Полностью разъединенная группа

В математике полностью несвязная группа — это топологическая группа , которая полностью несвязна . Такие топологические группы обязательно являются хаусдорфовыми .

Интерес сосредоточен на локально компактных полностью несвязных группах (по-разному называемых группами td-типа , ^[1] локально проконечными группами , ^[2] или td группами ^[3] ). Компактный случай был тщательно изучен — это проконечные группы , — но долгое время мало что было известно об общем случае. Теорема Ван Данцига ^[4] из 1930-х годов, утверждающая, что каждая такая группа содержит компактную открытую подгруппу , была всем, что было известно. Затем новаторская работа Джорджа Уиллиса в 1994 году открыла эту область, показав, что каждая локально компактная полностью несвязная группа содержит так называемую аккуратную подгруппу и специальную функцию на ее автоморфизмах , функцию масштаба , дающую количественно определяемый параметр для локальной структуры. Прогресс в глобальной структуре полностью несвязных групп был получен в 2011 году Капрасом и Моно , в частности, с классификацией характерно простых групп и нётеровых групп .

Локально компактный случай

В локально компактной, полностью несвязной группе каждая окрестность тождества содержит компактную открытую подгруппу. Обратно, если группа такова, что тождество имеет базис окрестностей, состоящий из компактных открытых подгрупп, то она локально компактна и полностью несвязна. ^[2]

Аккуратные подгруппы

Пусть G — локально компактная, вполне несвязная группа, U — компактная открытая подгруппа группы G и непрерывный автоморфизм группы G. ${\displaystyle \alpha }$

Определять:

${\displaystyle U_{+}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U)}$

${\displaystyle U_{-}=\bigcap _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U)}$

${\displaystyle U_{++}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{n}(U_{+})}$

${\displaystyle U_{--}=\bigcup _{n\geq 0}\alpha ^{-n}(U_{-})}$

Говорят, что U аккуратен тогда и только тогда , когда и и замкнуты. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle U=U_{+}U_{-}=U_{-}U_{+}}$ ${\displaystyle U_{++}}$ ${\displaystyle U_{--}}$

Функция масштабирования

Показано, что индекс в конечен и независим от U , который аккуратен для . Определим функцию масштаба как этот индекс. Ограничение внутренними автоморфизмами дает функцию на G с интересными свойствами. В частности, это: Определим функцию на G как , где — внутренний автоморфизм на G . ${\displaystyle \alpha (U_{+})}$ ${\displaystyle U_{+}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle s(\alpha )}$
${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s(x):=s(\alpha _{x})}$ ${\displaystyle \alpha _{x}}$ ${\displaystyle x}$

Характеристики

• ${\displaystyle s}$является непрерывным.
• ${\displaystyle s(x)=1}$, всякий раз, когда x в G является компактным элементом.
• ${\displaystyle s(x^{n})=s(x)^{n}}$для каждого неотрицательного целого числа . ${\displaystyle n}$
• Модулярная функция на G задается выражением . ${\displaystyle \Delta (x)=s(x)s(x^{-1})^{-1}}$

Расчеты и приложения

Функция масштабирования использовалась для доказательства гипотезы Хофманна и Мукерьи и была явно вычислена для p-адических групп Ли и линейных групп над локальными телами Хельге Глёкнером.

Примечания

1. Картье 1979, §1.1
2. Bushnell & Henniart 2006, §1.1
3. Борель и Уоллах 2000, Глава X
4. ван Данциг 1936, стр. 411

Ссылки

• ван Данциг, Дэвид (1936), «Zur топологическая алгебра. III. Brouwersche und Cantorsche Gruppen», Compositio Mathematica , 3 : 408–426
• Борель, Арманд ; Уоллах, Нолан (2000), Непрерывные когомологии, дискретные подгруппы и представления редуктивных групп , Математические обзоры и монографии, т. 67 (Второе издание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-0851-1, МР  1721403
• Бушнелл, Колин Дж.; Хенниарт, Гай (2006), Локальная гипотеза Ленглендса для GL (2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Фундаментальные принципы математических наук], том. 335, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/3-540-31511-X, ISBN. 978-3-540-31486-8, г-н  2234120
• Caprace, Pierre-Emmanuel; Monod, Nicolas (2011), «Разложение локально компактных групп на простые части», Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. , 150 : 97–128, arXiv : 0811.4101 , Bibcode : 2011MPCPS.150...97C, doi : 10.1017/S0305004110000368, MR  2739075
• Картье, Пьер (1979), «Представления -адических групп: обзор», в Борель, Арман ; Кассельман, Уильям (ред.), Автоморфные формы, представления и L-функции (PDF) , Труды симпозиумов по чистой математике, т. 33, часть 1, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 111–155, ISBN ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 978-0-8218-1435-2, МР  0546593
• GA Willis - Структура полностью несвязных локально компактных групп, Mathematische Annalen 300, 341-363 (1994)