Формулы Ньютона–Котеса

Формулы численного интегрирования

Формула Ньютона-Котеса для  ${\displaystyle n=2}$

В численном анализе формулы Ньютона -Котеса , также называемые квадратурными правилами Ньютона-Котеса или просто правилами Ньютона-Котеса , представляют собой группу формул численного интегрирования (также называемых квадратурами ), основанных на вычислении подынтегральной функции в равноотстоящих друг от друга точках. Они названы в честь Исаака Ньютона и Роджера Коутса .

Формулы Ньютона-Котеса могут быть полезны, если задано значение подынтегральной функции в равноотстоящих друг от друга точках. Если можно изменить точки, в которых вычисляется подынтегральное выражение, то, вероятно, более подходящими будут другие методы, такие как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу – Кертиса .

Описание

Предполагается, что значение функции f, определенной на, известно в равноотстоящих друг от друга точках: . Существует два класса квадратур Ньютона-Котеса: они называются «закрытыми», когда и , т.е. они используют значения функции в конечных точках интервала, и «открытыми», когда и , т.е. они не используют значения функции в конечных точках. Формулы Ньютона–Котеса с использованием точек можно определить (для обоих классов) как ^[1] ​​где ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle a\leq x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leq b}$ ${\displaystyle x_{0}=a}$ ${\displaystyle x_{n}=b}$ ${\displaystyle x_{0}>a}$ ${\displaystyle x_{n}<b}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}w_{i}\,f(x_{i}),}$$

• для закрытой формулы, , при , ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$
• для открытой формулы, , с . ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$

Число h называется размером шага , называются весами . Веса можно вычислить как интеграл от базисных полиномов Лагранжа . Они зависят только от функции f , а не от нее . Пусть будет интерполяционным полиномом в форме Лагранжа для заданных точек данных , тогда ${\displaystyle w_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),(x_{1},f(x_{1})),\ldots ,(x_{n},f(x_{n}))}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b}\left(\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x)\right)\,dx=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{w_{i}}.}$$

Нестабильность для высокой степени

Можно построить формулу Ньютона–Котеса любой степени n . Однако при больших n правило Ньютона-Котеса иногда может страдать от катастрофического явления Рунге ^[2] , когда ошибка растет экспоненциально при больших n . Такие методы, как квадратура Гаусса и квадратура Кленшоу – Кертиса с неравноотстоящими точками (сгруппированными в конечных точках интервала интегрирования), стабильны и гораздо более точны, и их обычно предпочитают методам Ньютона – Коутса. Если эти методы нельзя использовать, поскольку подынтегральная функция задается только в фиксированной равнораспределенной сетке, то феномена Рунге можно избежать, используя составное правило, как описано ниже.

Альтернативно, устойчивые формулы Ньютона-Котеса могут быть построены с использованием приближения наименьших квадратов вместо интерполяции. Это позволяет строить численно устойчивые формулы даже для высоких степеней. ^{[3] [4]}

Закрытые формулы Ньютона–Котеса

В этой таблице перечислены некоторые формулы Ньютона–Котеса закрытого типа. Ибо пусть где , а . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$

Правило Буля иногда ошибочно называют правилом Боде из-за распространения типографской ошибки в раннем справочнике Абрамовица и Стегуна . ^[5]

Показатель размера шага h в члене ошибки дает скорость, с которой уменьшается ошибка аппроксимации. Порядок производной f в члене ошибки дает наименьшую степень полинома, который больше не может быть точно проинтегрирован (т.е. с ошибкой, равной нулю) с помощью этого правила. Число должно быть взято из интервала ( a , b ) , поэтому граница ошибки равна члену ошибки при . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle f(\xi )=\max(f(x)),a<x<b}$

Открытые формулы Ньютона – Котеса.

В этой таблице перечислены некоторые формулы Ньютона–Котеса открытого типа. Ибо пусть где , а . ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$ ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$ ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$ ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$

Составные правила

Чтобы правила Ньютона-Котеса были точными, размер шага h должен быть небольшим, а это означает, что интервал интегрирования сам по себе должен быть мал, что в большинстве случаев неверно. По этой причине численное интегрирование обычно выполняется путем разделения на более мелкие подинтервалы, применения правила Ньютона-Котеса к каждому подинтервалу и суммирования результатов. Это называется составным правилом . См. Численное интегрирование . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [a,b]}$

Смотрите также

• Квадратура (математика)
• Интерполяция
• Сплайн-интерполяция

Рекомендации

1. Квартерони, Альфио ; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2006). Численная математика (второе изд.). Спрингер. стр. 386–387. ISBN 978-3-540-34658-6.
2. Квартерони, Альфио ; Сакко, Риккардо; Салери, Фаусто (2006). Численная математика (второе изд.). Спрингер. стр. 390–391. ISBN 978-3-540-34658-6.
3. Павел Голобородько (24 марта 2011 г.). «Стабильные формулы Ньютона-Котеса» . Проверено 17 августа 2015 г.
4. Павел Голобородько (20 мая 2012 г.). «Стабильные формулы Ньютона-Котеса (открытого типа)» . Проверено 18 августа 2015 г.
5. Правило Буля в Wolfram Mathworld, с опечаткой в ​​году «1960» (вместо «1860»)

• М. Абрамовиц и И. А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Дувр, 1972 г. (см. раздел 25.4.)
• Джордж Э. Форсайт, Майкл А. Малкольм и Клив Б. Молер. Компьютерные методы математических вычислений . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис – Холл, 1977. (См. раздел 5.1.)
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 4.1. Классические формулы для равноотстоящих друг от друга абсцисс», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• Йозеф Стер и Роланд Булирш. Введение в численный анализ . Нью-Йорк: Springer-Verlag, 1980. (См. раздел 3.1.)

Внешние ссылки

• «Квадратурная формула Ньютона-Котеса», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Формулы Ньютона–Котеса на сайте www.math-linux.com.
• Вайсштейн, Эрик В. «Формулы Ньютона – Котеса». Математический мир .
• Интеграция Ньютона – Коутса, numericmathematics.com