Пол Эрдёш ( венгерский : Erdős Pál [ˈɛrdøːʃ ˈpaːl] ; 26 марта 1913 — 20 сентября 1996) — венгерский математик. Он был одним из самых плодовитых математиков и авторов математических гипотез [2] 20 века. [3] Эрдеш преследовал и предлагал проблемы в дискретной математике , теории графов , теории чисел , математическом анализе , теории приближения , теории множеств и теории вероятностей . [4] Большая часть его работы была сосредоточена на дискретной математике, решая многие ранее нерешенные проблемы в этой области. Он отстаивал и внес свой вклад в теорию Рэмсея , которая изучает условия, в которых обязательно возникает порядок. В целом его работа была ориентирована на решение ранее открытых проблем , а не на разработку или исследование новых областей математики.
За свою жизнь Эрдеш опубликовал около 1500 математических статей, и эта цифра остается непревзойденной. [5] Он твердо верил, что математика — это социальная деятельность, ведущая странствующий образ жизни с единственной целью — писать математические статьи вместе с другими математиками. Он был известен как своей общественной математической практикой, работая с более чем 500 сотрудниками, так и своим эксцентричным образом жизни; Журнал Time назвал его «Чудаком чудака». [6] Он посвящал математике все часы своего бодрствования, даже в последние годы своей жизни; более того, его смерть наступила на математической конференции в Варшаве . [7] Плодотворная работа Эрдеша с соавторами привела к созданию числа Эрдеша — числа шагов на кратчайшем пути между математиком и Эрдешем с точки зрения соавторства.
Пауль Эрдёш родился 26 марта 1913 года в Будапеште , Австро-Венгрия , [8] единственный выживший ребенок Анны ( урожденной Вильгельм) и Лайоша Эрдёша (урожденной Энгландер). [9] [10] Две его сестры, трех и пяти лет, умерли от скарлатины за несколько дней до его рождения. [11] Его родители, оба еврея , были учителями математики в средней школе. Его увлечение математикой развилось рано — его часто оставляли дома одного, потому что его отец находился в плену в Сибири в качестве австро-венгерского военнопленного в 1914–1920 годах, [10] из-за чего его матери приходилось много работать, чтобы прокормить семью. семья. Его отец в плену изучал английский язык, но многие слова произносил неправильно. Когда позже Лайос научил своего сына говорить по-английски, Пол приобрел свое уникальное произношение, которое продолжал использовать до конца своей жизни. [12]
Он научился читать тексты по математике, которые его родители оставили дома. К четырем годам, учитывая возраст человека, он мог подсчитать в уме, сколько секунд он прожил. [13] Из-за смерти сестер у него были близкие отношения со своей матерью, и, как сообщается, они спали в одной постели, пока он не уехал в колледж. [14] [15]
Когда ему было 16, отец познакомил его с двумя предметами, которые впоследствии стали его любимыми на всю жизнь: бесконечными рядами и теорией множеств . В старшей школе Эрдеш стал пылко решать задачи, которые каждый месяц появлялись в KöMaL , «Математическом и физическом журнале для средних школ». [16]
Эрдеш начал учиться в Будапештском университете , когда ему было 17 лет после победы на национальном экзамене. В то время прием евреев в венгерские университеты был строго ограничен согласно numerus clausus . [12] [17] К тому времени, когда ему было 20, он нашел доказательство теоремы Чебышева . [17] В 1934 году, в возрасте 21 года, ему была присвоена степень доктора математики. [17] Руководителем диссертации Эрдеша был Липот Фейер , который также был руководителем диссертации Джона фон Неймана , Джорджа Полиа и Пола (Пала) Турана . Он получил постдокторскую стажировку в Манчестере , поскольку евреи в Венгрии страдали от притеснений при авторитарном режиме . Там он встретил Годфри Гарольда Харди и Стэна Улама . [12]
