Формула Эйлера

Комплексная экспонента через синус и косинус

Формула Эйлера , названная в честь Леонарда Эйлера , — математическая формула комплексного анализа , устанавливающая фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной показательной функцией . Формула Эйлера гласит, что для любого действительного числа  x имеется

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

eоснование натурального логарифмаiмнимая единицаcossinтригонометрические функции косинуссинусцис xixкомплексное числоформулой Эйлера^[1]

Формула Эйлера повсеместно используется в математике, физике, химии и технике. Физик Ричард Фейнман назвал это уравнение «нашей драгоценностью» и «самой замечательной формулой математики». ^[2]

Когда x = π , формулу Эйлера можно переписать как e ^iπ + 1 = 0 или e ^iπ = -1 , что известно как тождество Эйлера .

История

В 1714 году английский математик Роджер Коутс представил геометрический аргумент, который можно интерпретировать (после исправления неуместного коэффициента ) как: ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

$${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$$

2 πi

Около 1740 года Леонард Эйлер обратил свое внимание на показательную функцию и вывел уравнение, названное в его честь, путем сравнения разложений в ряд показательных и тригонометрических выражений. ^{[6] [4]} Формула была впервые опубликована в 1748 году в его основополагающем труде «Introductio in analysin infinitorum» . ^[7]

Иоганн Бернулли обнаружил, что ^[8]

$${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$$

И с тех пор

$${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$$

комплексных логарифмах

Переписка Бернулли с Эйлером (который также знал приведенное выше уравнение) показывает, что Бернулли не до конца понимал комплексные логарифмы . Эйлер также предположил, что комплексные логарифмы могут иметь бесконечное множество значений.

Представление о комплексных числах как о точках на комплексной плоскости было описано примерно 50 лет спустя Каспаром Весселем .

Определения комплексного возведения в степень

Показательная функция ex для действительных значений ^x может быть определена несколькими различными эквивалентными способами (см. Характеристики показательной функции ). Некоторые из этих методов можно напрямую расширить, чтобы дать определения e ^z для комплексных значений z , просто подставив z вместо x и используя сложные алгебраические операции. В частности, мы можем использовать любое из трех следующих определений, которые эквивалентны. ^{С более продвинутой точки зрения каждое из этих} определений можно интерпретировать как дающее уникальное аналитическое продолжение ex на комплексную плоскость.

Определение дифференциального уравнения

Показательная функция — это уникальная дифференцируемая функция комплексной переменной , у которой производная равна функции ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$

$${\displaystyle {\frac {df}{dz}}=f}$$

$${\displaystyle f(0)=1.}$$

Определение степенного ряда

Для комплексного z

$${\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!}}+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$

Используя тест на соотношение , можно показать, что этот степенной ряд имеет бесконечный радиус сходимости и, таким образом, определяет e ^z для всех комплексных z .

Определение предела

Для комплексного z

$${\displaystyle e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.}$$

Здесь n ограничено целыми положительными числами , поэтому не возникает вопросов о том, что означает степень с показателем n .

Доказательства

Возможны различные доказательства формулы.

Использование дифференциации

Это доказательство показывает, что частное тригонометрического и показательного выражений является постоянной функцией, поэтому они должны быть равны (показательная функция никогда не равна нулю, ^[9] поэтому это разрешено). ^[10]

Рассмотрим функцию f ( θ )

$${\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos \theta +i\sin \theta }{e^{i\theta }}}=e^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}$$

θправилу продукта

$${\displaystyle f'(\theta )=e^{-i\theta }\left(i\cos \theta -\sin \theta \right)-ie^{-i\theta }\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)=0}$$

f ( θ )f (0) = 1f ( θ ) = 1θ

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Использование степенного ряда

Вот доказательство формулы Эйлера с использованием разложения в степенной ряд , а также основные факты о степенях i : ^[11]

$${\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned}}}$$

Используя теперь приведенное выше определение степенного ряда, мы видим, что для реальных значений x

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+{\frac {(ix)^{6}}{6!}}+{\frac {(ix)^{7}}{7!}}+{\frac {(ix)^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {ix^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {ix^{5}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {ix^{7}}{7!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned}}}$$

ряд Маклоренаcos xsin xПерестановка членов оправдана,абсолютно сходится

Использование полярных координат

Другое доказательство ^[12] основано на том, что все комплексные числа могут быть выражены в полярных координатах . Следовательно, для некоторых r и θ, зависящих от x ,

$${\displaystyle e^{ix}=r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right).}$$

Никаких предположений относительно rθe ^ixie ^ix

$${\displaystyle ie^{ix}=\left(\cos \theta +i\sin \theta \right){\frac {dr}{dx}}+r\left(-\sin \theta +i\cos \theta \right){\frac {d\theta }{dx}}.}$$

r (cos θ + i sin θ )e ^ixдоктор/дх= 0dθ/дх= 1rθx + CC. r (0) = 1θ (0) = 0e ^{0 i} = 1r = 1θ = x

$${\displaystyle e^{i\theta }=1(\cos \theta +i\sin \theta )=\cos \theta +i\sin \theta .}$$

Приложения

Приложения в теории комплексных чисел

Формула Эйлера e ^iφ = cos φ + i sin φ, проиллюстрированная на комплексной плоскости.

