В математике , особенно в геометрии , квадратура (также называемая возведением в квадрат ) — это исторический процесс рисования квадрата той же площади, что и заданная плоская фигура , или вычисления числового значения этой площади . Классический пример — квадратура круга (или квадратура круга). Квадратурные задачи послужили одним из главных источников проблем в развитии исчисления . Они знакомят с важными темами математического анализа .
Греческие математики понимали определение площади фигуры как процесс геометрического построения квадрата , имеющего ту же площадь ( возведение в квадрат ), отсюда и название этого процесса — квадратура . Греческие геометры не всегда добивались успеха (см. квадратуру круга ), но они выполняли квадратуры некоторых фигур, стороны которых не были просто отрезками прямых, таких как луна Гиппократа и парабола . По определенной греческой традиции эти построения нужно было производить, используя только циркуль и линейку , хотя не все греческие математики придерживались этого изречения.
Для квадратуры прямоугольника со сторонами a и b необходимо построить квадрат со стороной ( средним геометрическим a и b ). Для этого можно воспользоваться следующим: если нарисовать круг диаметром, полученным из соединения отрезков длин a и b , то высота ( BH на схеме) отрезка, проведенного перпендикулярно диаметру, из точка их соединения с точкой пересечения окружности равна среднему геометрическому а и b . Подобная геометрическая конструкция решает задачи квадратуры параллелограмма и треугольника.
Гораздо сложнее задачи квадратуры для криволинейных фигур. В XIX веке было доказано, что квадратура круга с помощью циркуля и линейки невозможна. [1] [2] Тем не менее, для некоторых фигур квадратуру можно выполнить. Квадратуры поверхности сферы и отрезка параболы , открытые Архимедом , стали высшим достижением анализа в древности.
Для доказательства этих результатов Архимед использовал метод исчерпывания, приписываемый Евдоксу . [3]
В средневековой Европе квадратура означала вычисление площади любым методом. Чаще всего использовался метод неделимых ; оно было менее строгим, чем геометрические построения греков, но было проще и мощнее. С ее помощью Галилео Галилей и Жиль де Роберваль нашли площадь циклоидной арки, Грегуар де Сен-Винсент исследовал площадь под гиперболой ( Opus Geometricum , 1647), [3] : 491 и Альфонс Антонио де Сараса , де Сен- Ученик и комментатор Винсента отметил связь этой области с логарифмами . [3] : 492 [4]
Джон Уоллис алгебраизировал этот метод; он написал в своей «Арифметике бесконечности» (1656 г.) некоторые ряды, которые эквивалентны тому, что сейчас называется определенным интегралом , и вычислил их значения. Исаак Барроу и Джеймс Грегори добились дальнейшего прогресса: квадратуры для некоторых алгебраических кривых и спиралей . Христиан Гюйгенс успешно выполнил квадратуру площади поверхности некоторых тел вращения .
Квадратура гиперболы Грегуара де Сен-Венсана и А. А. де Сарасы предоставила новую функцию — натуральный логарифм , имеющую решающее значение. С изобретением интегрального исчисления появился универсальный метод расчета площади. В ответ термин « квадратура» стал традиционным, и вместо этого современная фраза « нахождение площади » чаще используется для того, что технически является вычислением одномерного определенного интеграла .