Поскольку он был евреем, Эрдеш решил, что Венгрия опасна, и покинул страну, переехав в Соединенные Штаты в 1938 году. [17] Многие члены семьи Эрдеша, в том числе две его тети, два его дяди и его отец, умерли в Будапеште. во время Второй мировой войны. Его мать была единственной, кто выжил. В то время он жил в Америке и работал в Принстонском институте перспективных исследований . [17] [18] Однако его стажировка в Принстоне была продлена только на 6 месяцев, а не на ожидаемый год, из-за того, что Эрдеш не соответствовал стандартам этого места; они нашли его «неотесанным и нетрадиционным». [12]
Описанный своим биографом Полом Хоффманом как «вероятно, самый эксцентричный математик в мире», Эрдеш провел большую часть своей взрослой жизни, живя на чемодане . [19] За исключением нескольких лет в 1950-х годах, когда ему не разрешили въехать в Соединенные Штаты на основании обвинения в том, что он сочувствует коммунистам, его жизнь представляла собой непрерывную серию переходов от одной встречи или семинара к другой. [19] Во время своих визитов Эрдеш ожидал, что хозяева приютят его, накормят, постирают, а также все остальное, что ему нужно, а также организуют его доставку к следующему пункту назначения. [19]
Улам оставил свой пост в Университете Висконсин-Мэдисон в 1943 году, чтобы работать над Манхэттенским проектом в Лос-Аламосе, штат Нью-Мексико, вместе с другими математиками и физиками. Он пригласил Эрдеша присоединиться к проекту, но приглашение было отозвано, когда Эрдеш выразил желание вернуться в Венгрию после войны. [12]
20 сентября 1996 года в возрасте 83 лет у него случился сердечный приступ , и он умер во время участия в конференции в Варшаве . [20] Эти обстоятельства были близки к тому, как он хотел умереть. Однажды он сказал:
Я хочу читать лекцию, заканчивая важное доказательство на доске, как вдруг кто-то из аудитории выкрикивает: «А как насчет общего случая?». Я повернусь к публике и улыбнусь: «Я оставлю это следующему поколению», а затем упаду. [20]
Эрдеш никогда не был женат и не имел детей. [9] Он похоронен рядом с матерью и отцом в могиле 17А-6-29 на еврейском кладбище на улице Козьма в Будапеште. [21] В качестве эпитафии он написал: «Я наконец-то перестал тупеть». (Венгерский: «Végre nem Butulok tovább» ). [22]
Имя Эрдеша содержит венгерскую букву « ő » («о» с двойным острым ударением ), но часто неправильно пишется как Эрдош или Эрдеш «по ошибке или из типографской необходимости». [23]
В 1934 году Эрдеш переехал в Манчестер , Англия, в качестве приглашенного лектора. В 1938 году он принял свою первую американскую должность в качестве стипендиата Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Джерси, на следующие десять лет. Несмотря на выдающиеся работы Марка Каца и Аурела Винтнера по вероятностной теории чисел , Пала Турана по теории приближения и Витольда Гуревича по теории размерностей, его стажировка не была продолжена, и Эрдош был вынужден занять должности странствующего ученого в Университете Пенсильвании в Нотр-Даме. , Пердью , Стэнфорд и Сиракьюс . [24] Он не оставался надолго на одном месте, а путешествовал по математическим институтам до самой смерти.
В результате « красной паники» и маккартизма в 1954 году Служба иммиграции и натурализации отказала Эрдёшу, гражданину Венгрии, в повторной въездной визе в Соединенные Штаты. [28] Эрдеш , преподававший в то время в Университете Нотр-Дам , мог бы остаться в стране. Вместо этого он собрал вещи и уехал, хотя и периодически требовал пересмотра решения Иммиграционной службы США. В какой-то момент он переехал жить в Израиль и получил должность на три месяца в Еврейском университете в Иерусалиме, а затем должность «постоянного приглашенного профессора» в Технионе.
Венгрия в то время находилась в рамках Варшавского договора с Советским Союзом . Хотя Венгрия ограничила свободу своих граждан въезда и выезда из страны, в 1956 году она предоставила Эрдёшу исключительную привилегию разрешать въезд и выезд из страны по своему усмотрению.
