Факториал

В математике факториал неотрицательного целого числа , обозначаемый , является произведением всех положительных целых чисел , меньших или равных . Факториал также равен произведению на следующий меньший факториал: $п$ $п!$ $п$ $п$ $п$

{\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\ &=n\times (n-1)!\\\end{aligned}}

5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.

пустом продукте^[1]

Факториалы были обнаружены в нескольких древних культурах, особенно в индийской математике в канонических произведениях джайнской литературы и еврейскими мистиками в талмудической книге «Сефер Йецира ». Операция факториал встречается во многих областях математики, особенно в комбинаторике , где ее основное использование подсчитывает возможные различные последовательности – перестановки – различных объектов: существуют . В математическом анализе факториалы используются в степенных рядах для показательной функции и других функций, а также имеют приложения в алгебре , теории чисел , теории вероятностей и информатике . $п$ $п!$

Большая часть математики факториальной функции была разработана в конце 18 - начале 19 веков.Приближение Стирлинга обеспечивает точное приближение факториала больших чисел, показывая, что он растет быстрее, чем экспоненциальный рост . Формула Лежандра описывает показатели степени простых чисел при разложении факториалов на простые числа и может использоваться для подсчета конечных нулей факториалов. Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер интерполировали факториальную функцию до непрерывной функции комплексных чисел , за исключением отрицательных целых чисел, (смещенной) гамма-функции .

Многие другие известные функции и числовые последовательности тесно связаны с факториалами, включая биномиальные коэффициенты , двойные факториалы , падающие факториалы , первоначальные числа и субфакториалы . Реализации функции факториала обычно используются в качестве примера различных стилей компьютерного программирования и включаются в научные калькуляторы и библиотеки программного обеспечения для научных вычислений. Хотя прямое вычисление больших факториалов с использованием формулы произведения или рекуррентного метода неэффективно, известны более быстрые алгоритмы, сопоставляющие с точностью до постоянного множителя время для быстрых алгоритмов умножения чисел с одинаковым количеством цифр.

История

Концепция факториалов возникла независимо во многих культурах:

В индийской математике одно из самых ранних известных описаний факториалов взято из Ануйогадвара-сутры, ^[2] одного из канонических произведений джайнской литературы , даты которого варьируются от 300 г. до н.э. до 400 г. н.э. ^[3] Он отделяет отсортированный и обратный порядок набора предметов от других («смешанных») заказов, оценивая количество смешанных заказов путем вычитания двух из обычной формулы произведения для факториала. Правило произведения для перестановок было также описано джайнским монахом VI века н.э. Джинабхадрой . ^[2] Индуистские учёные использовали формулы факториала, по крайней мере, с 1150 года, когда Бхаскара II упомянул факториалы в своей работе «Лилавати» в связи с проблемой того, сколькими способами Вишну мог удерживать свои четыре характерных объекта ( раковину , диск , булаву , и цветок лотоса ) в четырех руках, и аналогичная задача для десятирукого бога. ^[4]
В математике Ближнего Востока в еврейской мистической книге творения «Сефер Йецира » периода Талмуда (200–500 гг. н.э.) перечислены факториалы до 7! в рамках исследования количества слов, которые можно составить из еврейского алфавита . ^[5]^[6] Факториалы также изучались по аналогичным причинам арабским грамматистом 8-го века Аль-Халилом ибн Ахмадом аль-Фарахиди . ^[5] Арабский математик Ибн аль-Хайсам (также известный как Альхазен, ок. 965 – ок. 1040) был первым, кто сформулировал теорему Вильсона, связывающую факториалы с простыми числами . ^[7]
В Европе, хотя греческая математика включала в себя некоторую комбинаторику, а Платон, как известно, использовал 5040 (факториал) в качестве популяции идеального сообщества, отчасти из-за ее свойств делимости, ^[8] прямых свидетельств древнегреческого изучения факториалов нет. Вместо этого первая работа по факториалам в Европе была сделана еврейскими учёными, такими как Шаббатай Донноло , объясняющими отрывок из Сефер Йецира. ^[9] В 1677 году британский писатель Фабиан Стедман описал применение факториалов для изменения звона — музыкальное искусство, включающее звон в несколько настроенных колоколов. ^[10]^[11]

