Роджер Коутс

Английский математик (1682–1716).

Роджер Коутс, FRS (10 июля 1682 — 5 июня 1716) — английский математик , известный своим тесным сотрудничеством с Исааком Ньютоном , вычиткой второго издания его знаменитой книги « Начала » перед публикацией. Он также изобрел квадратурные формулы, известные как формулы Ньютона-Котеса , и привел геометрический аргумент, который можно интерпретировать как логарифмическую версию формулы Эйлера . ^[4] Он был первым профессором Плюмиана в Кембриджском университете с 1707 года до своей смерти.

Ранний период жизни

Коутс родился в Бербедже, Лестершир . Его родителями были Роберт, ректор Бербеджа, и его жена Грейс, урожденная Фармер. У Роджера был старший брат Энтони (род. 1681) и младшая сестра Сюзанна (род. 1683), оба умерли молодыми. Сначала Роджер посещал Лестерскую школу, где был признан его математический талант. Его тетя Ханна вышла замуж за преподобного Джона Смита, и Смит взял на себя роль наставника, чтобы поощрять талант Роджера. Сын Смитов, Роберт Смит , на протяжении всей своей жизни стал близким соратником Роджера Коутса. Позже Котес учился в школе Святого Павла в Лондоне и поступил в Тринити-колледж в Кембридже в 1699 году. ^[5] Он получил степень бакалавра в 1702 году и степень магистра в 1706 году. ^[2]

Астрономия

Вклад Роджера Коутса в современные вычислительные методы в значительной степени лежит в области астрономии и математики. Котес начал свою образовательную карьеру с упором на астрономию . Он стал научным сотрудником Тринити-колледжа в 1707 году, а в 26 лет стал первым плюмианским профессором астрономии и экспериментальной философии. При назначении на должность профессора он открыл список подписок, чтобы предоставить Тринити обсерваторию . К сожалению, на момент смерти Котеса обсерватория так и не была достроена и была снесена в 1797 году. ^[2]

В переписке с Исааком Ньютоном Котес сконструировал гелиостатный телескоп с зеркалом, вращающимся по часовому механизму. ^{[6] [7]} Он пересчитал солнечные и планетарные таблицы Джованни Доменико Кассини и Джона Флемстида и намеревался создать таблицы движения Луны , основанные на принципах Ньютона. ^{[ нужна цитата ]} Наконец, в 1707 году он сформировал школу физических наук в Тринити в партнерстве с Уильямом Уистоном . ^[2]

Принципы _

С 1709 по 1713 год Котес активно участвовал в работе над вторым изданием «Начал» Ньютона , книги, в которой объяснялась теория всемирного тяготения Ньютона . Первое издание «Начал» было напечатано всего в нескольких экземплярах и нуждалось в доработке, чтобы включить в него работы Ньютона и принципы теории Луны и планет. ^[2] Ньютон поначалу отнесся к пересмотру небрежно, так как практически отказался от научной работы. ^{[ нужна цитата ]} Однако благодаря энергичной страсти, проявленной Котесом, научный голод Ньютона снова разгорелся. ^{[ нужна цитата ] Эти двое провели} почти три с половиной года, сотрудничая над работой, в которой они полностью вывели из законов движения Ньютона теорию Луны , равноденствий и орбит комет . Было напечатано всего 750 экземпляров второго издания ^[2], хотя для удовлетворения спроса на произведение распространялись и пиратские копии из Амстердама . ^{[ нужна цитата ]} В качестве награды Котесу он получил долю прибыли и 12 собственных копий. ^{[ нужна цитация ]} Оригинальный вклад Котеса в работу был предисловием, которое поддержало научное превосходство принципов Ньютона над тогдашней популярной вихревой теорией гравитации, которую отстаивал Рене Декарт . Котс пришел к выводу, что закон тяготения Ньютона был подтвержден наблюдениями небесных явлений, несовместимых с теорией вихрей. ^[2]