В 1963 году Иммиграционная служба США выдала Эрдешу визу, и он возобновил преподавание в американских учебных заведениях и поездки в них. Десять лет спустя, в 1973 году, 60-летний Эрдеш добровольно покинул Венгрию. [29]
За последние десятилетия своей жизни Эрдеш получил как минимум пятнадцать почетных докторских степеней. Он стал членом научных академий восьми стран, включая Национальную академию наук США и Королевское общество Великобритании . [30] Он стал иностранным членом Королевской Нидерландской академии искусств и наук в 1977 году. [31] Незадолго до своей смерти он отказался от почетной степени Университета Ватерлоо из-за того, что он считал несправедливым обращением с коллегой Адрианом Бонди. . [32] [33]
Эрдеш был одним из самых плодовитых издателей статей в истории математики, сравнимым только с Леонардом Эйлером ; Эрдеш опубликовал больше статей, в основном в сотрудничестве с другими математиками, а Эйлер опубликовал больше страниц, в основном самостоятельно. [34] Эрдеш за свою жизнь написал около 1525 математических статей, [35] в основном в соавторстве. Он твердо верил в математику и практиковал ее как общественную деятельность, [36] за свою жизнь у него было 511 различных сотрудников. [37]
В своем математическом стиле Эрдеш был скорее «решателем проблем», чем «разработчиком теории» (см. «Две культуры математики» [38] Тимоти Гауэрса , где подробно обсуждаются два стиля и почему проблемы решатели, возможно, менее ценятся). Джоэл Спенсер заявляет, что «его место в математическом пантеоне 20-го века вызывает некоторые споры, поскольку на протяжении всей своей выдающейся карьеры он решительно концентрировался на определенных теоремах и гипотезах». [39] Эрдеш никогда не выигрывал высшую математическую премию, Медаль Филдса , и не был соавтором статьи с кем-либо, кто это сделал, [40] закономерность, которая распространяется и на другие премии. [41] Он получил премию Вольфа «за многочисленные вклады в теорию чисел , комбинаторику , теорию вероятностей , теорию множеств и математический анализ , а также за личное стимулирование математиков во всем мире». [42] Напротив, работы трех победителей после были признаны «выдающимися», «классическими» и «глубокими», а работы трех предыдущих - как «фундаментальные» или «новаторские».
Из его вкладов особенно выделяются развитие теории Рэмсея и применение вероятностного метода . Экстремальная комбинаторика обязана ему целым подходом, частично заимствованным из традиции аналитической теории чисел . Эрдёш нашел доказательство постулата Бертрана , которое оказалось гораздо более точным, чем первоначальное доказательство Чебышева . Он также нашел первое элементарное доказательство теоремы о простых числах вместе с Атле Сельбергом . Однако обстоятельства, приведшие к доказательствам, а также разногласия в публикации привели к ожесточенному спору между Эрдёшем и Сельбергом. [43] [44] Эрдеш также внес свой вклад в области, к которым у него было мало реального интереса, такие как топология , где он считается первым человеком, который привел пример полностью несвязного топологического пространства , которое не является нульмерным , Эрдеш космос . [45]
Эрдеш имел репутацию человека, который ставил новые проблемы, а также решал существующие: Эрнст Штраус называл его «абсолютным монархом тех, кто ставит проблемы». [7] На протяжении всей своей карьеры Эрдеш предлагал вознаграждение за решение нерешенных проблем. [46] Эти суммы варьировались от 25 долларов за проблемы, которые, по его мнению, были просто вне досягаемости нынешнего математического мышления (как его, так и других), до 10 000 долларов [47] за проблемы, которые были одновременно трудными для решения и математически значимыми. Некоторые из этих проблем с тех пор были решены, в том числе самая прибыльная — гипотеза Эрдёша о пробелах в простых числах была решена в 2014 году, и были выплачены 10 000 долларов. [48]
Считается, что существует по меньшей мере тысяча нерешенных проблем, хотя официального или полного списка не существует. Предложения оставались активными, несмотря на смерть Эрдеша; Рональд Грэм был (неформальным) администратором решений, и решатель мог получить либо оригинальный чек, подписанный Эрдёшем перед его смертью (только на память, не подлежит обналичиванию), либо обналичиваемый чек от Грэма. [49] [ нужно обновить ]
Возможно, наиболее примечательной с математической точки зрения из этих проблем является гипотеза Эрдеша об арифметических прогрессиях :
Если сумма обратных чисел последовательности целых чисел расходится , то последовательность содержит арифметические прогрессии произвольной длины.