С конца 15 века факториалы стали предметом изучения западных математиков. В трактате 1494 года итальянский математик Лука Пачоли вычислил факториалы до 11! в связи с проблемой расположения обеденного стола. ^[12] Кристофер Клавиус обсуждал факториалы в комментарии 1603 года к работе Иоганна де Сакробоско , а в 1640-х годах французский эрудит Марин Мерсенн опубликовал большие (но не совсем правильные) таблицы факториалов, до 64!, на основе работы Клавиус. ^[13] Степенной ряд для показательной функции с обратными факториалами для ее коэффициентов был впервые сформулирован в 1676 году Исааком Ньютоном в письме Готфриду Вильгельму Лейбницу . ^[14] Другие важные работы ранней европейской математики по факториалам включают обширное освещение в трактате Джона Уоллиса 1685 года , исследование их приблизительных значений для больших значений Авраама де Муавра в 1721 году, письмо Джеймса Стирлинга де Муару 1729 года, в котором говорится то, что стало известно как приближение Стирлинга , и одновременная работа Даниэля Бернулли и Леонарда Эйлера , формулирующая непрерывное расширение факториальной функции до гамма-функции . ^[15]Адриен-Мари Лежандр включил формулу Лежандра , описывающую показатели степени при разложении факториалов на простые степени , в текст 1808 года по теории чисел . ^[16] $п$

Обозначение факториалов было введено французским математиком Кристианом Крампом в 1808 году. ^[17] Также использовались многие другие обозначения. Другая более поздняя запись , в которой аргумент факториала был наполовину закрыт левой и нижней сторонами рамки, была популярна в течение некоторого времени в Великобритании и Америке, но вышла из употребления, возможно, из-за того, что ее трудно печатать. ^[17] Слово «факториал» (первоначально французское: Factorielle ) было впервые использовано в 1800 году Луи Франсуа Антуаном Арбогастом , ^[18] в первой работе над формулой Фаа ди Бруно , ^[19] , но относилось к более общей концепции продуктов. арифметических прогрессий . «Коэффициенты», к которым относится это название, представляют собой условия формулы произведения факториала. ^[20] $п!$ $\vert \!{\underline {\,n}}$

Определение

Факториал целого положительного числа определяется произведением всех натуральных чисел, не превышающих ^[1] $п$ $п$

n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n.

обозначениях продуктов^[1]

n!=\prod _{i=1}^{n}i.

Если эту формулу произведения изменить, чтобы сохранить все члены, кроме последнего, она будет определять произведение той же формы, но с меньшим факториалом. Это приводит к рекуррентному соотношению , согласно которому каждое значение факториала можно получить умножением предыдущего значения на : ^[21] $п$

n!=n\cdot (n-1)!.

5!=5\cdot 4!=5\cdot 24=120

Факториал нуля

Факториал равен $0$ , $1$ или в символах , . Это определение имеет несколько мотивов: $0!=1$

Ибо определение как продукта включает в себя произведение вообще без чисел, и это является примером более широкого соглашения, согласно которому пустой продукт , продукт без множителей, равен мультипликативному тождеству. ^[22] $n=0$ $п!$
Существует ровно одна перестановка нулевых объектов: если нечего переставлять, единственная перестановка — это ничего не делать. ^[21]
Это соглашение делает многие тождества в комбинаторике действительными для любого допустимого выбора их параметров. Например, количество способов выбрать все элементы из набора — это тождество биномиального коэффициента , которое будет действительным только при . ^[23] $п$ $п$ ${\textstyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1,}$ $0!=1$
При рекуррентное соотношение для факториала остается действительным при . Следовательно, согласно этому соглашению, рекурсивное вычисление факториала должно иметь только нулевое значение в качестве базового случая , что упрощает вычисление и позволяет избежать необходимости в дополнительных особых случаях. ^[24] $0!=1$ $n=1$
Настройка позволяет компактно выразить многие формулы, такие как показательная функция , в виде степенного ряда : ^[14] $0!=1$ ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$
Этот выбор соответствует гамма-функции , и гамма-функция должна иметь это значение, чтобы быть непрерывной функцией . ^[25] $0!=\Гамма (0+1)=1$