Интерпретация формулы

Эту формулу можно интерпретировать как утверждение, что функция e ^iφ является единичным комплексным числом , т. е. она очерчивает единичный круг в комплексной плоскости , когда φ проходит через действительные числа. Здесь φ — угол , который линия, соединяющая начало координат с точкой на единичной окружности, образует с положительной действительной осью , измеренный против часовой стрелки и в радианах .

Исходное доказательство основано на разложении в ряд Тейлора показательной функции e ^z (где z — комплексное число) и sin x и cos x для действительных чисел x (см. выше). Фактически, то же доказательство показывает, что формула Эйлера справедлива даже для всех комплексных чисел  x .

Точку на комплексной плоскости можно представить комплексным числом, записанным в декартовых координатах . Формула Эйлера обеспечивает средство преобразования декартовых координат в полярные координаты . Полярная форма упрощает математику при использовании при умножении или степенях комплексных чисел. Любое комплексное число z = x + iy и его комплексно-сопряженное число z = x − iy можно записать как

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi },\\{\bar {z}}&=x-iy=|z|(\cos \varphi -i\sin \varphi )=re^{-i\varphi },\end{aligned}}}$$

• x = Re z – действительная часть,
• y = Im z – мнимая часть,
• р = | г | = √ x ² + y ² — величина zи _
• φ знак равно arg z знак равно atan2 ( y , x ) .

φ — это аргумент z , т. е. угол между осью x и вектором z , измеренный против часовой стрелки в радианах , который определяется с точностью до сложения 2 π . Во многих текстах пишут φ = tan ⁻¹ й/Иксвместо φ = atan2( y , x ) , но первое уравнение требует корректировки, когда x ≤ 0 . Это связано с тем, что для любых действительных x и y , кроме нуля, углы векторов ( x , y ) и (− x , − y ) различаются на π радиан, но имеют одинаковое значение tan φ =й/Икс.

Использование формулы для определения логарифма комплексных чисел

Теперь, взяв эту производную формулу, мы можем использовать формулу Эйлера для определения логарифма комплексного числа. Для этого воспользуемся также определением логарифма (как обратного оператора возведения в степень):

$${\displaystyle a=e^{\ln a},}$$

$${\displaystyle e^{a}e^{b}=e^{a+b},}$$

ab

$${\displaystyle z=\left|z\right|e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|}e^{i\varphi }=e^{\ln \left|z\right|+i\varphi }}$$

z ≠ 0

$${\displaystyle \ln z=\ln \left|z\right|+i\varphi ,}$$

логарифмамногозначной функциейφ

Наконец, другой экспоненциальный закон

$${\displaystyle \left(e^{a}\right)^{k}=e^{ak},}$$

kтригонометрических тождествформулу де Муавра

Связь с тригонометрией

Связь между синусом, косинусом и показательной функцией

Формулы Эйлера, определений тригонометрических функций и стандартных тождеств для экспонент достаточно, чтобы легко вывести большинство тригонометрических тождеств. Он обеспечивает мощную связь между анализом и тригонометрией и обеспечивает интерпретацию функций синуса и косинуса как взвешенных сумм экспоненциальной функции:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.\end{aligned}}}$$

Два приведенных выше уравнения можно получить путем сложения или вычитания формул Эйлера:

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$

Эти формулы могут даже служить определением тригонометрических функций для комплексных аргументов x . Например, полагая x = iy , мы имеем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos iy&={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\cosh y,\\\sin iy&={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}={\frac {e^{y}-e^{-y}}{2}}i=i\sinh y.\end{aligned}}}$$

Сложные экспоненты могут упростить тригонометрию, поскольку ими легче манипулировать, чем их синусоидальными компонентами. Один из методов — просто преобразовать синусоиды в эквивалентные выражения в терминах экспоненты. После манипуляций упрощенный результат по-прежнему имеет реальное значение. Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}}+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}}{\bigg )}\\&={\frac {1}{2}}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned}}}$$

Другой метод состоит в том, чтобы представить синусоиды как действительную часть сложного выражения и выполнить манипуляции с этим сложным выражением. Например:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\operatorname {Re} \left(e^{inx}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\right)\\&=\operatorname {Re} {\Big (}e^{i(n-1)x}\cdot {\big (}\underbrace {e^{ix}+e^{-ix}} _{2\cos x}-e^{-ix}{\big )}{\Big )}\\&=\operatorname {Re} \left(e^{i(n-1)x}\cdot 2\cos x-e^{i(n-2)x}\right)\\&=\cos[(n-1)x]\cdot [2\cos x]-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}$$

Эта формула используется для рекурсивной генерации cos nx для целых значений n и произвольного x (в радианах).