Если это правда, это решило бы несколько других открытых проблем в теории чисел (хотя одно основное следствие гипотезы о том, что простые числа содержат сколь угодно длинные арифметические прогрессии, с тех пор было независимо доказано как теорема Грина-Тао ). Плата за решение проблемы на данный момент составляет 5000 долларов США. [50]
Самая известная проблема с призом Эрдеша, вероятно, — это гипотеза Коллатца , также называемая проблемой 3 N + 1. Эрдеш предложил 500 долларов за решение.
Среди наиболее частых сотрудников Эрдёша — венгерские математики Андраш Саркози (62 статьи) и Андраш Хайнал (56 статей), а также американский математик Ральф Фаудри (50 статей). Другими частыми соавторами были следующие: [51]
Информацию о других соавторах Эрдеша см. в списке людей с номером Эрдеша 1 в Списке людей по номеру Эрдеша .
Благодаря его плодотворной деятельности друзья создали номер Эрдеша как дань уважения. Число Эрдеша описывает степень отделения человека от самого Эрдеша на основе его сотрудничества с ним или с другим человеком, у которого есть собственное число Эрдеша. Только Эрдешу было присвоено число Эрдеша 0 (за то, что он сам), в то время как его непосредственные сотрудники могли претендовать на число Эрдеша, равное 1, их сотрудники имели число Эрдеша не более 2 и так далее. Приблизительно 200 000 математиков имеют присвоенное число Эрдеша [52], и, по некоторым оценкам, 90 процентов действующих математиков мира имеют число Эрдеша меньше 8 (что неудивительно в свете феномена маленького мира ). Благодаря сотрудничеству с математиками многие ученые в таких областях, как физика, инженерия, биология и экономика, также имеют числа Эрдеша. [53]
Несколько исследований показали, что ведущие математики, как правило, имеют особенно низкие числа Эрдеша. [54] Например, примерно 268 000 математиков с известным числом Эрдеша имеют среднее значение 5. [55] Напротив, среднее число медалистов Филдса по Эрдешу составляет 3. [56] По состоянию на 2015 год примерно 11 000 математиков имеют Число Эрдеша 2 или меньше. [57] [58] Расстояния сотрудничества обязательно будут увеличиваться в длительных временных масштабах, поскольку математики с низкими числами Эрдеша умирают и становятся недоступными для сотрудничества. Американское математическое общество предоставляет бесплатный онлайн-инструмент для определения числа Эрдеша каждого автора-математика, указанного в каталоге Mathematical Reviews . [59]
Число Эрдеша, скорее всего , было впервые определено Каспером Гоффманом, [60] аналитиком , чье собственное число Эрдеша равно 2. [61] Гоффман опубликовал свои наблюдения о плодотворном сотрудничестве Эрдеша в статье 1969 года под названием «А каково ваше число Эрдеша?» [62]
Джерри Гроссман написал, что можно утверждать, что член Зала бейсбольной славы Хэнк Аарон может считаться имеющим число Эрдеша, равное 1, потому что они оба дали автографы на одном и том же бейсбольном мяче (для Карла Померанса ), когда Университет Эмори вручил им почетные степени в один и тот же день. [63] Числа Эрдеша также были предложены для младенца, лошади и нескольких актеров. [64]
Еще одна крыша, еще одно доказательство.
- Пол Эрдеш [65]
Владение мало что значило для Эрдеша; большая часть его вещей поместилась бы в чемодане, что было продиктовано его странствующим образом жизни. Награды и другие доходы обычно передавались нуждающимся людям и на различные достойные цели. Большую часть своей жизни он провел, путешествуя по научным конференциям, университетам и домам коллег по всему миру. Он заработал достаточно стипендий в университетах в качестве приглашенного лектора и различных математических премий, чтобы финансировать свои поездки и основные нужды; оставшиеся деньги он использовал для финансирования денежных призов за доказательства «проблем Эрдеша» (см. Выше). Обычно он появлялся на пороге коллеги и объявлял: «Мой мозг открыт», оставаясь достаточно долго, чтобы совместно работать над несколькими статьями, прежде чем уйти через несколько дней. Во многих случаях он спрашивал нынешнего сотрудника, кого посетить в следующий раз.