Приложения

Самое раннее использование функции факториала связано с подсчетом перестановок : существуют разные способы упорядочить отдельные объекты в последовательность. ^[26] Факториалы появляются в более широком смысле во многих формулах комбинаторики , чтобы учитывать различный порядок объектов. Например, биномиальные коэффициенты подсчитывают комбинации -элементов (подмножества элементов) из набора элементов и могут быть вычислены из факториалов по формуле ^[27] $п!$ $п$ ${\tbinom {n}{k}}$ $k$ $k$ $п$

{\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.

Стирлинга первого рода,

п

^[28]нарушений ближайшим к . ^[29]

п

п!/е

В алгебре факториалы возникают посредством биномиальной теоремы , которая использует биномиальные коэффициенты для расширения степеней сумм. ^[30] Они также встречаются в коэффициентах, используемых для связи определенных семейств полиномов друг с другом, например, в тождествах Ньютона для симметричных полиномов . ^[31] Их использование при подсчете перестановок также можно переформулировать алгебраически: факториалы представляют собой порядки конечных симметрических групп . ^[32] В исчислении факториалы встречаются в формуле Фаа ди Бруно для объединения высших производных. ^[19] В математическом анализе факториалы часто появляются в знаменателях степенных рядов , особенно в рядах для показательной функции , ^[14]

e^{x}=1+{\frac {x}{1}}+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6} }+\cdots =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}},

рядов Тейлораифункций-й производной . ^[33]аналитической комбинаторикой экспоненциальную производящую функцию комбинаторного классаразмера^[34]

п!

п

x^{n}

n_{i}

я

\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}n_{i}}{i!}}.

В теории чисел наиболее важным свойством факториалов является делимость на все положительные целые числа до , что более точно описывается для простых множителей формулой Лежандра . Отсюда следует, что сколь угодно большие простые числа могут быть найдены как простые множители чисел , что приводит к доказательству теоремы Евклида о том, что число простых чисел бесконечно. ^[35] Когда оно само является простым, оно называется факториалом ; ^[36] Соответственно, проблема Брокара , также поставленная Шринивасой Рамануджаном , касается существования квадратных чисел вида . ^[37] Напротив, все числа должны быть составными, что доказывает существование сколь угодно больших пробелов в простых числах . ^[38] Элементарное доказательство постулата Бертрана о существовании простого числа в любом интервале формы , один из первых результатов Пауля Эрдеша , было основано на свойствах делимости факториалов. ^[39]^[40] Факториальная система счисления представляет собой смешанную систему счисления для чисел, в которой разрядные значения каждой цифры являются факториалами. ^[41] $п!$ $п$ $n!\pm 1$ $n!\pm 1$ $n!+1$ $n!+2,n!+3,\dots n!+n$ $[n,2n]$

Факториалы широко используются в теории вероятностей , например, в распределении Пуассона ^[42] и в вероятностях случайных перестановок . ^[43] В информатике , помимо анализа перебора перестановок, ^[44] факториалы возникают в нижней границе числа сравнений, необходимых для сравнения сортировки набора элементов , ^[45] и в анализ связанных хеш-таблиц , где распределение ключей на ячейку может быть точно аппроксимировано распределением Пуассона. ^[46] Более того, факториалы естественным образом появляются в формулах квантовой и статистической физики , где часто рассматриваются все возможные перестановки набора частиц. В статистической механике расчеты энтропии , такие как формула энтропии Больцмана или уравнение Сакура-Тетроде, должны корректировать количество микросостояний путем деления на факториалы чисел каждого типа неразличимых частиц , чтобы избежать парадокса Гиббса . Квантовая физика объясняет, почему эти поправки необходимы. ^[47] $\log _{2}n!=n\log _{2}nO(n)$ $п$

