Логарифмическая спираль

Самоподобная кривая роста

Логарифмическая спираль ( шаг 10°)

Часть множества Мандельброта по логарифмической спирали.

Логарифмическая спираль , равноугольная спираль или спираль роста — это самоподобная спиральная кривая , часто встречающаяся в природе. Первым, кто описал логарифмическую спираль, был Альбрехт Дюрер (1525), назвавший ее «вечной линией» («ewige Linie»). ^{[1] [2]} Более века спустя кривая обсуждалась Декартом ( 1638), а позже широко исследовалась Якобом Бернулли , который назвал ее Spira mirabilis , «чудесной спиралью».

Логарифмическую спираль можно отличить от архимедовой спирали тем, что расстояния между витками логарифмической спирали увеличиваются в геометрической прогрессии , тогда как в архимедовой спирали эти расстояния постоянны.

Определение

В полярных координатах логарифмическую спираль можно записать как ^[3] ${\displaystyle (r,\varphi )}$

$${\displaystyle r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,}$$

$${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},}$$

натуральных логарифмов ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle k\neq 0}$

В декартовых координатах

Логарифмическая спираль с полярным уравнением

$${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$

${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$

$${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$

сложной плоскости ${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

$${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

Spira mirabilis и Якоб Бернулли

Spira mirabilis , что по латыни означает «чудесная спираль», — другое название логарифмической спирали. Хотя эта кривая уже была названа другими математиками, конкретное название («чудесная» или «чудесная» спираль) этой кривой дал Якоб Бернулли , потому что он был очарован одним из ее уникальных математических свойств: размером спирали. увеличивается, но ее форма не меняется с каждой последующей кривой — свойство, известное как самоподобие . Возможно, в результате этого уникального свойства спира мирабилис эволюционировала в природе, появляясь в определенных растущих формах, таких как раковины наутилуса и головки подсолнечника . Якоб Бернулли хотел, чтобы такая спираль была выгравирована на его надгробии вместе с фразой « Eadem mutata resurgo » («Хотя я изменился, я восстану таким же»), но по ошибкетам была помещена спираль Архимеда . ^{[4] [5]}

Характеристики

Определение угла уклона и сектора

Анимация, показывающая постоянный угол между пересекающейся окружностью с центром в начале координат и логарифмической спиралью.

Логарифмическая спираль обладает следующими свойствами (см. Спираль ): ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$

• Угол наклона : ${\displaystyle \tan \alpha =k\quad ({\color {red}{\text{constant !}}})}$
  с углом тангажа (см. схему и анимацию). ${\displaystyle \alpha }$
  (В случае угла будет 0, а кривая — круг с радиусом .) ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$
• Кривизна : ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• Длина дуги : ${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha }}}$
  Особенно: , если . ${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad ({\color {red}{\text{finite !}}})\;}$ ${\displaystyle k>0}$
  Это свойство было впервые реализовано Евангелистой Торричелли еще до изобретения исчисления . ^[6]
• Площадь сектора: ${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• Инверсия: Инверсия круга ( ) отображает логарифмическую спираль на логарифмическую спираль. ${\displaystyle r\to 1/r}$ ${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

Примеры для ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$

• Вращение, масштабирование . Вращение спирали на угол дает спираль , которая представляет собой исходную спираль, равномерно масштабированную (в начале координат) на . ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$ ${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$
  Масштабирование дает ту же кривую. ${\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}$
• Самоподобие : результат предыдущего свойства:
  Масштабированная логарифмическая спираль конгруэнтна (путем вращения) исходной кривой.
  Пример: На диаграмме показаны спирали с углом наклона и . Следовательно, все они являются масштабированными копиями красного. Но их также можно создать, вращая красную на соответствующие углы. Все спирали не имеют общих точек (см. свойство комплексной экспоненциальной функции ). ${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$ ${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$ ${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$
• Отношение к другим кривым: Логарифмические спирали конгруэнтны своим собственным эвольвентам , эволютам и педальным кривым на основе их центров.
• Комплексная экспоненциальная функция : Экспоненциальная функция точно отображает все линии, не параллельные действительной или мнимой оси в комплексной плоскости, во все логарифмические спирали в комплексной плоскости с центром в точке : ${\displaystyle 0}$
  $${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}}$$
  Угол наклона логарифмической спирали — это угол между прямой и воображаемой осью. ${\displaystyle \alpha }$

Особые случаи и приближения

Золотая спираль — это логарифмическая спираль, которая увеличивается наружу на коэффициент золотого сечения на каждые 90 градусов вращения (угол наклона около 17,03239 градусов). Его можно аппроксимировать «спиралью Фибоначчи», состоящей из последовательности четвертей круга с радиусами, пропорциональными числам Фибоначчи .

