Трансцендентальная функция

В математике трансцендентная функция — это аналитическая функция , которая не удовлетворяет полиномиальному уравнению, коэффициенты которого являются функциями независимой переменной, которые можно записать с использованием основных операций сложения, вычитания, умножения и деления. Это контрастирует с алгебраической функцией . ^[1]^[2]

Примерами трансцендентных функций являются показательная функция , логарифм и тригонометрические функции . Уравнения над этими выражениями называются трансцендентными уравнениями .

Определение

Формально аналитическая функция $f (z)$ одной действительной или комплексной переменной $z$ является трансцендентной , если она алгебраически независима от этой переменной. ^[3] Это означает, что функция не удовлетворяет полиномиальному уравнению. Например, функция

f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}

не является трансцендентным, а алгебраическим, поскольку удовлетворяет полиномиальному уравнению

(ax+b)-(cx+d)f(x)=0.

Аналогично, функция , удовлетворяющая уравнению $f(x)$

f(x)^{5}+f(x)=x

является не трансцендентным, а алгебраическим, хотя его и нельзя записать в виде конечного выражения, включающего основные арифметические операции.

Это можно распространить на функции нескольких переменных .

История

Трансцендентные функции синус и косинус были табулированы из физических измерений в древности, как это было засвидетельствовано в Греции ( Гиппарх ) и Индии ( jya и koti-jya ). Описывая таблицу хорд Птолемея , эквивалентную таблице синусов, Олаф Педерсен писал:

Математическое понятие непрерывности как явная концепция неизвестно Птолемею. То, что он, по сути, рассматривает эти функции как непрерывные, следует из его невысказанного предположения, что можно определить значение зависимой переменной, соответствующее любому значению независимой переменной, простым процессом линейной интерполяции . ^[4]

Революционное понимание этих круговых функций произошло в 17 веке и было объяснено Леонардом Эйлером в 1748 году в его «Введении в анализ бесконечного» . Эти древние трансцендентные функции стали известны как непрерывные функции через квадратуру прямоугольной гиперболы xy $= 1$ Грегуаром де Сен-Венсаном в 1647 году, через два тысячелетия после того, как Архимед создал «Квадратуру параболы» .

Было показано, что площадь под гиперболой имеет свойство масштабирования постоянной площади для постоянного отношения границ. Функция гиперболического логарифма, описанная таким образом, имела ограниченное применение до 1748 года, когда Леонард Эйлер связал ее с функциями, где константа возводится в переменную степень, например, с показательной функцией , где постоянное основание равно e . Вводя эти трансцендентные функции и отмечая свойство биекции , которое подразумевает обратную функцию , были предоставлены некоторые возможности для алгебраических манипуляций с натуральным логарифмом , даже если он не является алгебраической функцией.

Показательная функция записывается как . Эйлер отождествил ее с бесконечным рядом , где $k$ $!$ обозначает факториал числа $k$ . $\exp(x)=e^{x}$ ${\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }x^{k}/k!}$

Четные и нечетные члены этого ряда дают суммы, обозначающие $cosh(x)$ и $sinh(x)$ , так что Эти трансцендентные гиперболические функции можно преобразовать в круговые функции синуса и косинуса, введя $(-1)$ $k$ в ряд, что приводит к знакопеременным рядам . После Эйлера математики рассматривают синус и косинус таким образом, чтобы связать трансцендентность с логарифмическими и показательными функциями, часто через формулу Эйлера в арифметике комплексных чисел . $e^{x}=\cosh x+\sinh x.$

Примеры

Пусть c — положительная константа. Следующие функции являются трансцендентными:

${\begin{aligned}f_{1}(x)&=x^{\pi }\\[2pt]f_{2}(x)&=c^{x}\\[2pt]f_{3}(x)&=x^{x}\\f_{4}(x)&=x^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{x}}\\[2pt]f_{5}(x)&=\log _{c}x\\[2pt]f_{6}(x)&=\sin {x}\end{aligned}}$

