Функция (математика)

В математике функция от множества $X$ к множеству $Y$ сопоставляет каждому элементу X $ровно$ один элемент $Y.$ ^[1] Множество $X$ называется областью определения функции ^[2] , а множество $Y$ называется областью определения функции. ^[3]

Первоначально функции были идеализацией того, как изменяющаяся величина зависит от другой величины. Например, положение планеты является функцией времени . Исторически это понятие было разработано с помощью исчисления бесконечно малых в конце 17 века, и до 19 века рассматриваемые функции были дифференцируемыми (то есть имели высокую степень регулярности). Понятие функции было формализовано в конце XIX века в терминах теории множеств , что значительно расширило области применения этого понятия.

Функция чаще всего обозначается такими буквами, как $f$ , $g$ и $h$ , а значение функции $f$ в элементе $x$ ее области определения обозначается $f (x)$ ; числовое значение, полученное в результате оценки функции при конкретном входном значении, обозначается путем замены $x$ этим значением; например, значение $f$ при $x = 4$ обозначается $f (4)$ . Когда функция не имеет имени и представлена выражением E $,$ значение функции, скажем, при $x = 4$ , может быть обозначено $E | х =4$ . Например, значение $4$ функции, которая отображает x, $может$ быть обозначено ^[^{нужна ссылка}^] (что приводит к $25).$ $(x+1)^{2}$ $\left.(x+1)^{2}\right\vert _{x=4}$

Функция однозначно представляется набором всех пар $(x, f (x))$ , называемым графиком функции , популярным средством иллюстрации функции. ^{[примечание 1]}^[4] Когда домен и кодомен представляют собой наборы действительных чисел, каждую такую пару можно рассматривать как декартовы координаты точки на плоскости.

Функции широко используются в науке , технике и в большинстве областей математики. Было сказано, что функции являются «центральными объектами исследования» в большинстве областей математики. ^[5]

Определение

Функция $f$ из множества X в множество $Y$ — это присвоение элемента $Y$ каждому $элементу$ $X.$ Множество $X$ называется областью определения функции, а множество $Y$ называется областью определения функции.

Если элемент $y$ в $Y$ присваивается $x$ в $X$ функцией $f$ , говорят, что $f$ отображает $x$ в $y$ , и это обычно пишется . В этих обозначениях $x$ является аргументом или переменной функции. Конкретный элемент $x$ из $X$ — это значение переменной , а соответствующий элемент $Y$ — это значение функции в точке $x$ или изображение x $под$ функцией. $y=f(x).$

Функция $f$ , ее область определения $X$ и ее кодомен $Y$ часто задаются обозначением. В этом случае вместо этого можно написать Это позволяет определять функции, не называя их. Например, квадратичная функция — это функция $f:X\to Y.$ $x\mapsto y$ $f(y).$ $x\mapsto x^{2}.$

Домен и кодомен не всегда задаются явно при определении функции. В частности, обычно без каких-либо (возможно, сложных) вычислений можно знать только то, что область определения конкретной функции содержится в более широком наборе. Например, если — действительная функция , для определения области определения функции необходимо знать нули f $.$ Это одна из причин, по которой в математическом анализе «функция от $X$ до $Y$ » может относиться к функции, имеющей правильное подмножество $X$ в качестве области определения. ^{[примечание 2]} Например, «функция от действительных чисел к действительным числам» может относиться к действительной функции действительной переменной , областью определения которой является правильное подмножество действительных чисел , обычно подмножество, которое содержит непустое открытое число . интервал . Такая функция тогда называется частичной функцией . $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $x\mapsto 1/f(x)$

Диапазон или изображение функции — это набор изображений всех элементов в области определения. ^[6]^[7]^[8]^[9]

Функция $f$ на множестве $S$ означает функцию из области $S$ без указания кодомена. Однако некоторые авторы используют его как сокращение для обозначения функции $f : S \to S.$

Формальное определение

Приведенное выше определение функции по существу является определением основателей исчисления Лейбница , Ньютона и Эйлера . Однако оно не может быть формализовано , поскольку не существует математического определения «присвоения». Лишь в конце XIX века удалось дать первое формальное определение функции с точки зрения теории множеств . Именно это теоретико-множественное определение представлено здесь.

Бинарное отношение между двумя множествами $X$ и $Y$ — это подмножество множества всех упорядоченных пар , такое что и Множество всех этих пар называется декартовым произведением $X$ и $Y$ и обозначается $(x,y)$ $x\in X$ $y\in Y.$ $X\times Y.$

Функция с областью определения $X$ и кодоменом $Y$ представляет собой бинарное отношение $R$ между $X$ и $Y$ , которое удовлетворяет двум следующим условиям:

Одновалентное отношение : $(x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z$
Общее соотношение : $\forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R$

Эти условия являются в точности формализацией приведенного выше определения функции.

Многомерные функции

Многомерная функция , многомерная функция или функция нескольких переменных — это функция, которая зависит от нескольких аргументов. Такие функции встречаются часто. Например, положение автомобиля на дороге зависит от пройденного времени и его средней скорости.

Формально функция $n$ переменных — это функция, областью определения которой является набор из $n$ -кортежей. ^{[примечание 3]} Например, умножение целых чисел — это функция двух переменных или двумерная функция , областью определения которой является набор всех упорядоченных пар (2-кортежей) целых чисел, а кодоменом является набор целых чисел. То же самое верно для каждой бинарной операции . Обычно $n$ -кортеж обозначается заключенным в круглые скобки, например, в разделе « При использовании функциональной записи » круглые скобки, окружающие кортежи, обычно опускают, записывая вместо $(1,2,\ldots ,n).$ $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $f((x_{1},\ldots ,x_{n})).$

Учитывая $n$ , набор всех $n$ -кортежей такой, который называется декартовым произведением и обозначается $X_{1},\ldots ,X_{n},$ $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}$ $X_{1},\ldots ,X_{n},$ $X_{1}\times \cdots \times X_{n}.$

Следовательно, многомерная функция — это функция, областью определения которой является декартово произведение или собственное подмножество декартова произведения.

f:U\to Y,

где область $U$ имеет вид

U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.

Если все равны множеству действительных чисел или множеству комплексных чисел , говорят соответственно о функции нескольких действительных переменных или о функции нескольких комплексных переменных . $X_{i}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Обозначения

Существуют различные стандартные способы обозначения функций. Наиболее часто используемой нотацией является функциональная нотация, которая является первой нотацией, описанной ниже.