Характеристики

Рост и приближение

Как $п$ функция факториал растет быстрее, чем экспоненциальная функция , но растет медленнее, чем двойная экспоненциальная функция . ^[48] Скорость его роста аналогична , но $n^{n}$ медленнее в геометрической прогрессии. Один из способов получить этот результат — взять натуральный логарифм факториала, который превращает формулу его произведения в сумму, а затем оценить сумму с помощью интеграла:

\ln n!=\sum _{x=1}^{n}\ln x\approx \int _{1}^{n}\ln x\,dx=n\ln n-n+1 .

. ^[49]правила трапецийпропорциональный . произведения Уоллиса приближение Стирлинга^[50]

+1

п!

(n/e)^{n}

{\sqrt {n}}

\pi

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\,.

пределе асимптотического ряда^[51]

\sim

п

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+\cdots \right).

^[51]

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\exp \left({\frac {1}{12n}}-{\frac {1}{360n^{3}}}+{\frac {1}{1260n^{5}}}-{\frac {1}{1680n^{7}}}+\cdots \right).

Шринивасой Рамануджаном Биллом Госпером^[51]

Двоичный логарифм факториала, используемый для анализа сортировки сравнения , можно очень точно оценить с помощью приближения Стирлинга. В приведенной ниже формуле этот термин использует обозначение большой буквы О. ^[45] $O(1)$

\log _{2}n!=n\log _{2}n-(\log _{2}e)n+{\frac {1}{2}}\log _{2}n+O(1).

Делимость и цифры

Формула произведения факториала подразумевает, что оно делится на все простые числа, не превышающие , и не делится ни на какие простые числа большего размера. ^[52] Более точную информацию о его делимости дает формула Лежандра , которая дает показатель степени каждого простого числа в простой факторизации as ^[53]^[54] $n!$ $n$ $p$ $n!$

\sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor ={\frac {n-s_{p}(n)}{p-1}}.

базисных, а показатель степени, заданный этой формулой ,p

-адическую

оценку^[54]биномиальных коэффициентов теорему Куммера^[55]простые степени мультипликативные разбиения факториалов^[56]

s_{p}(n)

p

n

Частный случай формулы Лежандра дает количество конечных нулей в десятичном представлении факториалов. ^[57] Согласно этой формуле, количество нулей можно получить, вычитая цифры по основанию 5 из и разделив результат на четыре. ^[58] Формула Лежандра подразумевает, что показатель степени простого числа всегда больше, чем показатель степени для , поэтому каждый делитель пять может быть соединен с коэффициентом два, чтобы получить один из этих конечных нулей. ^[57] Старшие цифры факториалов распределяются по закону Бенфорда . ^[59] Любая последовательность цифр в любой базе есть последовательность начальных цифр некоторого факториала в этой базе. ^[60] $p=5$ $n$ $n$ $p=2$ $p=5$

Другой результат о делимости факториалов, теорема Вильсона , утверждает, что число делится тогда и только тогда, когда является простым числом . ^[52] Для любого целого числа функция Кемпнера определяется наименьшим значением , на которое делит . ^[61] Почти для всех чисел (кроме подмножества исключений с нулевой асимптотической плотностью ) оно совпадает с наибольшим простым множителем . ^[62] $(n-1)!+1$ $n$ $n$ $x$ $x$ $n$ $x$ $n!$ $x$