Его коллега Альфред Реньи сказал: «Математик — это машина для превращения кофе в теоремы» [66] , и Эрдеш выпил обильное количество; эту цитату часто ошибочно приписывают Эрдешу, [67] но сам Эрдеш приписывал ее Реньи. [68] После смерти матери в 1971 году он начал принимать антидепрессанты и амфетамины, несмотря на беспокойство своих друзей, один из которых ( Рон Грэм ) поспорил с ним на 500 долларов, что он не сможет прекратить их прием в течение месяца. Эрдеш выиграл пари, но пожаловался, что это повлияло на его выступление: «Вы показали мне, что я не наркоман. Но я не выполнил никакой работы. Я вставал утром и смотрел на чистый кусок». бумаги. У меня не было бы никаких идей, как у обычного человека. Вы отложили математику на месяц назад. [69] После того, как он выиграл пари, он сразу же возобновил прием риталина и бензедрина . [70]
У него был свой собственный своеобразный словарный запас; хотя он был агностиком-атеистом , [71] [72] он говорил о «Книге», визуализации книги, в которой Бог записал лучшие и наиболее элегантные доказательства математических теорем. [73] Выступая с лекцией в 1985 году, он сказал: «Вам не обязательно верить в Бога, но вы должны верить в Книгу ». Он сам сомневался в существовании Бога, которого называл «Верховным Фашистом» (СФ). [74] [75] Он обвинил С.Ф. в том, что он скрывал свои носки и венгерские паспорта , а также хранил при себе самые элегантные математические доказательства. Когда он видел особенно красивое математическое доказательство , он восклицал: «Это из Книги !» Позже это вдохновило на создание книги под названием «Доказательства из книги» .
Другие своеобразные элементы словаря Эрдёша включают: [70]
Он дал прозвища многим странам, например, США были «самландом» (в честь дяди Сэма ) [70] , а Советский Союз был «джоедомом» (в честь Иосифа Сталина ). [70] Он утверждал, что хинди — лучший язык, потому что слова, обозначающие старость ( bud̩d̩hā ) и глупость ( buddhū ), звучат почти одинаково. [77]
Эрдеш подписал свое имя «Пауль Эрдос ПГОМ». Когда ему исполнилось 60, он добавил «LD», в 65 — «AD», в 70 — «LD» (снова), а в 75 — «CD» [ 77]
Эрдёш является предметом как минимум трёх книг: двух биографий (« Человек , который любил только числа» Хоффмана и « Мой мозг открыт» Шехтера , обе опубликованы в 1998 году) и детской книжки с картинками Деборы Хейлигман 2013 года ( «Мальчик, который любил математику: Невероятная жизнь Пауля Эрдеша ). [80]
Он также является героем биографического документального фильма Джорджа Чичери «N — это число: портрет Пола Эрдеша» , [81] снятого при его жизни.
В 2021 году малая планета ( астероид ) 405571 (временно обозначенная как 2005 QE87) была официально названа «Эрдёспал» в честь Эрдеша, с цитатой, описывающей его как «венгерского математика, большая часть работы которого была сосредоточена на дискретной математике. Его работа была направлена на решение ранее открытые проблемы, а не разработка или исследование новых областей математики». [82] Название было предложено «К. Шарнецким, З. Кули» (Кули — первооткрыватель астероида).
С тяжелым сердцем я чувствую, что мне придется разорвать связи с Университетом Ватерлоо, в том числе отказаться от почетной степени, которую я получил в университете в 1981 году (что доставило мне большое удовольствие).
Меня очень расстроило обращение с профессором Адрианом Бонди.
Я не утверждаю, что профессор Бонди был невиновен, но, учитывая его достижения и выдающиеся заслуги перед университетом, я считаю, что «справедливость должна сочетаться с милосердием».
По его собственным словам: «Я не уполномочен утверждать, существует Бог или нет. Я сомневаюсь, что Он существует. Тем не менее, я всегда говорю, что в научной фантастике есть трансфинитная Книга, содержащая лучшие доказательства всех математических теорем. доказательства элегантны и совершенны... Вам не обязательно верить в Бога, но вы должны верить в Книгу».
Я как бы сомневаюсь, что Он [существует]. Тем не менее, я всегда говорю, что в НФ есть эта трансфинитная Книга... которая содержит лучшие доказательства всех теорем, доказательства изящные и совершенные... Вам не обязательно верить в Бога, но верить следует. в книге.
Эрдеш, атеист, назвал «Книгой» место, где Бог хранит эстетически совершенные доказательства.