Функциональные обозначения

Функциональная запись требует, чтобы функции было присвоено имя, которое в случае неопределенной функции часто представляет собой букву $f$ . Затем применение функции к аргументу обозначается ее именем, за которым следует ее аргумент (или, в случае многомерных функций, ее аргументы), заключенный в круглые скобки, например, в

f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).

Аргументом в круглых скобках может быть переменная , часто $x$ , которая представляет произвольный элемент области определения функции, конкретный элемент области определения ( $3$ в приведенном выше примере) или выражение , которое можно вычислить как элемент домен ( в приведенном выше примере). Использование неопределенной переменной в круглых скобках полезно для явного определения функции, например, в «let ». $x^{2}+1$ $f(x)=\sin(x^{2}+1)$

Когда символ, обозначающий функцию, состоит из нескольких символов и не может возникнуть никакой двусмысленности, круглые скобки функционального обозначения могут быть опущены. Например, вместо $sin($ $x$ $)$ принято писать $sin x$ .

Функциональная запись была впервые использована Леонардом Эйлером в 1734 году. ^[10] Некоторые широко используемые функции представлены символом, состоящим из нескольких букв (обычно двух или трех, обычно это сокращение их названия). В этом случае вместо него обычно используется латинский шрифт , например « $sin$ » для функции синуса , в отличие от курсива для однобуквенных символов.

Функциональная нотация часто используется в разговорной речи для ссылки на функцию и одновременного обозначения ее аргумента, например, «пусть будет функцией». Это злоупотребление обозначениями , которое полезно для более простой формулировки. $f(x)$

Обозначение стрелки

Обозначение стрелки определяет правило встроенной функции, не требуя присвоения имени функции. Например, это функция, которая принимает на вход действительное число и выводит это число плюс 1. Опять же, подразумевается домен и кодомен. $x\mapsto x+1$ $\mathbb {R}$

Домен и кодомен также могут быть указаны явно, например:

{\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}

Это определяет функцию $sqr$ , преобразующую целые числа в целые числа, которая возвращает квадрат входных данных.

В качестве обычного применения стрелочной записи предположим, что это функция с двумя переменными, и мы хотим сослаться на частично применяемую функцию , созданную путем фиксации второго аргумента в значении $t$ $0$ без введения нового имени функции. Рассматриваемую карту можно обозначить стрелками. Выражение (читай: «отображение, переводящее $x$ в $f$ из $x$ $с$ нулем ») представляет эту новую функцию всего с одним аргументом, тогда как выражение $f$ $($ $x$ $0$ $,$ $t$ $0$ $)$ относится к значению функции $f$ в точке $($ $Икс$ $0$ $,$ $т$ $0$ $)$ . $f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)$ $X\to Y$ $x\mapsto f(x,t_{0})$ $x\mapsto f(x,t_{0})$

Обозначение индекса

Вместо функциональной записи можно использовать индексную нотацию. То есть вместо записи $f (x)$ пишут $f_{x}.$

Обычно это относится к функциям, областью определения которых является множество натуральных чисел . Такая функция называется последовательностью , и в этом случае элемент называется $n-$ м элементом последовательности. $f_{n}$

Обозначение индекса также можно использовать для различения некоторых переменных, называемых параметрами, от «истинных переменных». По сути, параметры — это конкретные переменные, которые считаются фиксированными в ходе исследования проблемы. Например, карта (см. выше) будет обозначаться с использованием индексной записи, если мы определим совокупность карт по формуле для всех . $x\mapsto f(x,t)$ $f_{t}$ $f_{t}$ $f_{t}(x)=f(x,t)$ $x,t\in X$

Точечное обозначение

В обозначениях символ $x$ не представляет никакого значения; это просто заполнитель , означающий, что если $x$ заменяется каким-либо значением слева от стрелки, оно должно быть заменено тем же значением справа от стрелки. Следовательно, $x$ можно заменить любым символом, часто вставочным знаком « $\cdot$ ». Это может быть полезно для того, чтобы отличить функцию $f$ $(\cdot)$ от ее значения $f$ $($ $x$ $)$ в точке $x$ . $x\mapsto f(x),$

Например, может обозначать функцию и может обозначать функцию, определяемую интегралом с переменной верхней границей: . $a(\cdot )^{2}$ $x\mapsto ax^{2}$ ${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$ ${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

Специализированные обозначения

Существуют и другие специализированные обозначения функций в разделах математики. Например, в линейной алгебре и функциональном анализе линейные формы и векторы , на которые они действуют, обозначаются с помощью двойственной пары , чтобы показать основную двойственность . Это похоже на использование обозначений брекета в квантовой механике. В логике и теории вычислений функция лямбда-исчисления используется для явного выражения основных понятий абстракции и применения функций . В теории категорий и гомологической алгебре сети функций описываются с точки зрения того, как они и их композиции коммутируют друг с другом с использованием коммутативных диаграмм , которые расширяют и обобщают стрелочные обозначения для функций, описанных выше.

Функции более чем одной переменной

В некоторых случаях аргументом функции может быть упорядоченная пара элементов, взятых из некоторого набора или наборов. Например, функцию $f$ можно определить как отображение любой пары действительных чисел в сумму их квадратов . Такую функцию обычно называют «функцией двух переменных». Точно так же можно иметь функцию трех или более переменных с такими обозначениями, как , . $(x,y)$ $x^{2}+y^{2}$ $f(x,y)=x^{2}+y^{2}$ $f(w,x,y)$ $f(w,x,y,z)$

Другие условия

Функцию также можно назвать картой или отображением , но некоторые авторы проводят различие между терминами «карта» и «функция». Например, термин «карта» часто используется для обозначения «функции» с какой-то специальной структурой (например, карты многообразий ). В частности, для краткости вместо гомоморфизма можно использовать карту (например, линейное отображение или отображение из $G$ в $H$ вместо группового гомоморфизма из $G$ в $H$ ). Некоторые авторы ^{[13] резервируют}отображение слов для случая, когда структура кодомена явно принадлежит определению функции.

Некоторые авторы, такие как Серж Ланг , ^[12] используют термин «функция» только для обозначения карт, для которых кодомен является подмножеством действительных или комплексных чисел, и используют термин « отображение» для более общих функций.