Топологическая интерпретация

На языке топологии формула Эйлера утверждает, что мнимая показательная функция представляет собой ( сюръективный ) морфизм топологических групп от действительной прямой к единичному кругу . Фактически, это проявляется как покрывающее пространство . Аналогично, тождество Эйлера говорит, что ядром этого отображения является , где . Эти наблюдения можно объединить и обобщить в коммутативной диаграмме ниже: ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ${\displaystyle \tau \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tau =2\pi }$

Формула и тождество Эйлера объединены в схематической форме.

Другие приложения

В дифференциальных уравнениях функция eix часто используется для упрощения решений, даже если окончательный ответ представляет собой действительную функцию, включающую синус и косинус ^. Причина этого в том, что показательная функция является собственной функцией операции дифференцирования .

В электротехнике , обработке сигналов и подобных областях сигналы, которые периодически изменяются во времени, часто описываются как комбинация синусоидальных функций (см. Анализ Фурье ), и их удобнее выражать как сумму экспоненциальных функций с мнимыми показателями степени, используя формулу Эйлера. формула. Кроме того, векторный анализ цепей может включать формулу Эйлера для представления импеданса конденсатора или катушки индуктивности.

В четырехмерном пространстве кватернионов существует сфера мнимых единиц . Для любой точки r на этой сфере и x — действительного числа применима формула Эйлера:

$${\displaystyle \exp xr=\cos x+r\sin x,}$$

версором3-сферу

Смотрите также

• Комплексное число
• Личность Эйлера
• Интегрирование по формуле Эйлера
• История преобразований Лоренца § Пробел Эйлера
• Список вещей, названных в честь Леонарда Эйлера

Рекомендации

1. Московиц, Мартин А. (2002). Курс комплексного анализа по одной переменной. Всемирная научная издательская компания с. 7. ISBN 981-02-4780-Х.
2. Фейнман, Ричард П. (1977). Фейнмановские лекции по физике, том. И. Аддисон-Уэсли. п. 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
3. Котес писал: «Nam si Quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complexi adquarantem XE  ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus eritrationis inter & ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ CE mensura ducta in ». ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$(Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE  ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между & CE умноженное на .) То есть рассмотрим круг, имеющий центр E (в начале плоскости (x,y)) и радиус CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E , имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси X является «синусом» CX  ; линия между центром E круга и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Таким образом, соотношение между и CE составляет . В терминологии Котса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, преобразующий меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус (CE ) окружности ). Согласно Котесу, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на , равняется длине дуги окружности, опирающейся на θ , которая для любого угла, измеренного в радианах, равна CE • θ . Таким образом, . В этом уравнении есть неуместный фактор: фактор должен находиться в правой части уравнения, а не в левой. Если произвести изменение масштаба на , то после деления обеих частей на CE и возведения обеих частей в степень результат будет: , что является формулой Эйлера. Видеть: ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \ }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }}$
   
   • Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.
   • Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28.
   • https://nrich.maths.org/1384
4. Джон Стиллвелл (2002). Математика и ее история. Спрингер. ISBN 9781441960528.
5. Сандифер, К. Эдвард (2007), Лучшие хиты Эйлера , ISBN Математической ассоциации Америки 978-0-88385-563-8 
6. Леонард Эйлер (1748) Глава 8: О превышении величин, вытекающих из круга « Введение в анализ бесконечного» , страница 214, раздел 138 (перевод Яна Брюса, ссылка в формате pdf из математики 17 века).
7. Конвей и Гай, стр. 254–255.
8. Бернулли, Иоганн (1702). «Решение проблемы, касающейся интегрального исчисления, с некоторыми примечаниями, относящимися к этому расчету». Мемуары Парижской Королевской академии наук . 1702 : 289–297.
9. Апостол, Том (1974). Математический анализ . Пирсон. п. 20. ISBN 978-0201002881.Теорема 1.42.
10. user02138 (https://math.stackexchange.com/users/2720/user02138), Как доказать формулу Эйлера: $e^{i\varphi}=\cos(\varphi) +i\sin(\varphi)$ ?, URL-адрес (версия: 25 июня 2018 г.): https://math.stackexchange.com/q/8612
11. Рикардо, Генри Дж. (23 марта 2016 г.). Современное введение в дифференциальные уравнения. Эльзевир Наука. п. 428. ИСБН 9780123859136.
12. Стрэнг, Гилберт (1991). Исчисление. Уэлсли-Кембридж. п. 389. ИСБН 0-9614088-2-0.Второе доказательство на странице.

дальнейшее чтение

• Нахин, Пол Дж. (2006). Потрясающая формула доктора Эйлера: лечит многие математические недуги . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-11822-2.
• Уилсон, Робин (2018). Новаторское уравнение Эйлера: самая красивая теорема в математике . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-879492-9. МР  3791469.

Внешние ссылки

• Элементы алгебры