Для второй функции , если мы положим равным , основанию натурального логарифма , то получим, что является трансцендентной функцией. Аналогично, если мы положим равным в , то получим, что (то есть натуральный логарифм ) является трансцендентной функцией. $f_{2}(x)$ $c$ $e$ $e^{x}$ $c$ $e$ $f_{5}(x)$ $f_{5}(x)=\log _{e}x=\ln x$

Алгебраические и трансцендентные функции

Наиболее известными трансцендентными функциями являются логарифм , экспонента (с любым нетривиальным основанием), тригонометрические и гиперболические функции, а также обратные им функции. Менее известны специальные функции анализа , такие как гамма - функции , эллиптические функции и дзета - функции , все из которых являются трансцендентными. Обобщенные гипергеометрические функции и функции Бесселя являются трансцендентными в общем случае, но алгебраическими для некоторых специальных значений параметров.

Функция, которая не является трансцендентной, является алгебраической . Простыми примерами алгебраических функций являются рациональные функции и функция квадратного корня , но в общем случае алгебраические функции не могут быть определены как конечные формулы элементарных функций, как показано в примере выше (см. теорему Абеля–Руффини ). $f(x)^{5}+f(x)=x$

Неопределенный интеграл многих алгебраических функций является трансцендентным. Например, функция логарифма возникла из обратной функции при попытке найти площадь гиперболического сектора .

Дифференциальная алгебра изучает, как интегрирование часто создает функции, которые алгебраически независимы от некоторого класса, например, когда в качестве переменных берутся многочлены с тригонометрическими функциями.

Трансцендентально трансцендентные функции

Большинство известных трансцендентных функций, включая специальные функции математической физики, являются решениями алгебраических дифференциальных уравнений . Те, которые не являются таковыми, например, гамма- и дзета -функции, называются трансцендентно трансцендентными или гипертрансцендентными функциями. ^[5]

Исключительный набор

Если $f$ — алгебраическая функция и — алгебраическое число , то $f$ $($ $α$ $)$ также является алгебраическим числом. Обратное неверно: существуют целые трансцендентные функции $f$ такие, что $f$ $($ $α$ $)$ является алгебраическим числом для любого алгебраического $α$ . ^[6] Для заданной трансцендентной функции множество алгебраических чисел, дающих алгебраические результаты, называется исключительным множеством этой функции. ^[7]^[8] Формально оно определяется как: $\alpha$

${\mathcal {E}}(f)=\left\{\alpha \in {\overline {\mathbb {Q} }}\,:\,f(\alpha )\in {\overline {\mathbb {Q} }}\right\}.$

Во многих случаях исключительный набор довольно мал. Например, это доказал Линдеман в 1882 году. В частности , $exp(1) =$ $e$ трансцендентно. Кроме того, поскольку $exp($ $iπ$ $) = -1$ является алгебраическим, мы знаем, что $iπ$ не может быть алгебраическим. Поскольку $i$ является алгебраическим, это означает, что $π$ является трансцендентным числом . ${\mathcal {E}}(\exp )=\{0\},$

В общем, нахождение исключительного множества функции является сложной задачей, но если его можно вычислить, то это часто может привести к результатам в теории трансцендентных чисел . Вот некоторые другие известные исключительные множества:

j -инвариант Клейна , где ⁠ ⁠ — верхняя полуплоскость , а ⁠ ⁠ — степень числового поля . ⁠ ⁠ Этот результат принадлежит Теодору Шнайдеру . ^[9] ${\mathcal {E}}(j)=\left\{\alpha \in {\mathcal {H}}\,:\,[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]=2\right\},$ ${\mathcal {H}}$ $[\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]$ $\mathbb {Q} (\alpha ).$
Экспоненциальная функция по основанию 2: Этот результат является следствием теоремы Гельфонда–Шнайдера , которая утверждает, что если является алгебраической, а является алгебраической и иррациональной, то является трансцендентной. Таким образом, функция $2$ $x$ может быть заменена на $c$ $x$ для любого алгебраического $c,$ не равного 0 или 1. Действительно, мы имеем: ${\mathcal {E}}(2^{x})=\mathbb {Q} ,$ $\alpha \neq 0,1$ $\beta$ $\alpha ^{\beta }$ ${\mathcal {E}}(x^{x})={\mathcal {E}}\left(x^{\frac {1}{x}}\right)=\mathbb {Q} \setminus \{0\}.$
Следствием гипотезы Шануэля в теории трансцендентных чисел будет то, что ${\mathcal {E}}\left(e^{e^{x}}\right)=\emptyset .$
Функция с пустым исключительным множеством, не требующая предположения гипотезы Шануэля, $f(x)=\exp(1+\pi x).$

