Полностью отключенное пространство

В топологии и смежных разделах математики полностью несвязное пространство — это топологическое пространство , связным подмножеством которого являются только одиночные элементы . В каждом топологическом пространстве синглтоны (и, если оно считается связным, пустое множество) связаны; в полностью несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером полностью несвязного пространства является множество Кантора , которое гомеоморфно множеству p -адических целых чисел . Другой пример, играющий ключевую роль в теории алгебраических чисел , — это поле $Qp p$ - адических чисел .

Определение

Топологическое пространство полностью несвязно, если компоненты связности в нем являются одноточечными множествами. ^[1]^[2] Аналогично, топологическое пространство полностью несвязно по путям, если все компоненты пути в нем являются одноточечными множествами. $X$ $X$ $X$ $X$

Другое тесно связанное понятие — это понятие полностью разделенного пространства , то есть пространства, в котором квазикомпоненты являются одиночными. То есть топологическое пространство полностью разделено, если для каждого пересечение всех замкнуто-замкнутых окрестностей является одноэлементным . Эквивалентно, для каждой пары различных точек существует пара непересекающихся открытых окрестностей таких , что . $X$ $x\in X$ $х$ $\{x\}$ $x,y\in X$ $U,V$ $x,y$ $X=U\sqcup V$

Всякое вполне отделенное пространство, очевидно, вполне несвязно, но обратное неверно даже для метрических пространств . Например, возьмем типи Кантора , который представляет собой веер Кнастера-Куратовского со снятой вершиной. Тогда полностью несвязен, но его квазикомпоненты не являются одноэлементными. Для локально компактных хаусдорфовых пространств эти два понятия (полностью несвязные и полностью разделенные) эквивалентны. $X$ $X$

Как ни странно, в литературе (например, ^[3] ) вполне несвязные пространства иногда называют наследственно несвязными , ^[4] тогда как термин « полностью несвязные» используется для полностью разделенных пространств. ^[4]

Примеры

Ниже приведены примеры полностью несвязных пространств:

Дискретные пространства
Рациональные числа
Иррациональные числа
p -адические числа; в более общем смысле все проконечные группы полностью несвязны.
Множество Кантора и пространство Кантора.
Пространство Бэра
Линия Соргенфри
Каждое хаусдорфово пространство малой индуктивной размерности 0 вполне несвязно.
Пространство Эрдеша ℓ ² — это полностью несвязное хаусдорфово пространство, не имеющее малой индуктивной размерности 0. $\,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }$
Экстремально несвязные пространства Хаусдорфа.
Каменные пространства
Веер Кнастера – Куратовского представляет собой пример связного пространства, в котором удаление одной точки приводит к полностью несвязному пространству.

Характеристики

Подпространства , произведения и копроизведения полностью несвязных пространств полностью несвязны.
Полностью несвязные пространства — это пространства T 1 , поскольку одиночные элементы замкнуты.
Непрерывные образы вполне несвязных пространств не обязательно являются полностью несвязными, более того, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом канторова множества .
Локально компактное хаусдорфово пространство имеет малую индуктивную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно вполне несвязно.
Всякий вполне несвязный компакт гомеоморфен подмножеству счетного произведения дискретных пространств .
В общем случае неверно, что всякое открытое множество в полностью несвязном пространстве также является замкнутым.
Вообще говоря, неверно, что замыкание всякого открытого множества в вполне несвязном пространстве является открытым, т. е. не всякое вполне несвязное хаусдорфово пространство является экстремально несвязным .

Построение полностью несвязного фактор-пространства любого данного пространства

Пусть – произвольное топологическое пространство. Пусть тогда и только тогда (где обозначает наибольшее связное подмножество, содержащее ). Очевидно, это отношение эквивалентности , классы эквивалентности которого являются связными компонентами . Наделите фактортопологией , то есть наилучшей топологией, делающей отображение непрерывным. Приложив немного усилий, мы увидим, что это полностью отключено. $X$ $х\sim y$ $y\in \mathrm {conn} (x)$ $\mathrm {conn} (х)$ $х$ $X$ $X/{\sim }$ $м:х\mapsto \mathrm {conn} (х)$ $X/{\sim }$

Фактически это пространство является не только некоторым полностью несвязным фактором, но и в определенном смысле самым большим : Имеет место следующее универсальное свойство : для любого полностью несвязного пространства и любого непрерывного отображения существует единственное непрерывное отображение с . $Y$ $е: X\rightarrow Y$ ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ $f={\breve {f}}\circ m$

Смотрите также

Цитаты

^ Рудин 1991, с. 395 Приложение А7.
^ Мункрес 2000, стр. 152.
^ Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хелдерманн Верлаг, Серия сигм в чистой математике. ISBN 3-88538-006-4.
^ Аб Куратовский 1968, стр. 151.