Математика

Основная оригинальная работа Котса была связана с математикой, особенно в области интегрального исчисления , логарифмов и численного анализа . За свою жизнь он опубликовал только одну научную работу под названием «Логометрия» , в которой успешно построил логарифмическую спираль . ^{[8] [9]} После его смерти многие математические статьи Котеса были отредактированы его двоюродным братом Робертом Смитом и опубликованы в книге Harmonia mensurarum . ^{[2] [10]} Дополнительные работы Коутса были позже опубликованы в книге Томаса Симпсона « Доктрина и применение флюксий» . ^[8] Хотя стиль Котеса был несколько неясным, его систематический подход к интегрированию и математической теории высоко ценился его коллегами. ^{[ нужна цитация ]} Котс открыл важную теорему о корнях n - й степени из единицы , ^[11] предвидел метод наименьших квадратов , ^[12] и открыл метод интегрирования рациональных дробей с биномиальными знаменателями . ^{[8] [13]} Его также хвалили за усилия в области численных методов, особенно в методах интерполяции и методах построения таблиц. ^[8] Он считался одним из немногих британских математиков, способных следовать мощным работам сэра Исаака Ньютона. ^{[ нужна цитата ]}

Смерть и оценка

Котес умер от сильной лихорадки в Кембридже в 1716 году в возрасте 33 лет. Исаак Ньютон заметил: «Если бы он жил, мы бы что-то знали». ^[2]

Смотрите также

• Спираль Котса
• Расширенный алгоритм Евклида
• Формулы Ньютона–Котеса
• Литуус (математика)

Рекомендации

1. Гоуинг 2002, с. 5.
2. Мели (2004)
3. Руснок (2004) «Юрин, Джеймс (род. 1684, ум. 1750)», Оксфордский национальный биографический словарь , Oxford University Press, получено 6 сентября 2007 г. (требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании)
4. Котес писал: «Nam si Quadrantis circuli quilibet arcus, radio CE descriptus, sinun habeat CX sinumque complexi adquarantem XE  ; sumendo radium CE pro Modulo, arcus eritrationis inter & ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ CE mensura ducta in ». ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$(Таким образом, если любая дуга квадранта окружности, описываемая радиусом CE , имеет синус CX и синус дополнения к квадранту XE  ; принимая радиус CE в качестве модуля, дуга будет мерой отношения между & CE умноженное на .) То есть рассмотрим круг, имеющий центр E (в начале плоскости (x,y)) и радиус CE . Рассмотрим угол θ с вершиной в точке E , имеющий положительную ось x в качестве одной стороны и радиус CE в качестве другой стороны. Перпендикуляр из точки C на окружности к оси X является «синусом» CX  ; линия между центром E круга и точкой X у основания перпендикуляра — это XE , которая является «синусом дополнения к квадранту» или «косинусом». Таким образом, соотношение между и CE составляет . В терминологии Котса «мерой» величины является ее натуральный логарифм, а «модуль» — это коэффициент преобразования, преобразующий меру угла в длину дуги окружности (здесь модуль — это радиус (CE ) окружности ). Согласно Котесу, произведение модуля и меры (логарифма) отношения, умноженное на , равняется длине дуги окружности, опирающейся на θ , которая для любого угла, измеренного в радианах, равна CE • θ . Таким образом, . В этом уравнении неправильный знак: фактор должен находиться в правой части уравнения, а не в левой. Если это изменение будет сделано, то после деления обеих частей на CE и возведения обеих частей в степень результат будет: , что является формулой Эйлера. Видеть: ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle EX+XC{\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \ }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle \cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }}$
   