Хотя вычисление исключительного множества для заданной функции нелегко, известно, что для любого подмножества алгебраических чисел, скажем, $A$ , существует трансцендентная функция, исключительным множеством которой является $A$ . ^[10] Подмножество не обязательно должно быть собственным, что означает, что $A$ может быть множеством алгебраических чисел. Это напрямую подразумевает, что существуют трансцендентные функции, которые производят трансцендентные числа только при заданных трансцендентных числах. Алекс Уилки также доказал, что существуют трансцендентные функции, для которых не существует доказательств их трансцендентности с помощью логики первого порядка , предоставив пример аналитической функции . ^[11]

Анализ размеров

В размерном анализе трансцендентные функции примечательны тем, что они имеют смысл только тогда, когда их аргумент безразмерен (возможно, после алгебраического сокращения). Из-за этого трансцендентные функции могут быть легко обнаруживаемым источником размерных ошибок. Например, $log(5 метров)$ является бессмысленным выражением, в отличие от $log(5 метров / 3 метра)$ или $log(3) метров$ . Можно попытаться применить логарифмическое тождество, чтобы получить $log(5) + log(метры)$ , что подчеркивает проблему: применение неалгебраической операции к измерению дает бессмысленные результаты.

Смотрите также

Ссылки

^ Таунсенд, Э. Дж. (1915). Функции комплексной переменной . Х. Холт. стр. 300. OCLC 608083625.
^ Хазевинкель, Мишель (1993). Энциклопедия математики . Том. 9. С. 236.
^ Вальдшмидт, М. (2000). Диофантовы приближения на линейных алгебраических группах. Springer. ISBN 978-3-662-11569-5.
^ Педерсен, Олаф (1974). Обзор Альмагеста . Издательство Оденсе Университета . п. 84. ИСБН 87-7492-087-1.
^ Рубель, Ли А. (ноябрь 1989 г.). «Обзор трансцендентно трансцендентных функций». The American Mathematical Monthly . 96 (9): 777–788. doi :10.1080/00029890.1989.11972282. JSTOR 2324840.
^ Ван дер Поортен, А. Дж. (1968). «Трансцендентные целые функции, отображающие каждое алгебраическое числовое поле в себя». J. Austral. Math. Soc . 8 (2): 192–8. doi : 10.1017/S144678870000522X . S2CID 121788380.
^ Marques, D.; Lima, FMS (2010). «Некоторые трансцендентные функции, дающие трансцендентные значения для каждой алгебраической записи». arXiv : 1004.1668v1 [math.NT].
^ Арчинард, Н. (2003). «Исключительные множества гипергеометрических рядов». Журнал теории чисел . 101 (2): 244–269. doi :10.1016/S0022-314X(03)00042-8.
^ Шнайдер, Т. (1937). «Арифметическая интегральная эллиптическая арифметика». Математика. Аннален . 113 : 1–13. дои : 10.1007/BF01571618. S2CID 121073687.
^ Вальдшмидт, М. (2009). «Вспомогательные функции в теории трансцендентных чисел». The Ramanujan Journal . 20 (3): 341–373. arXiv : 0908.4024 . doi :10.1007/s11139-009-9204-y. S2CID 122797406.
^ Уилки, А. Дж. (1998). «Алгебраически консервативная трансцендентная функция». Препринты Парижа VII . 66.

Внешние ссылки

В Wikibook Associative Composition Algebra есть страница по теме: Трансцендентные функции

Определение «Трансцендентная функция» в Энциклопедии математики