Произведение двух факториалов всегда делится равномерно . ^[63] Существует бесконечно много факториалов, которые равны продукту других факториалов: если он сам является каким-либо продуктом факториалов, то он равен тому же продукту, умноженному на еще один факториал, . Единственными известными примерами факториалов, которые являются продуктами других факториалов, но не имеют этой «тривиальной» формы, являются , и . ^[64] Из гипотезы abc следует , что существует лишь конечное число нетривиальных примеров. ^[65] $m!\cdot n!$ $(m+n)!$ $n$ $n!$ $(n-1)!$ $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$ $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$ $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$

Наибольший общий делитель значений примитивного многочлена степени над целыми числами делит нацело . ^[63] $d$ $d!$

Непрерывная интерполяция и нецелочисленное обобщение

Существует бесконечно много способов расширить факториалы до непрерывной функции . ^[66] Наиболее широко используемый из них ^[67] использует гамма-функцию , которую для положительных действительных чисел можно определить как интеграл

\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx.

n

n!=\Gamma (n+1),

функциональному уравнению

x

\Gamma (x)

\Gamma (x-1)

\Gamma (n)=(n-1)\Gamma (n-1),

рекуррентное соотношение^[66]

В более общем смысле тот же интеграл сходится для любого комплексного числа , действительная часть которого положительна. Его можно распространить на нецелые точки в остальной части комплексной плоскости , решив формулу отражения Эйлера. $z$

\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}.

деление на ноль аналитическая функция аналитическое продолжение простые полюса^[67]Бора – Моллерупа логарифмически-выпуклой Гельмута Виланда голоморфными функциями^{[68 ]}

\sin \pi z

Другие сложные функции, которые интерполируют значения факториала, включают гамма-функцию Адамара , которая представляет собой целую функцию для всех комплексных чисел, включая неположительные целые числа. ^[69]^[70] В $p$ -адических числах невозможно непрерывно интерполировать факториальную функцию напрямую, поскольку факториалы больших целых чисел (плотное подмножество p $-адических$ чисел) сходятся к нулю в соответствии с формулой Лежандра, заставляя любая непрерывная функция, близкая к их значениям, всюду равна нулю. Вместо этого $p$ -адическая гамма-функция обеспечивает непрерывную интерполяцию модифицированной формы факториала, опуская факторы в факториале, которые делятся на $p$ . ^[71]

Дигамма -функция представляет собой логарифмическую производную гамма-функции. Так же, как гамма-функция обеспечивает непрерывную интерполяцию факториалов, смещенных на единицу, дигамма-функция обеспечивает непрерывную интерполяцию номеров гармоник , смещенных на константу Эйлера-Машерони . ^[72]

Вычисление

Функция факториала является общей функцией научных калькуляторов . ^[73] Он также включен в библиотеки научного программирования, такие как модуль математических функций Python ^[74] и библиотека Boost C++ . ^[75] Если эффективность не имеет значения, вычисление факториалов тривиально: просто последовательно умножьте переменную, инициализированную to, $1$ на целые числа до . $n$ Простота этого вычисления делает его распространенным примером использования различных стилей и методов компьютерного программирования. ^[76]

Вычисление может быть выражено в псевдокоде с использованием итерации ^[77] как $n!$

определить факториал( n ): f  := 1 for i  := 1, 2, 3, ..., n : f  := f * я возвращаю f

или используя рекурсию ^[78] на основе ее рекуррентного соотношения как

определить факториал ( n ): если ( n = 0) вернуть 1 вернуть n * факториал ( n - 1)

Другие методы, подходящие для его вычисления, включают мемоизацию , ^[79] динамическое программирование , ^[80] и функциональное программирование . ^[81] Вычислительную сложность этих алгоритмов можно анализировать с использованием машинной модели вычислений с единичной стоимостью и произвольным доступом , в которой каждая арифметическая операция занимает постоянное время, а каждое число использует постоянный объем памяти. В этой модели эти методы могут вычислять во времени , а итеративная версия использует пространство . Если рекурсивная версия не оптимизирована для хвостовой рекурсии , для хранения стека вызовов требуется линейное пространство . ^[82] Однако эта модель вычислений пригодна только в том случае, если она достаточно мала, чтобы ее можно было уместить в машинное слово . ^[83] Значения 12! и 20! являются крупнейшими факториалами, которые могут быть сохранены в виде 32-битных ^[84] и 64-битных целых чисел соответственно . ^[85]Плавающая точка может представлять большие факториалы, но приблизительно, а не точно, и все равно будет переполняться для факториалов больше . ^[84] $n!$ $O(n)$ $O(1)$ $n$ $n!$ $170!$