   • Роджер Коутс (1714) «Логометрия», Философские труды Лондонского королевского общества , 29 (338): 5–45; особенно см. стр. 32. Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust.
   • Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: «Логометрия», стр. 28.
5. "Котес, Роджер (CTS699R)" . База данных выпускников Кембриджа . Кембриджский университет.
6. Эдлстон, Дж., изд. (1850) Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса… (Лондон, Англия: Джон В. Паркер), «Письмо XCVIII. Котес Джону Смиту». (10 февраля 1708 г.), стр. 197–200.
7. Кау, Аутар (1 января 2003 г.). «Котес - Исторический анекдот». mathforcollege.com . Проверено 12 декабря 2017 г.
8. О'Коннор и Робертсон (2005)
9. В «Логометрии» Котес оценил e, основание натуральных логарифмов , с точностью до 12 десятичных знаков. См.: Роджер Коутс (1714) «Логометрия», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 29 (338): 5–45; особенно смотрите нижнюю часть страницы 10. Со страницы 10: «Соотношение Porro eadem est inter 2,718281828459 и т. д. и т. д.» (Кроме того, то же самое соотношение находится между 2,718281828459… и 1, …)
10. Harmonia mensurarum содержит главу комментариев Роберта Смита к работе Котеса. На странице 95 Смит впервые приводит значение 1 радиана . См.: Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722 г.), глава: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, начало страницы 95. Со страницы 95: После утверждения, что 180 ° соответствует длине π. (3,14159…) вдоль единичного круга (т. е. π радиан), Смит пишет: «Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57,2957795130 и т. д.» (Отсюда появится коэффициент преобразования тригонометрической меры, 57,2957795130… [градусов на радиан].)
11. Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per методум mensurarum ulterius extensam» (Теоремы, некоторые логорифмические, некоторые тригонометрические, которые получить флюенты данных флюксий с помощью разработанного далее метода измерений), страницы 113-114.
12. Роджер Коутс с Робертом Смитом, изд., Harmonia mensurarum … (Кембридж, Англия: 1722), глава: «Aestimatio errorum in mixta mathesis pervaries partium trianguli plani et sphaerici» Harmonia mensurarum…, страницы 1–22, см. особенно стр. 22. Со стр. 22: «Sit p locus Objecti alicujus ex Observatione prima definitus,… ejus loco tutissime haberi potest». (Пусть p — местоположение некоторого объекта, определенное наблюдением, q, r, s — местоположения того же объекта из последующих наблюдений. Пусть также существуют веса P, Q, R, S, обратно пропорциональные смещениям, которые могут возникнуть в результате ошибки в единичных наблюдениях, которые даны из заданных пределов погрешности, а веса P, Q, R, S считаются помещенными в точки p, q, r, s, а их центр тяжести Z находится : Я говорю, что точка Z является наиболее вероятным местоположением объекта и ее можно наиболее безопасно принять за его истинное место ([Рональд Гоуинг, 1983, стр. 107]).
13. Котс представил свой метод в письме Уильяму Джонсу от 5 мая 1716 года. Отрывок из письма, в котором обсуждается этот метод, был опубликован в: [Anon.] (1722), Рецензия на книгу: «Отчет о книге с названием: Harmonia Mensurarum ,…», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 32  : 139–150; см. стр. 146–148.

Источники

• [Анон.] «Котес, Роджер»  . Британская энциклопедия . Том. 7 (11-е изд.). 1911.
• Коэн, И.Б. (1971). Знакомство с «Началами» Ньютона . Гарвард: Издательство Гарвардского университета. ISBN 0-674-46193-2.
• Эдлстон, Дж., изд. (1850). Переписка сэра Исаака Ньютона и профессора Котса.через Интернет-архив
• Гоуинг, Р. (2002). Роджер Коутс: натурфилософ . Лондон: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-52649-3.
• Койре, А. (1965). Ньютоновские исследования . Лондон: Чепмен и Холл. стр. 273–82. ISBN 0-412-42300-6.
• Прайс, диджей (1952). «Ранние инструменты обсерватории Тринити-колледжа в Кембридже». Анналы науки . 8 : 1–12. дои : 10.1080/00033795200200012.
• Тернбулл, HW; и другие. (1975–1976). Переписка Исаака Ньютона (изд. в 7 томах). Лондон: Издательство Кембриджского университета. тома 5–6.
• Уитмен, А., изд. (1972). «Philosophiae Naturalis Principia Mathematica» Исаака Ньютона: третье издание (1726 г.) с различными прочтениями . Лондон: Издательство Кембриджского университета. стр. 817–26. ISBN 0-521-07960-8.

Внешние ссылки

• «Гармония Мензурарум». Математические страницы . Проверено 7 сентября 2007 г.- Более полный отчет об участии Котса в Principia с последующим еще более тщательным обсуждением его математической работы.
• Роджер Коутс в проекте «Математическая генеалогия»
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Роджер Коутс», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Мели, Д.Б. (2004) «Котес, Роджер (1682–1716)», Оксфордский национальный биографический словарь , Oxford University Press, получено 7 сентября 2007 г. (требуется подписка или членство в публичной библиотеке Великобритании)