В теории динамических систем карта обозначает функцию эволюции, используемую для создания дискретных динамических систем . См. также карту Пуанкаре .

Какое бы определение карты ни использовалось, связанные термины, такие как домен , кодомен , инъективный , непрерывный , имеют то же значение, что и для функции.

Указание функции

Учитывая функцию , по определению, каждому элементу области определения функции соответствует уникальный элемент, значение at . Существует несколько способов указать или описать, как это связано с , как явно, так и неявно. Иногда теорема или аксиома утверждают существование функции, обладающей некоторыми свойствами, не описывая ее более точно. Часто спецификацию или описание называют определением функции . $f$ $x$ $f$ $f(x)$ $f$ $x$ $x$ $f(x)$ $f$

Перечислив значения функций

На конечном множестве функция может быть определена путем перечисления элементов кодомена, которые связаны с элементами домена. Например, если , то можно определить функцию следующим образом: $A=\{1,2,3\}$ $f:A\to \mathbb {R}$ $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.$

По формуле

Функции часто определяются формулой , которая описывает комбинацию арифметических операций и ранее определенных функций; такая формула позволяет вычислить значение функции по значению любого элемента области определения. Например, в приведенном выше примере можно определить по формуле для . $f$ $f(n)=n+1$ $n\in \{1,2,3\}$

Когда функция определена таким образом, иногда бывает сложно определить ее область определения. Если формула, определяющая функцию, содержит деления, значения переменной, знаменатель которой равен нулю, необходимо исключить из области определения; таким образом, для сложной функции определение области определения проходит через вычисление нулей вспомогательных функций. Аналогично, если в определении функции встречаются квадратные корни из в область определения, она включается в набор значений переменной, для которых аргументы квадратных корней неотрицательны. $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ,$

Например, определяет функцию , область определения которой равна тому, что она всегда положительна, если $x$ — действительное число. С другой стороны, определяет функцию от действительных чисел до действительных чисел, область определения которой сводится к интервалу $[-1, 1]$ . (В старых текстах такую область называли областью определения функции.) $f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ,$ $1+x^{2}$ $f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$

Функции можно классифицировать по характеру формул, которые их определяют:

Квадратичная функция — это функция, которую можно записать, где $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ — константы . $f(x)=ax^{2}+bx+c,$
В более общем смысле, полиномиальная функция — это функция, которая может быть определена с помощью формулы, включающей только сложение, вычитание, умножение и возведение в степень до неотрицательных целых степеней. Например, и являются полиномиальными функциями от . $f(x)=x^{3}-3x-1$ $f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1$ $x$
Рациональная функция та же самая, но допускается также деление, например и $f(x)={\frac {x-1}{x+1}},$ $f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.$
Алгебраическая функция аналогична той же, но также разрешены корни n -й степени и корни многочленов .
Элементарная функция ^{[примечание 4]} та же, но разрешены логарифмы и показательные функции .

Обратные и неявные функции

Функция с областью определения $X$ и кодобластью $Y$ является биективной , если для каждого $y$ в $Y$ существует один и только один элемент $x$ в $X$ такой, что $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ . В этом случае обратная функция f — это функция , которая отображает элемент такой, $что$ $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ . Например, натуральный логарифм — это биективная функция преобразования положительных действительных чисел в действительные числа. Таким образом, у него есть обратная функция, называемая экспоненциальной функцией , которая отображает действительные числа в положительные числа. $f:X\to Y,$ $f^{-1}:Y\to X$ $y\in Y$ $x\in X$

Если функция не является биективной, может случиться так, что можно выбрать подмножества и такие, что ограничение $f$ на $E$ является биекцией от $E$ до $F$ и, таким образом , имеет обратное. Таким образом определяются обратные тригонометрические функции . Например, функция косинуса путем ограничения вызывает биекцию из интервала $[0,$ $π$ $]$ на интервал $[-1, 1]$ , а ее обратная функция, называемая арккосинусом , отображает $[-1, 1]$ на $[0,$ $π$ $]$ . Аналогично определяются и другие обратные тригонометрические функции. $f:X\to Y$ $E\subseteq X$ $F\subseteq Y$

В более общем смысле, учитывая бинарное отношение $R$ между двумя множествами $X$ и $Y$ , пусть $E$ будет подмножеством $X$ таким, что для каждого существует такое, что $x R y$ . Если у кого-то есть критерий, позволяющий выбрать такой y для $каждого$ , это определяет функцию , называемую неявной функцией , поскольку она неявно определяется отношением $R.$ $x\in E,$ $y\in Y$ $x\in E,$ $f:E\to Y,$

Например, уравнение единичной окружности определяет отношение к действительным числам. Если $-1 <$ $x$ $< 1,$ существует два возможных значения $y$ : одно положительное и одно отрицательное. При $x$ $= \pm 1$ оба этих значения становятся равными 0. В противном случае невозможно получить значение $y$ . Это означает, что уравнение определяет две неявные функции с областью определения $[-1, 1]$ и соответствующими кодобластями $[0, +\infty)$ и $(-\infty, 0]$ . $x^{2}+y^{2}=1$

В этом примере уравнение можно решить в $y$ , но в более сложных примерах это невозможно. Например, отношение определяет $y$ как неявную функцию $x$ , называемую радикалом Bring , которая имеет домен и диапазон. Радикал «Принести» не может быть выражен через четыре арифметических действия и корни n -й степени . $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},$ $y^{5}+y+x=0$ $\mathbb {R}$

Теорема о неявной функции дает мягкие условия дифференцируемости существования и единственности неявной функции в окрестности точки.

Использование дифференциального исчисления

Многие функции можно определить как первообразные другой функции. Это случай натурального логарифма , который является первообразной $1/ x$ , которая равна 0 для $x = 1$ . Другим распространенным примером является функция ошибки .

В более общем смысле, многие функции, включая большинство специальных функций , могут быть определены как решения дифференциальных уравнений . Самым простым примером, вероятно, является показательная функция , которую можно определить как уникальную функцию, равную своей производной и принимающую значение 1 для $x = 0$ .

