Полностью изолированное пространство

В топологии и смежных разделах математики полностью несвязное пространство — это топологическое пространство , которое имеет только синглтоны в качестве связных подмножеств . В каждом топологическом пространстве синглтоны (и, когда оно считается связным, пустое множество) связаны; в полностью несвязном пространстве это единственные связные подмножества.

Важным примером полностью несвязного пространства является множество Кантора , которое гомеоморфно множеству целых p -адических чисел . Другим примером, играющим ключевую роль в алгебраической теории чисел , является поле $Q p$ p - адических чисел .

Определение

Топологическое пространство полностью несвязно , если все компоненты связности в являются одноточечными множествами. ^[1]^[2] Аналогично, топологическое пространство полностью несвязно по путям, если все компоненты связности в являются одноточечными множествами. $X$ $X$ $X$ $X$

Другое тесно связанное понятие — это понятие полностью разделенного пространства , т.е. пространства, где квазикомпоненты являются синглтонами. То есть топологическое пространство полностью разделено, если для каждого пересечение всех открыто-замкнутых окрестностей является синглтоном . Эквивалентно, для каждой пары различных точек существует пара непересекающихся открытых окрестностей таких , что . $X$ $x\in X$ $x$ $\{x\}$ $x,y\in X$ $U,V$ $x,y$ $X=U\sqcup V$

Каждое полностью отделенное пространство, очевидно, полностью несвязно, но обратное неверно даже для метрических пространств . Например, возьмем в качестве вигвама Кантора , который является веером Кнастера–Куратовского с удаленной вершиной. Тогда полностью несвязно, но его квазикомпоненты не являются синглтонами. Для локально компактных хаусдорфовых пространств два понятия (полностью несвязно и полностью отделено) эквивалентны. $X$ $X$

По непонятной причине в литературе (например, ^[3] ) полностью несвязанные пространства иногда называют наследственно несвязанными , ^[4] в то время как термин « полностью несвязанные» используется для полностью разделенных пространств. ^[4]

Примеры

Ниже приведены примеры полностью изолированных пространств:

Дискретные пространства
Рациональные числа
Иррациональные числа
p -адические числа; в более общем смысле, все проконечные группы полностью несвязны.
Множество Кантора и пространство Кантора
Пространство Бэра
Линия Зоргенфрея
Каждое хаусдорфово пространство малой индуктивной размерности 0 полностью несвязно.
Пространство Эрдёша ℓ ² является полностью несвязным хаусдорфовым пространством, не имеющим малой индуктивной размерности 0. $\,\cap \,\mathbb {Q} ^{\omega }$
Экстремально несвязные пространства Хаусдорфа
Каменные пространства
Веер Кнастера –Куратовского представляет собой пример связного пространства, в котором удаление одной точки приводит к полностью несвязному пространству.

Характеристики

Подпространства , произведения и копроизведения полностью несвязных пространств полностью несвязны.
Полностью несвязные пространства являются пространствами T1 , поскольку синглетоны замкнуты.
Непрерывные образы полностью несвязных пространств не обязательно полностью несвязны; на самом деле, каждое компактное метрическое пространство является непрерывным образом множества Кантора .
Локально компактное хаусдорфово пространство имеет малую индуктивную размерность 0 тогда и только тогда, когда оно полностью несвязно.
Каждое вполне несвязное компактное метрическое пространство гомеоморфно подмножеству счетного произведения дискретных пространств .
В общем случае неверно, что каждое открытое множество в полностью несвязном пространстве также замкнуто.
В общем случае неверно, что замыкание каждого открытого множества в полностью несвязном пространстве открыто, т. е. не каждое полностью несвязное хаусдорфово пространство является экстремально несвязным .

Построение полностью несвязного факторпространства любого заданного пространства

Пусть будет произвольным топологическим пространством. Пусть тогда и только тогда, когда (где обозначает наибольшее связное подмножество, содержащее ). Очевидно, что это отношение эквивалентности , классы эквивалентности которого являются связными компонентами . Наделим топологией фактора , т.е. наилучшей топологией, делающей отображение непрерывным. Приложив немного усилий, мы можем увидеть, что оно полностью несвязно. $X$ $x\сим y$ $y\in \mathrm {conn} (x)$ $\mathrm {conn} (x)$ $x$ $X$ $X/{\sim }$ $m:x\mapsto \mathrm {conn} (x)$ $X/{\sim }$

На самом деле это пространство не только некое совершенно несвязное фактор-пространство, но и в определенном смысле самое большое : Имеет место следующее универсальное свойство : для любого совершенно несвязного пространства и любого непрерывного отображения существует единственное непрерывное отображение с . $Y$ $f:X\rightarrow Y$ ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ $f={\breve {f}}\circ m$

Смотрите также

Цитаты

^ Рудин 1991, стр. 395 Приложение A7.
↑ Манкрес 2000, стр. 152.
^ Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Хелдерманн Верлаг, Серия сигм в чистой математике. ISBN 3-88538-006-4.
^ Аб Куратовский 1968, стр. 151.

Ссылки

Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе издание). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ. Международная серия по чистой и прикладной математике. Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Уиллард, Стивен (2004), Общая топология , Dover Publications , ISBN 978-0-486-43479-7, МР 2048350(перепечатка оригинала 1970 года, MR 0264581)
Куратовский, Казимеж (1968), Топология II: Перевод с французского (пересмотренное издание), Нью-Йорк: Academic Press [ua], ISBN 9780124292024