Точное вычисление факториалов большего размера требует арифметики произвольной точности из-за быстрого роста и целочисленного переполнения . Время вычислений можно анализировать как функцию количества цифр или битов в результате. ^[85] По формуле Стирлинга, имеет биты. ^[86] Алгоритм Шёнхаге – Штрассена может производить -битное произведение за время , известны более быстрые алгоритмы умножения, требующие времени . ^[87] Однако вычисление факториала включает в себя повторяющиеся произведения, а не одно умножение, поэтому эти временные ограничения не применяются напрямую. В этой ситуации вычисления путем последовательного умножения чисел от 1 до неэффективны, поскольку они включают в себя умножения, постоянная часть каждого из которых занимает время , что дает общее время . Лучшим подходом является выполнение умножения в виде алгоритма «разделяй и властвуй» , который умножает последовательность чисел, разделяя ее на две подпоследовательности чисел, умножает каждую подпоследовательность и объединяет результаты с одним последним умножением. Этот подход к факториалу требует общего времени : один логарифм получается из количества бит в факториале, второй — из алгоритма умножения, а третий — из принципа «разделяй и властвуй». ^[88] $n!$ $b=O(n\log n)$ $b$ $O(b\log b\log \log b)$ $O(b\log b)$ $n!$ $n$ $n$ $O(n\log ^{2}n)$ $O(n^{2}\log ^{2}n)$ $i$ $i/2$ $O(n\log ^{3}n)$

Еще большую эффективность можно получить, вычислив $n!$ от его простой факторизации, основанной на том принципе, что возведение в степень путем возведения в квадрат происходит быстрее, чем разложение показателя в произведение. ^[86]^[89] Алгоритм для этого Арнольда Шёнхаге начинается с поиска списка простых чисел до , например $n$ , с помощью решета Эратосфена , и использует формулу Лежандра для вычисления показателя степени для каждого простого числа. Затем он вычисляет произведение степеней простых чисел на эти показатели, используя рекурсивный алгоритм следующим образом:

Используйте разделяй и властвуй, чтобы вычислить произведение простых чисел, показатели которых нечетны.
Разделите все показатели степени на два (округлив до целого числа), рекурсивно вычислите произведение простых степеней на эти меньшие показатели степени и возведите результат в квадрат.
Умножьте результаты двух предыдущих шагов.

По теореме о простых числах произведение всех простых чисел до является -битным числом , поэтому время для первого шага равно , где один логарифм получается из алгоритма «разделяй и властвуй», а другой — из алгоритма умножения. При рекурсивном вызове алгоритма снова можно применить теорему о простых числах, чтобы доказать, что количество битов в соответствующих произведениях уменьшается в постоянном коэффициенте на каждом уровне рекурсии, поэтому общее время этих шагов на всех уровнях рекурсии добавляет в геометрический ряд к . Время возведения в квадрат на втором этапе и умножения на третьем шаге снова равно 0 , поскольку каждое из них представляет собой однократное умножение числа на разряды. Опять же, на каждом уровне рекурсии задействованные числа имеют постоянную долю от количества битов (потому что в противном случае многократное возведение их в квадрат привело бы к слишком большому конечному результату), поэтому снова количество времени для этих шагов в рекурсивных вызовах добавляется в геометрическую прогрессию к . Следовательно, весь алгоритм занимает время , пропорциональное одному умножению с тем же количеством бит в результате. ^[89] $n$ $O(n)$ $O(n\log ^{2}n)$ $O(n\log ^{2}n)$ $O(n\log ^{2}n)$ $O(n\log n)$ $O(n\log ^{2}n)$ $O(n\log ^{2}n)$