Степенные ряды можно использовать для определения функций в области, в которой они сходятся. Например, показательная функция имеет вид . Однако, поскольку коэффициенты ряда совершенно произвольны, функция, представляющая собой сумму сходящегося ряда, обычно определяется иначе, а последовательность коэффициентов является результатом некоторых вычислений, основанных на другом определении. Затем степенной ряд можно использовать для расширения области определения функции. Обычно, если функция действительной переменной представляет собой сумму своего ряда Тейлора в некотором интервале, этот степенной ряд позволяет немедленно расширить область определения до подмножества комплексных чисел - круга сходимости ряда. Тогда аналитическое продолжение позволяет еще больше расширить область, включив в нее почти всю комплексную плоскость . Этот процесс представляет собой метод, который обычно используется для определения логарифма , экспоненциальной и тригонометрической функций комплексного числа. ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

По повторению

Функции, областью определения которых являются неотрицательные целые числа, известные как последовательности , иногда определяются с помощью рекуррентных отношений .

Функция факториала неотрицательных целых чисел ( ) является основным примером, поскольку ее можно определить рекуррентным соотношением $n\mapsto n!$

n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,

и начальное состояние

0!=1.

Представление функции

График обычно используется для интуитивного представления функции. В качестве примера того, как график помогает понять функцию, по его графику легко увидеть, возрастает или убывает функция. Некоторые функции также могут быть представлены в виде гистограмм .

Графики и графики

Формально графиком функции является множество $f:X\to Y,$

G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.

В частом случае, когда $X$ и $Y$ являются подмножествами действительных чисел (или могут быть идентифицированы с такими подмножествами, например интервалами ), элемент может быть идентифицирован как точка, имеющая координаты $x$ $,$ $y$ в двумерной системе координат, например Декартова плоскость . Части этого могут создать график , который представляет функцию (части). Использование графиков настолько повсеместно, что их тоже называют графиком функции . Графическое представление функций возможно и в других системах координат. Например, график квадратичной функции $(x,y)\in G$

x\mapsto x^{2},

состоящий из всех точек с координатами выхода , при изображении в декартовых координатах, известная парабола . Если вместо этого построить ту же квадратичную функцию с тем же формальным графиком, состоящим из пар чисел, в полярных координатах, то полученный график представляет собой спираль Ферма . $(x,x^{2})$ $x\in \mathbb {R} ,$ $x\mapsto x^{2},$ $(r,\theta )=(x,x^{2}),$

Таблицы

Функцию можно представить в виде таблицы значений. Если область определения функции конечна, то таким образом функцию можно полностью определить. Например, функция умножения, определенная как, может быть представлена знакомой таблицей умножения $f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R}$ $f(x,y)=xy$

С другой стороны, если область определения функции непрерывна, таблица может содержать значения функции при определенных значениях области. Если требуется промежуточное значение, для оценки значения функции можно использовать интерполяцию . Например, часть таблицы для функции синуса может быть представлена следующим образом, со значениями, округленными до 6 знаков после запятой:

До появления портативных калькуляторов и персональных компьютеров такие таблицы часто составлялись и публиковались для таких функций, как логарифмы и тригонометрические функции.

Гистограмма

Гистограмма может представлять функцию, областью определения которой является конечное множество, натуральные числа или целые числа . В этом случае элемент $x$ области представлен интервалом оси x $,$ а соответствующее значение функции $f (x)$ представлено прямоугольником, основанием которого является интервал, соответствующий $x$ , и высота которого равно $f (x)$ (возможно, отрицательное, и в этом случае полоса располагается ниже оси $x$ ).

Общие свойства

В этом разделе описываются общие свойства функций, не зависящие от конкретных свойств предметной области и кодомена.

Стандартные функции

Существует ряд стандартных функций, которые встречаются часто:

Для каждого множества $X$ существует уникальная функция, называемаяпустая функция илипустая картаизпустогонаборав $X.$ График пустой функции — это пустое множество.^{[примечание 5]}Существование пустых функций необходимо как для согласованности теории, так и для того, чтобы избежать исключений, касающихся пустого множества во многих утверждениях. При обычном теоретико-множественном определении функции какупорядоченной тройки(или эквивалентных), существует ровно одна пустая функция для каждого набора, таким образом, пустая функцияне равнатогда и только тогда, когда, хотя их графики оба являютсяпустыми набор. $\varnothing \to X$ $\varnothing \to Y$ $X\neq Y$
Для каждого набора $X$ и каждого одноэлементного набора ${s}$ существует уникальная функция из $X$ в ${s}$ , которая отображает каждый элемент $X$ в $s$ . Это сюръекция (см. ниже), если только $X$ не является пустым множеством.
Для данной функции каноническая сюръекция f на ее образ — это функция из $X$ $в$ f $($ $X$ $)$ $,$ которая отображает $x$ в $f$ $($ $x$ $)$ . $f:X\to Y,$ $f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$
$Для$ каждого подмножества $A$ множества $X$ отображение включения A в $X$ является инъективной (см. ниже) функцией, которая отображает каждый элемент $A$ в себя.
Функция идентичности на множестве $X$ , часто обозначаемая $id X$ , представляет собой включение $X$ в себя.

Функциональная композиция

Учитывая две функции и такие, что область определения $g$ является кодоменом $f$ , их композиция - это функция, определяемая формулой $f:X\to Y$ $g:Y\to Z$ $g\circ f:X\rightarrow Z$

(g\circ f)(x)=g(f(x)).

То есть значение получается путем первого применения $f$ к $x$ для получения $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ , а затем применения $g$ к результату $y$ для получения $g$ $($ $y$ $) =$ $g$ $($ $f$ $($ $x$ $))$ . В обозначениях справа всегда пишется функция, которая применяется первой. $g\circ f$

Композиция — это операция над функциями, которая определяется только в том случае, если кодомен первой функции является областью определения второй. Даже если оба и удовлетворяют этим условиям, композиция не обязательно является коммутативной , то есть функции и не обязательно должны быть равными, но могут предоставлять разные значения для одного и того же аргумента. Например, пусть $f$ $($ $x$ $) =$ $x2$ и $g$ $($ $x$ $) =$ $x$ $+1$ $,$ тогда и согласимся только для $g\circ f$ $g\circ f$ $f\circ g$ $g\circ f$ $f\circ g$ $g(f(x))=x^{2}+1$ $f(g(x))=(x+1)^{2}$ $x=0.$

Композиция функций ассоциативна в том смысле, что если определена одна из и , то определена и другая, и они равны, т. е . Поэтому принято просто писать $(h\circ g)\circ f$ $h\circ (g\circ f)$ $(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).$ $h\circ g\circ f.$

Тождественные функции и являются соответственно правым тождеством и левым тождеством для функций от $X$ до $Y$ . То есть, если $f$ — функция с областью определения $X$ и областью определения $Y$ , то есть $\operatorname {id} _{X}$ $\operatorname {id} _{Y}$ $f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.$

Сложную функцию g ( f ( x )) можно представить как комбинацию двух «машин».
Простой пример композиции функций
Другая композиция. В этом примере $(g \circ f)(c) = #$ .

