Гиперболический сектор — это область декартовой плоскости , ограниченная гиперболой и двумя лучами из начала координат в нее. Например, две точки ( a , 1/ a ) и ( b , 1/ b ) на прямоугольной гиперболе xy = 1 , или соответствующая область, когда эта гипербола масштабируется заново и ее ориентация изменяется вращением, оставляющим центр в начале координат, как в случае единичной гиперболы . Гиперболический сектор в стандартном положении имеет a = 1 и b > 1 .
Гиперболические секторы являются основой гиперболических функций .
Площадь гиперболического сектора в стандартном положении равна натуральному логарифму b .
Доказательство: Интегрируем под 1/ x от 1 до b , прибавляем треугольник {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} и вычитаем треугольник {(0, 0), ( b , 0), ( b , 1/ b )} (оба треугольника имеют одинаковую площадь). [1]
В стандартном положении гиперболический сектор соответствует положительному гиперболическому углу в начале координат, причем мера последнего определяется как площадь первого.
В стандартном положении гиперболический сектор определяет гиперболический треугольник — прямоугольный треугольник с одной вершиной в начале координат, основанием на диагональном луче y = x и третьей вершиной на гиперболе.
с гипотенузой, являющейся отрезком от начала координат до точки ( x, y ) на гиперболе. Длина основания этого треугольника равна
и высота над уровнем моря
где u — соответствующий гиперболический угол .
Аналогия между круговыми и гиперболическими функциями была описана Августом Де Морганом в его «Тригонометрии и двойной алгебре» (1849). [2] Уильям Бернсайд использовал такие треугольники, проецируя из точки на гиперболе xy = 1 на главную диагональ, в своей статье «Заметка о теореме сложения для гиперболических функций». [3]
Известно, что f( x ) = x p имеет алгебраическую первообразную, за исключением случая p = –1, соответствующего квадратуре гиперболы . Другие случаи задаются квадратурной формулой Кавальери . В то время как квадратура параболы была достигнута Архимедом в третьем веке до нашей эры (в Квадратуре параболы ), гиперболическая квадратура потребовала изобретения в 1647 году новой функции: Грегуар де Сен-Венсан обратился к проблеме вычисления площадей, ограниченных гиперболой. Его открытия привели к функции натурального логарифма, когда-то названной гиперболическим логарифмом , поскольку она получается путем интегрирования или нахождения площади под гиперболой. [4]
До 1748 года и публикации « Введения в анализ бесконечности » натуральный логарифм был известен в терминах площади гиперболического сектора. Леонард Эйлер изменил это, когда ввел трансцендентные функции, такие как 10 x . Эйлер определил e как значение b , производящее единицу площади (под гиперболой или в гиперболическом секторе в стандартном положении). Тогда натуральный логарифм можно было распознать как обратную функцию к трансцендентной функции e x .
Чтобы учесть случай отрицательных логарифмов и соответствующих отрицательных гиперболических углов, строятся различные гиперболические сектора в зависимости от того, больше или меньше x единицы. Прямоугольный треугольник переменной величины с площадью 1/2 равен Случай равнобедренного треугольника равен Натуральный логарифм известен как площадь под y = 1/ x между единицей и x . Положительный гиперболический угол определяется площадью Отрицательный гиперболический угол определяется отрицательной площадью Это соглашение соответствует отрицательному натуральному логарифму для x в (0,1).
Когда в 1928 году была опубликована книга Феликса Клейна по неевклидовой геометрии , она заложила основу предмета, ссылаясь на проективную геометрию . Чтобы установить гиперболическую меру на прямой, Клейн заметил, что площадь гиперболического сектора обеспечивает наглядную иллюстрацию этой концепции. [5]
Гиперболические секторы также можно нарисовать на гиперболе . Площадь таких гиперболических секторов использовалась для определения гиперболического расстояния в учебнике геометрии. [6]