Связанные последовательности и функции

Несколько других целочисленных последовательностей похожи или связаны с факториалами:

Переменный факториал: Знакомый факториал — это абсолютное значение знакопеременной суммы первых факториалов . Они изучались главным образом в связи с их примитивностью; лишь конечное число из них могут быть простыми, но полный список простых чисел такого вида неизвестен. ^[90] $n$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!}$
Бхаргава факториал: Факториалы Бхаргавы — это семейство целочисленных последовательностей, определенных Манджулом Бхаргавой, с теоретико-числовыми свойствами, аналогичными факториалам, включая сами факториалы как особый случай. ^[63]
Двойной факториал: Произведение всех нечетных целых чисел до некоторого нечетного положительного целого числа $n$ называется двойным факториалом числа , $n$ и обозначается . ^[91] То есть $n!!$ $(2k-1)!!=\prod _{i=1}^{k}(2i-1)={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}.$ Например, 9!! знак равно 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945 . Двойные факториалы используются в тригонометрических интегралах , ^[92] в выражениях для гамма-функции в полуцелых числах и объёмах гиперсфер , ^[93] , а также при подсчете бинарных деревьев и совершенных паросочетаний . ^[91]^[94]
Экспоненциальный факториал: Точно так же, как треугольные числа суммируют числа от до , а факториалы принимают их произведение, экспоненциальный факториал возводит в степень. Экспоненциальный факториал рекурсивно определяется как . Например, экспоненциальный факториал 4 равен $1$ $n$ $a_{0}=1,\ a_{n}=n^{a_{n-1}}$ $4^{3^{2^{1}}}=262144.$ Эти числа растут гораздо быстрее, чем обычные факториалы. ^[95]
Падающий факториал: Обозначения или иногда используются для представления произведения целых чисел до , включительно , равного . Это также известно как падающий факториал или обратный факториал, а обозначение представляет собой символ Поххаммера. ^[96] Падающие факториалы подсчитывают количество различных последовательностей различных элементов, которые можно извлечь из совокупности элементов. ^[97] Они встречаются как коэффициенты в высших производных полиномов, ^[98] и в факториальных моментах случайных величин . ^[99] $(x)_{n}$ $x^{\underline {n}}$ $n$ $x$ $x!/(x-n)!$ $(x)_{n}$ $n$ $x$
Гиперфакториалы: Гиперфакториал — это произведение . Эти числа образуют дискриминанты полиномов Эрмита . ^[100] Они могут быть непрерывно интерполированы K-функцией , ^[101] и подчиняются аналогам формулы Стирлинга ^[102] и теоремы Вильсона. ^[103] $n$ $1^{1}\cdot 2^{2}\cdots n^{n}$
Числа Иордании – Полья: Числа Жордана – Полиа представляют собой произведения факториалов, допускающие повторения. Каждое дерево имеет группу симметрии , число симметрий которой является числом Жордана–Пойа, и каждое число Жордана–Пойа подсчитывает симметрии некоторого дерева. ^[104]
Первобытный: Первоначальное число — это произведение простых чисел, меньших или равных ; эта конструкция придает им некоторые свойства делимости, аналогичные факториалам, ^[36] , но в отличие от факториалов они не содержат квадратов . ^[105] Как и в случае с факториалами простых чисел , исследователи изучали первоначальные простые числа . ^[36] $n\#$ $n$ $n!\pm 1$ $n\#\pm 1$
Субфакториал: Субфакториал дает количество нарушений набора объектов . Иногда его обозначают и он равен ближайшему целому числу . ^[29] $n$ $!n$ $n!/e$
Суперфакториал: Суперфакториал — это произведение первых факториалов. Суперфакториалы непрерывно интерполируются G-функцией Барнса . ^[106] $n$ $n$