Изображение и прообраз

Пусть Изображение под $f$ элемента $x$ области $X$ есть $f$ $($ $x$ $)$ . _ ^[6] Если $A$ — любое подмножество $X$ , то образ A под $f$ , обозначаемый $f$ $($ $A$ $)$ , является подмножеством кодомена $Y$ , состоящим из всех образов элементов $A$ , $[$ ^6] то есть, $f:X\to Y.$

f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.

Образ f — $это$ образ всей области, то есть $f$ $($ $X$ $)$ . ^[16] Его также называют диапазоном f , ^[6]^[7]^[8]^[9] хотя термин « $диапазон$ » может также относиться к кодомену. ^[9]^[16]^[17]

С другой стороны, прообраз или прообраз под $f$ элемента $y$ кодомена $Y$ — это набор всех элементов области $X$ , чьи образы под $f$ равны $y$ . ^[6] В символах прообраз $y$ обозначается и задается уравнением $f^{-1}(y)$

f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.

Аналогично, прообраз подмножества $B$ кодомена $Y$ — это набор прообразов элементов $B$ , то есть это подмножество домена $X$ , состоящее из всех элементов $X$ , образы которых принадлежат $B.$ ^[6] Он обозначается и задается уравнением $f^{-1}(B)$

f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.

Например, прообразом функции under Square является набор . $\{4,9\}$ $\{-3,-2,2,3\}$

По определению функции образ элемента $x$ домена всегда является одним элементом кодомена. Однако прообраз элемента $y$ кодомена может быть пустым или содержать любое количество элементов. Например, если $f$ — функция преобразования целых чисел в себя, которая отображает каждое целое число в 0, то . $f^{-1}(y)$ $f^{-1}(0)=\mathbb {Z}$

Если — функция, $A$ и $B$ — подмножества $X$ , а $C$ и $D$ — подмножества $Y$ , то она обладает следующими свойствами: $f:X\to Y$

$A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)$
$C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)$
$A\subseteq f^{-1}(f(A))$
$C\supseteq f(f^{-1}(C))$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$
$f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)$

Прообраз $f$ элемента $y$ кодомена иногда называют в некоторых $контекстах$ слоем y под $f$ .

Если функция $f имеет обратную (см$ $.$ ниже), эта обратная обозначается. В этом случае может обозначаться либо образ , либо прообраз $f$ C . Это не проблема, поскольку эти множества равны. Обозначения и могут быть неоднозначными в случае наборов, которые содержат некоторые подмножества в качестве элементов, например: В этом случае может потребоваться определенная осторожность, например, используя квадратные скобки для изображений и прообразов подмножеств и обычные круглые скобки для изображений и прообразов. элементов. $f^{-1}.$ $f^{-1}(C)$ $f^{-1}$ $f(A)$ $f^{-1}(C)$ $\{x,\{x\}\}.$ $f[A],f^{-1}[C]$

Инъективные, сюръективные и биективные функции

Пусть будет функция. $f:X\to Y$

Функция $f$ является инъективной (или взаимно однозначной , или является инъекцией ), если $f (a$ ) $\neq$ $f$ $($ $b$ $)$ для любых двух различных элементов $a$ и $b$ из $X.$ ^[16]^[18] Эквивалентно, $f$ инъективен тогда и только тогда, когда для любого прообраза содержится не более одного элемента. Пустая функция всегда инъективна. Если $X$ не является пустым множеством, то $f$ инъективно тогда и только тогда, когда существует такая функция, что, то есть, если $f$ имеет левую обратную . ^[18]Доказательство : Если $f$ инъективно, для определения $g$ выбирают элемент из $X$ (который существует, поскольку $X$ предполагается непустым), ^{[примечание 6]} и определяют $g$ с помощью if и if. И наоборот, if и then и таким образом $y\in Y,$ $f^{-1}(y)$ $g:Y\to X$ $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ $x_{0}$ $g(y)=x$ $y=f(x)$ $g(y)=x_{0}$ $y\not \in f(X).$ $g\circ f=\operatorname {id} _{X},$ $y=f(x),$ $x=g(y),$ $f^{-1}(y)=\{x\}.$

Функция $f$ является сюръективной (или на , или является сюръекцией ), если ее диапазон равен ее кодомену , то есть, если для каждого элемента кодомена существует некоторый элемент домена такой, что (другими словами, прообраз каждый непуст). ^[16]^[19] Если, как обычно в современной математике, предполагается аксиома выбора , то $f$ является сюръективным тогда и только тогда, когда существует такая функция, что, то есть, если $f$ имеет правую обратную . ^[19] Аксиома выбора необходима, потому что, если $f$ сюръективен, $g$ определяется как где - произвольно выбранный элемент из $f(X)$ $Y$ $y$ $x$ $f(x)=y$ $f^{-1}(y)$ $y\in Y$ $g:Y\to X$ $f\circ g=\operatorname {id} _{Y},$ $g(y)=x,$ $x$ $f^{-1}(y).$

Функция $f$ является биективной (или является биекцией или взаимно-однозначным соответствием ), если она одновременно инъективна и сюръективна. ^[16]^[20] То есть $f$ является биективным, если для любого прообраза содержится ровно один элемент. Функция $f$ является биективной тогда и только тогда, когда она допускает обратную функцию , то есть функцию такую, что и ^[20] (В отличие от случая сюръекций, это не требует аксиомы выбора; доказательство простое). $y\in Y,$ $f^{-1}(y)$ $g:Y\to X$ $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.$

Любую функцию можно факторизовать как композицию сюръекции с последующей инъекцией, где $s$ — каноническая сюръекция $X$ на $f$ $($ $X$ $)$ , а $i$ — каноническая инъекция $f$ $($ $X$ $)$ в $Y.$ Это каноническая факторизация f $.$ $f:X\to Y$ $i\circ s$

«Один-к-одному» и «на» — термины, которые были более распространены в старой англоязычной литературе; «Инъективный», «сюръективный» и «биективный» первоначально были придуманы как французские слова во второй четверти 20-го века группой Бурбаки и импортированы в английский язык. ^{[ нужна цитата ]} В качестве предостережения отметим, что «взаимнооднозначная функция» является инъективной, тогда как «взаимнооднозначное соответствие» относится к биективной функции. Кроме того, утверждение « $f$ отображает $X$ на $Y$ » отличается от « $f$ отображает $X$ в $B$ » тем, что первое подразумевает, что $f$ сюръективно, а второе не делает никаких утверждений о природе $f$ . В сложных рассуждениях легко можно пропустить разницу в одну букву. Из-за запутанного характера этой старой терминологии популярность этих терминов снизилась по сравнению с терминами Бурбака, которые также имеют то преимущество, что они более симметричны.