В природе

Разрез раковины наутилуса , показывающий камеры, расположенные примерно по логарифмической спирали. Построенная спираль (пунктирная синяя кривая) основана на параметре скорости роста , что приводит к шагу . ${\displaystyle b=0.1759}$ ${\displaystyle \arctan b\approx 10^{\circ }}$

В некоторых природных явлениях можно встретить кривые, близкие к логарифмическим спиралям. Вот несколько примеров и причин:

• Приближение ястреба к своей жертве при классической погоне , при условии, что добыча движется по прямой. Их самый острый взгляд находится под углом к ​​направлению полета; этот угол такой же, как шаг спирали. ^[7]
• Приближение насекомого к источнику света. Они привыкли располагать источник света под постоянным углом к ​​траектории полета. Обычно Солнце (или Луна для ночных видов) является единственным источником света, и полет таким образом приведет к практически прямой линии. ^[8]
• Рукава спиральных галактик . ^[9] Галактика Млечный Путь имеет несколько спиральных рукавов, каждый из которых представляет собой примерно логарифмическую спираль с шагом около 12 градусов. ^[10] Однако, хотя спиральные галактики часто моделируются как логарифмические спирали, архимедовы спирали или гиперболические спирали , их питч-углы изменяются в зависимости от расстояния от центра галактики, в отличие от логарифмических спиралей (для которых этот угол не меняется), а также при отклонение от других математических спиралей, используемых для их моделирования. ^[11]
• Нервы роговицы ( то есть роговичные нервы субэпителиального слоя заканчиваются вблизи поверхностного эпителиального слоя роговицы по логарифмической спирали). ^[12]
• Полосы тропических циклонов , например ураганов. ^[13]
• Многие биологические структуры, включая раковины моллюсков . ^[14] В этих случаях причиной может быть построение из расширения подобных фигур, как в случае с многоугольными фигурами.
• Логарифмические спиральные пляжи могут образовываться в результате преломления и дифракции волн на берегу. Хаф-Мун-Бэй (Калифорния) – пример такого типа пляжа. ^[15]

В инженерных приложениях

• Логарифмические спиральные антенны являются частотно-независимыми антеннами, то есть антеннами, диаграмма направленности, импеданс и поляризация которых остаются практически неизмененными в широкой полосе пропускания. ^[17]
• При изготовлении механизмов на субтрактивных станках (таких как лазерные резаки ) может возникнуть потеря точности, если механизм изготавливается на другом станке из-за разницы в материале, удаляемом (то есть пропиле ) на каждом станке при резке. процесс. Чтобы скорректировать эту вариацию пропила, самоподобное свойство логарифмической спирали было использовано для разработки механизма компенсации пропила для лазерных резаков. ^[18]
• Конические шестерни с логарифмической спиралью представляют собой тип конической шестерни со спиральной конической передачей, средняя линия зуба шестерни представляет собой логарифмическую спираль. Логарифмическая спираль имеет то преимущество, что обеспечивает равные углы между осевой линией зуба и радиальными линиями, что придает передаче зацепления большую стабильность. ^[19]

• В скалолазании подпружиненные кулачковые устройства изготавливаются из металлических кулачков, внешние захватные поверхности которых имеют форму дуг логарифмических спиралей . Когда устройство вставляется в трещину в скале, вращение этих кулачков увеличивает их общую ширину, чтобы она соответствовала ширине трещины, сохраняя при этом постоянный угол к поверхности скалы (относительно центра спирали, где сила применяемый). Угол наклона спирали выбран для оптимизации трения устройства о скалу. ^[20]

Смотрите также

• Архимедова спираль
• эписпиральный
• Список спиралей
• Задача о мышах — геометрическая задача, требующая определения пути, по которому мыши гоняются друг за другом, решение которой — логарифмическая спираль.
• Теорема Тейта – Кнезера

