Omnia, Series Prima, Opera Mathematica, Volumen Octavum, Тойбнер, 1922 г.
12. РУФФА, Энтони. «ПРОЦЕДУРА ГЕНЕРАЦИИ ИДЕНТИЧНОСТИ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ» (PDF) . Международный журнал математики и математических наук . Международный журнал математики и математических наук . Проверено 27 февраля 2022 г.(Страница 3654, уравнение 2.6)
13. Подробное доказательство см., например: Джордж Б. Томас-младший и Росс Л. Финни, Исчисление и аналитическая геометрия , 5-е издание, Аддисон-Уэсли, 1979, раздел 6-5, страницы 305-306.
14. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A002392 (десятичное разложение натурального логарифма 10)». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
15. Сасаки, Т.; Канада, Ю. (1982). «Практически быстрая оценка log(x) с множественной точностью». Журнал обработки информации . 5 (4): 247–250 . Проверено 30 марта 2011 г.
16. Арендт, Тимм (1999). «Быстрые вычисления показательной функции». Стакс 99 . Конспекты лекций по информатике. 1564 : 302–312. дои : 10.1007/3-540-49116-3_28. ISBN 978-3-540-65691-3.
17. Борвейн, Джонатан М.; Борвейн, Питер Б. (1987). Пи и AGM: исследование аналитической теории чисел и сложности вычислений (первое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 0-471-83138-7.стр. 225
18. Биби, Нельсон HF (22 августа 2017 г.). «Глава 10.4. Логарифм около единицы». Справочник по математическим вычислениям - Программирование с использованием портативной библиотеки программного обеспечения MathCW (1-е изд.). Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Springer International Publishing AG . стр. 290–292. дои : 10.1007/978-3-319-64110-2. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN  2017947446. S2CID  30244721. В 1987 году в Berkeley UNIX 4.3BSD появилась функция log1p().
19. Биб, Нельсон HF (9 июля 2002 г.). «Вычисление expm1 = exp(x)−1» (PDF) . 1.00. Солт-Лейк-Сити, Юта, США: Департамент математики, Центр научных вычислений, Университет Юты . Проверено 2 ноября 2015 г.
20. HP 48G Series - Справочное руководство для опытных пользователей (AUR) (4-е изд.). Hewlett Packard . Декабрь 1994 г. [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2 . Проверено 6 сентября 2015 г.
21. Расширенное справочное руководство пользователя графического калькулятора HP 50g / 49g+ / 48gII (AUR) (2-е изд.). Hewlett Packard . 14 июля 2009 г. [2005]. HP F2228-90010 . Проверено 10 октября 2015 г.PDF с возможностью поиска