Ограничение и продление

Если функция и $S$ является подмножеством $X$ , то ограничение на S , обозначенное , является функцией от $S$ до $Y$ , определяемой формулой $f:X\to Y$ $f$ $f|_{S}$

f|_{S}(x)=f(x)

для всех $x$ в $S.$ Для определения частичных обратных функций можно использовать ограничения : если существует такое подмножество $S$ области определения функции , которое является инъективным, то каноническая сюръекция на ее образ является биекцией и, таким образом, имеет обратную функцию от к $S.$ Одним из приложений является определение обратных тригонометрических функций . Например, функция косинуса инъективна, если она ограничена интервалом [ $0,$ $π$ $]$ . Образом этого ограничения является интервал $[-1, 1]$ и, таким образом, ограничение имеет обратную функцию от $[-1, 1]$ до $[0,$ $π$ $]$ , которая называется арккосинусом и обозначается $arccos$ . $f$ $f|_{S}$ $f|_{S}$ $f|_{S}(S)=f(S)$ $f(S)$

Ограничение функций также можно использовать для «склеивания» функций. Пусть — разложение $X$ как объединение подмножеств, и предположим, что на каждом из них определена функция такая, что для каждой пары индексов ограничения на и to равны. Тогда это определяет уникальную функцию, такую, что для всех $i$ . Именно так определяются функции на многообразиях . ${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$ $f_{i}:U_{i}\to Y$ $U_{i}$ $i,j$ $f_{i}$ $f_{j}$ $U_{i}\cap U_{j}$ $f:X\to Y$ $f|_{U_{i}}=f_{i}$

Расширением функции $f$ является функция $g$ такая, что f $является$ ограничением $g$ . Типичным использованием этой концепции является процесс аналитического продолжения , который позволяет расширять функции, область определения которых составляет небольшую часть комплексной плоскости, до функций, областью определения которых является почти вся комплексная плоскость.

Вот еще один классический пример расширения функции, встречающийся при изучении гомографий вещественной прямой . Гомография — это такая функция , что $ad$ $-$ $bc$ $\neq 0$ . Его областью определения является набор всех действительных чисел, $отличных$ от, а его $образ$ - это набор всех действительных чисел, отличных от . линию к себе, установив и . $h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}$ $-d/c,$ $a/c.$ $h(\infty )=a/c$ $h(-d/c)=\infty$

В исчислении

Идея функции, начиная с 17 века, стала фундаментальной для нового исчисления бесконечно малых . В то время рассматривались только вещественные функции действительной переменной и все функции считались гладкими . Но вскоре это определение было распространено на функции нескольких переменных и на функции комплексной переменной . Во второй половине XIX века было введено математически строгое определение функции и определены функции с произвольными областями определения и кодоменами.

В настоящее время функции используются во всех областях математики. Во вводном исчислении , когда слово функция используется без уточнения, оно означает вещественную функцию одной действительной переменной. Более общее определение функции обычно знакомят студентам второго или третьего курса колледжа со специальностями STEM , а на старшем курсе они знакомятся с исчислением в более широкой и строгой обстановке на таких курсах, как реальный анализ и комплексный анализ .

Реальная функция

График полиномиальной функции, здесь квадратичной функции.

Действительная функция — это действительнозначная функция действительной переменной , то есть функция, кодоменой которой является поле действительных чисел , а областью определения — набор действительных чисел , содержащий интервал . В этом разделе эти функции называются просто функциями .

Функции, которые чаще всего рассматриваются в математике и ее приложениях, обладают некоторой регулярностью, то есть являются непрерывными , дифференцируемыми и даже аналитическими . Эта регулярность гарантирует, что эти функции можно визуализировать с помощью их графиков. В этом разделе все функции дифференцируемы в некотором интервале.

С функциями выполняются поточечные операции , то есть, если $f$ и $g$ — функции, их сумма, разность и произведение — это функции, определяемые формулой

{\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.

Область определения результирующих функций представляет собой пересечение областей определения $f$ и $g$ . Фактор двух функций определяется аналогично

{\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},

но область определения результирующей функции получается удалением нулей g из пересечения областей $определения$ $f$ и $g$ .

Полиномиальные функции определяются полиномами , а их областью определения является весь набор действительных чисел. Они включают постоянные функции , линейные функции и квадратичные функции . Рациональные функции являются частными двух полиномиальных функций, а их областью определения являются действительные числа, из которых удалено конечное число, чтобы избежать деления на ноль . Простейшая рациональная функция — это функция , график которой представляет собой гиперболу , а областью определения является вся вещественная прямая, за исключением 0. $x\mapsto {\frac {1}{x}},$

Производная действительной дифференцируемой функции является действительной функцией . Первообразная непрерывной действительной функции — это действительная функция , производная которой — исходная функция. Например, функция непрерывна и даже дифференцируема на положительных действительных числах. Таким образом, одна первообразная, принимающая нулевое значение при $x$ $= 1$ , представляет собой дифференцируемую функцию, называемую натуральным логарифмом . ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

Действительная функция $f$ монотонна на интервале , если знак не зависит от выбора $x$ и $y$ на интервале. Если функция дифференцируема на интервале, то она монотонна, если знак производной постоянен на интервале. Если действительная функция $f$ монотонна в интервале $I$ , она имеет обратную функцию , которая является вещественной функцией с областью определения $f$ $($ $I$ $)$ и образом $I.$ Вот как обратные тригонометрические функции определяются через тригонометрические функции , где тригонометрические функции монотонны. Другой пример: натуральный логарифм монотонен на положительных действительных числах, а его изображением является вся действительная линия; следовательно, у него есть обратная функция, которая является биекцией между действительными числами и положительными действительными числами. Эта обратная функция является показательной функцией . ${\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}$

Многие другие действительные функции определяются либо теоремой о неявной функции (обратная функция является частным случаем), либо как решения дифференциальных уравнений . Например, функции синус и косинус являются решениями линейного дифференциального уравнения.

y''+y=0

такой, что

\sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.