Рекомендации

1. Альбрехт Дюрер (1525). Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt, в Линиене, Эбенене и Ганцен Корпорен.
2. Хаммер, Эйвинд (2016). «Грязная тайна Дюрера». Идеальная форма: спиральные истории . Международное издательство Спрингер. стр. 173–175. дои : 10.1007/978-3-319-47373-4_41.
3. Прия Хеменвей (2005). Божественная пропорция: Φ Фи в искусстве, природе и науке . ISBN Стерлинг Паблишинг Ко. 978-1-4027-3522-6.
4. Ливио, Марио (2002). Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире . Нью-Йорк: Бродвейские книги. ISBN 978-0-7679-0815-3.
5. Йейтс, RC: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. В. Эдвардс (1952), «Эволюты». п. 206.
6. Карл Бенджамин Бойер (1949). История исчисления и его концептуальное развитие. Публикации Courier Dover. п. 133. ИСБН 978-0-486-60509-8.
7. Чин, Гилберт Дж. (8 декабря 2000 г.). «Организменная биология: полет по логарифмической спирали». Наука . 290 (5498): 1857. doi :10.1126/science.290.5498.1857c. S2CID  180484583.
8. Джон Химмельман (2002). Обнаружение мотыльков: ночные драгоценности на вашем заднем дворе. Даун Ист Энтерпрайз Инк. 63. ИСБН 978-0-89272-528-1.
9. Г. Бертен и К.С. Лин (1996). Спиральная структура в галактиках: теория волн плотности. МТИ Пресс. п. 78. ИСБН 978-0-262-02396-2.
10. Дэвид Дж. Дарлинг (2004). Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона. Джон Уайли и сыновья. п. 188. ИСБН 978-0-471-27047-8.
11. Савченко, С.С.; Решетников, В.П. (сентябрь 2013 г.). «Изменения угла наклона спиральных галактик». Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 436 (2): 1074–1083. arXiv : 1309.4308 . дои : 10.1093/mnras/stt1627 .
12. CQ Ю CQ и М.И. Розенблатт, «Трансгенная нейрофлуоресценция роговицы у мышей: новая модель для исследования структуры и регенерации нервов in vivo», Invest Ophthalmol Vis Sci. Апрель 2007 г., 48(4):1535-42.
13. Эндрю Грей (1901). Трактат по физике, Том 1. Черчилль. стр. 356–357.
14. Майкл Корти (1992). «Форма, функции и синтез раковины моллюска». В Иштване Харгиттае и Клиффорде А. Пиковере (ред.). Спиральная симметрия . Всемирная научная. п. 370. ИСБН 978-981-02-0615-4.
15. Аллан Томас Уильямс и Антон Микаллеф (2009). Управление пляжем: принципы и практика. Скан Земли. п. 14. ISBN 978-1-84407-435-8.
16. "Механизмы отмены пропила" . hpi.de. _ Проверено 26 декабря 2020 г.
17. Мэйс, ЧП (1992). «Частотно-независимые антенны и их широкополосные производные». Труды IEEE . 80 (1): 103–112. Бибкод : 1992IEEEP..80..103M. дои : 10.1109/5.119570.
18. Румен, Тийс; Апель, Инго; Сигэяма, Джотаро; Мухаммад, Абдулла; Баудиш, Патрик (20 октября 2020 г.). «Механизмы устранения пропила: механизмы лазерной резки работают на разных станках для лазерной резки». Материалы 33-го ежегодного симпозиума ACM по программному обеспечению и технологиям пользовательского интерфейса . Виртуальное событие США: ACM. стр. 293–303. дои : 10.1145/3379337.3415895. ISBN 978-1-4503-7514-6. S2CID  222805227.
19. Цзян, Цзяньфэн; Ло, Циншэн; Ван, Литинг; Цяо, Лицзюнь; Ли, Минхао (2020). «Обзор логарифмической спирально-конической передачи». Журнал Бразильского общества механических наук и инженерии . 42 (8): 400. doi :10.1007/s40430-020-02488-y. ISSN  1678-5878.
20. Тодеско, Джан Марко (2018). «Странные шестеренки». В Эммере, Мишель; Абате, Марко (ред.). Представьте себе математику 6: между культурой и математикой . Международное издательство Спрингер. стр. 179–193. дои : 10.1007/978-3-319-93949-0_16. ISBN 9783319939490.

• Вайсштейн, Эрик В. «Логарифмическая спираль». Математический мир .
• Джим Уилсон, Равноугольная спираль (или логарифмическая спираль) и связанные с ней кривые, Университет Джорджии (1999).
• Александр Богомольный , Spira Mirabilis - Чудесная спираль, в разрезанном виде

Внешние ссылки

• Spira mirabilis история и математика
• Астрономическое изображение дня НАСА: ураган Изабель против галактики Водоворот (25 сентября 2003 г.)
• Астрономическая фотография дня НАСА: тайфун Раммасун против галактики Вертушка (17 мая 2008 г.)
• SpiralZoom.com, образовательный веб-сайт о науке формирования узоров, спиралях в природе и спиралях в мифическом воображении.
• Онлайн-исследование с использованием JSXGraph (JavaScript)
• Лекция на YouTube о проблеме мышей Зенона и логарифмических спиралях