Векторнозначная функция

Когда элементами кодомена функции являются векторы , функция называется векторной функцией. Эти функции особенно полезны в приложениях, например, при моделировании физических свойств. Например, функция, которая сопоставляет каждой точке жидкости ее вектор скорости, является векторной функцией.

Некоторые векторные функции определены на подмножестве или других пространствах, которые разделяют геометрические или топологические свойства , такие как многообразия . Эти векторные функции получили название векторных полей . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$

Функциональное пространство

В математическом анализе , а точнее в функциональном анализе , функциональное пространство представляет собой набор скалярных или векторных функций , которые имеют определенное свойство и образуют топологическое векторное пространство . Например, вещественные гладкие функции с компактным носителем (т. е. равные нулю вне некоторого компакта ) образуют функциональное пространство, лежащее в основе теории распределений .

Функциональные пространства играют фундаментальную роль в расширенном математическом анализе, позволяя использовать их алгебраические и топологические свойства для изучения свойств функций. Например, все теоремы существования и единственности решений обыкновенных уравнений или уравнений в частных производных являются результатом изучения функциональных пространств.

Многозначные функции

Некоторые методы задания функций действительных или комплексных переменных начинаются с локального определения функции в точке или в окрестности точки , а затем за счет непрерывности расширяют функцию на гораздо большую область. Часто в качестве отправной точки для функции существует несколько возможных начальных значений. $x_{0},$

Например, при определении квадратного корня как обратной функции квадратной функции для любого положительного действительного числа существует два варианта значения квадратного корня, один из которых является положительным и обозначается, а другой - отрицательным и обозначается. Эти варианты определить две непрерывные функции, обе из которых имеют неотрицательные действительные числа в качестве области определения, а также неотрицательные или неположительные действительные числа в качестве изображений. Глядя на графики этих функций, можно увидеть, что вместе они образуют единую плавную кривую . Поэтому часто бывает полезно рассматривать эти две функции квадратного корня как одну функцию, которая имеет два значения для положительного $x$ , одно значение для 0 и не имеет значения для отрицательного $x$ . $x_{0},$ ${\sqrt {x_{0}}},$ $-{\sqrt {x_{0}}}.$

В предыдущем примере один вариант — положительный квадратный корень — более естественен, чем другой. В целом это не так. Например, давайте рассмотрим неявную функцию , которая отображает $y$ в корень $x$ (см . рисунок справа). Для $y$ $= 0$ можно выбрать любой из $x$ . По теореме о неявной функции каждый выбор определяет функцию; для первого (максимальным) доменом является интервал $[-2, 2]$ и изображением $[-1, 1]$ ; для второго домен — $[-2, \infty)$ и изображение — $[1, \infty)$ ; для последнего областью определения является $(-\infty, 2]$ и изображением $(-\infty, -1]$ . Поскольку три графика вместе образуют гладкую кривую и нет причин отдавать предпочтение одному варианту, эти три функции часто рассматривается как одна многозначная функция от $y$ , которая имеет три значения для $-2 <$ $y$ $< 2$ и только одно значение для $y$ $\leq -2$ и $y$ $\geq -2$ . $x^{3}-3x-y=0$ $0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}$

Полезность концепции многозначных функций становится более очевидной при рассмотрении сложных функций, обычно аналитических . Область, до которой комплексная функция может быть расширена путем аналитического продолжения, обычно включает почти всю комплексную плоскость . Однако при расширении домена двумя разными путями часто получаются разные значения. Например, при расширении области определения функции квадратного корня по пути комплексных чисел с положительными мнимыми частями можно получить $i$ для квадратного корня из −1; в то время как при расширении комплексных чисел с отрицательными мнимыми частями получается $- i$ . Обычно есть два пути решения проблемы. Можно определить функцию, которая не является непрерывной вдоль некоторой кривой, называемой разрезом ветвления . Такая функция называется главным значением функции. Другой способ — считать, что имеется многозначная функция , которая является аналитической всюду, за исключением изолированных особенностей, но значение которой может «подпрыгивать», если следовать замкнутому циклу вокруг особенности. Этот скачок называется монодромией .

В основах математики

Определение функции, данное в этой статье, требует понятия set , поскольку домен и кодомен функции должны быть набором. Это не проблема в обычной математике, поскольку, как правило, несложно рассматривать только функции, область определения и ко-область которых являются множествами, которые четко определены, даже если область определения не определена явно. Однако иногда полезно рассмотреть более общие функции.

Например, одноэлементный набор можно рассматривать как функцию. Его область действия будет включать все наборы и, следовательно, не будет набором. В обычной математике подобных проблем можно избежать, указав область определения, что означает наличие множества одноэлементных функций. Однако при установлении основ математики, возможно, придется использовать функции, область определения, ко-область или обе области которых не указаны, и некоторые авторы, часто логики, дают точное определение для этих слабо определенных функций. ^[21] $x\mapsto \{x\}.$

Эти обобщенные функции могут иметь решающее значение при разработке формализации основ математики . Например, теория множеств фон Неймана–Бернейса–Гёделя является расширением теории множеств, в которой совокупность всех множеств является классом . Эта теория включает аксиому замены , которую можно сформулировать так: Если $X$ — множество, а $F$ — функция, то $F [X]$ — множество.

В альтернативных формулировках основ математики, использующих теорию типов, а не теорию множеств, функции рассматриваются как примитивные понятия , а не определяются на основе других типов объектов. Они являются обитателями типов функций и могут быть созданы с использованием выражений лямбда- исчисления . ^[22]

В информатике

В компьютерном программировании функция — это, как правило, часть компьютерной программы , реализующая абстрактное понятие функции. То есть это программный модуль, который выдает выходные данные для каждого входа. Однако во многих языках программирования каждая подпрограмма называется функцией, даже если нет вывода и когда функциональность состоит просто в изменении некоторых данных в памяти компьютера .

Функциональное программирование — это парадигма программирования , состоящая в создании программ с использованием только подпрограмм, которые ведут себя как математические функции. Например, if_then_elseэто функция, которая принимает в качестве аргументов три функции и, в зависимости от результата первой функции ( истина или ложь ), возвращает результат либо второй, либо третьей функции. Важным преимуществом функционального программирования является то, что оно упрощает доказательство программы , поскольку оно основано на хорошо обоснованной теории — лямбда-исчислении (см. ниже).

За исключением терминологии компьютерного языка, «функция» имеет обычное математическое значение в информатике . В этой области наибольший интерес представляет вычислимость функции. Для придания точного значения этой концепции и связанной с ней концепции алгоритма было введено несколько моделей вычислений , старыми из которых являются общерекурсивные функции , лямбда-исчисление и машина Тьюринга . Фундаментальная теорема теории вычислимости состоит в том, что эти три модели вычислений определяют один и тот же набор вычислимых функций, и что все другие модели вычислений, которые когда-либо были предложены, определяют тот же набор вычислимых функций или меньший. Тезис Чёрча-Тьюринга — это утверждение, что каждое философски приемлемое определение вычислимой функции определяет также те же самые функции.

Общерекурсивные функции — это частичные функции от целых чисел к целым числам, которые можно определить из

через операторов

Хотя они определены только для функций от целых чисел к целым, они могут моделировать любую вычислимую функцию благодаря следующим свойствам:

Вычисление — это манипуляция конечными последовательностями символов (цифр чисел, формул и т. д.),
каждая последовательность символов может быть закодирована как последовательность битов ,
битовую последовательность можно интерпретировать как двоичное представление целого числа.

Лямбда-исчисление — это теория, которая определяет вычислимые функции без использования теории множеств и является теоретической основой функционального программирования. Он состоит из терминов , которые являются либо переменными, определениями функций ( 𝜆 -термы), либо приложениями функций к терминам. Манипулирование терминами осуществляется посредством некоторых правил ( $α$ -эквивалентности, $β$ -редукции и $η$ -конверсии), которые являются аксиомами теории и могут интерпретироваться как правила вычислений.

В своей первоначальной форме лямбда-исчисление не включает понятия области определения и кодомена функции. Грубо говоря, они были введены в теорию под названием type в типизированном лямбда-исчислении . Большинство типов типизированных лямбда-исчислений могут определять меньше функций, чем нетипизированные лямбда-исчисления.

Смотрите также

Подстраницы

Обобщения

Примечания

^ Это определение «графика» относится к набору пар объектов. Графики в смысле диаграмм наиболее применимы к функциям от действительных чисел к самим себе. Все функции могут быть описаны наборами пар, но строить диаграмму функций между другими наборами (например, наборами матриц) может быть непрактично.
^ Истинную область определения такой функции часто называют областью определения функции.
^ $n$ также может быть равно 1, таким образом, включая функции, определенные выше. При $n = 0$ каждая константа также является частным случаем многомерной функции.
^ Здесь слово «элементарно» не совсем соответствует здравому смыслу: хотя большинство функций, встречающихся в элементарных курсах математики, являются элементарными в этом смысле, некоторые элементарные функции не являются элементарными для здравого смысла, например те, которые включают в себя корни многочленов высокий градус.
^ По определению график пустой функции $X$ является подмножеством декартова произведения $\emptyset \times X$ , и это произведение пусто.
^ Аксиома выбора здесь не нужна, так как выбор осуществляется в одном наборе.

Источники

Бартл, Роберт (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-05465-8. ОСЛК 465115030.
Блох, Итан Д. (2011). Доказательства и основы: первый курс абстрактной математики. Спрингер. ISBN 978-1-4419-7126-5.
Каннингем, Дэниел В. (2016). Теория множеств: первый курс . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-12032-7.
Гёдель, Курт (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07927-1.
Халмос, Пол Р. (1970). Наивная теория множеств. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-0-387-90092-6.
Джех, Томас (2003). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 978-3-540-44085-7.
Спивак, Михаил (2008). Исчисление (4-е изд.). Опубликуй или погибни. ISBN 978-0-914098-91-1.

дальнейшее чтение

Антон, Ховард (1980). Исчисление с помощью аналитической геометрии . Уайли . ISBN 978-0-471-03248-9.
Бартл, Роберт Г. (1976). Элементы реального анализа (2-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-471-05464-1.
Дубинский, Эд; Харель, Гершон (1992). Понятие функции: аспекты эпистемологии и педагогики . Математическая ассоциация Америки. ISBN 978-0-88385-081-7.
Хаммак, Ричард (2009). «12. Функции» (PDF) . Книга доказательств. Университет Содружества Вирджинии . Проверено 1 августа 2012 г.
Хаш, Лоуренс С. (2001). Визуальное исчисление. Университет Теннесси . Проверено 27 сентября 2007 г.
Кац, Роберт (1964). Аксиоматический анализ . Округ Колумбия Хит и компания .
Кляйнер, Израиль (1989). «Эволюция концепции функции: краткий обзор». Математический журнал колледжа . 20 (4): 282–300. CiteSeerX 10.1.1.113.6352 . дои : 10.2307/2686848. JSTOR 2686848.
Лютцен, Йеспер (2003). «Между строгостью и приложениями: развитие концепции функции в математическом анализе». В Портере, Рой (ред.). Кембриджская история науки: современные физико-математические науки . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57199-9.Доступное и увлекательное историческое изложение.
Малик, Массачусетс (1980). «Историко-педагогические аспекты определения функции». Международный журнал математического образования в области науки и технологий . 11 (4): 489–492. дои : 10.1080/0020739800110404.
Райхенбах, Ганс (1947). Элементы символической логики . Дувр. ISBN 0-486-24004-5.
Рутинг, Д. (1984). «Старый разведчик: некоторые определения понятия функции от Бернулли Дж. до Бурбаки Н.». Математический интеллект . 6 (4): 71–78. дои : 10.1007/BF03026743. S2CID 189883712.
Томас, Джордж Б.; Финни, Росс Л. (1995). Исчисление и аналитическая геометрия (9-е изд.). Аддисон-Уэсли . ISBN 978-0-201-53174-9.

Внешние ссылки

Викискладе есть медиафайлы, связанные с функциями (математикой) .

Функции Wolfram - веб-сайт с формулами и визуализацией многих математических функций.
Цифровая библиотека математических функций NIST