Индуктивное измерение

Инвариант топологических пространств

В математической области топологии индуктивная размерность топологического пространства X имеет одно из двух значений: малую индуктивную размерность ind( X ) или большую индуктивную размерность Ind( X ). Они основаны на наблюдении, что в n -мерном евклидовом пространстве R ⁿ ( n  − 1)-мерные сферы (то есть границы n -мерных шаров ) имеют размерность n  − 1. Поэтому должно быть возможно определить размерность пространства индуктивно в терминах размерностей границ подходящих открытых множеств .

Малые и большие индуктивные размерности — это два из трех наиболее обычных способов зафиксировать понятие «размерности» для топологического пространства, способом, который зависит только от топологии (а не, скажем, от свойств метрического пространства ). Другой — это размерность покрытия Лебега . Термин «топологическая размерность» обычно понимается как относящийся к размерности покрытия Лебега. Для «достаточно хороших» пространств три меры размерности равны.

Формальное определение

Мы хотим, чтобы размерность точки была равна 0, и точка имела пустую границу, поэтому мы начинаем с

${\displaystyle \operatorname {ind} (\varnothing )=\operatorname {Ind} (\varnothing )=-1}$

Тогда по индукции ind( X ) — это наименьшее n такое, что для любого открытого множества U, содержащего x , существует открытое множество V , содержащее x , такое, что замыкание V является подмножеством U , а граница V имеет малую индуктивную размерность, меньшую или равную n  − 1. (Если X — евклидово n -мерное пространство, то V можно выбрать как n -мерный шар с центром в точке x .) ${\displaystyle x\in X}$

Для большой индуктивной размерности мы еще больше ограничиваем выбор V ; Ind( X ) — это наименьшее n , такое что для каждого замкнутого подмножества F каждого открытого подмножества U множества X существует открытое V между ними (то есть F является подмножеством V , а замыкание V является подмножеством U ), такое, что граница V имеет большую индуктивную размерность, меньшую или равную n  − 1. ^[1]

Взаимосвязь между измерениями

Пусть — размерность покрытия Лебега. Для любого топологического пространства X имеем ${\displaystyle \dim }$

${\displaystyle \dim X=0}$если и только если ${\displaystyle \operatorname {Ind} X=0.}$

Теорема Урысона утверждает, что когда X — нормальное пространство со счетной базой , то

${\displaystyle \dim X=\operatorname {Ind} X=\operatorname {ind} X.}$

Такими пространствами являются в точности сепарабельные и метризуемые X (см. теорему Урысона о метризации ).

Теорема Нёбелинга–Понтрягина утверждает, что такие пространства с конечной размерностью характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства евклидовых пространств с их обычной топологией. Теорема Менгера–Нёбелинга (1932) утверждает, что если является компактным метрически сепарабельным и имеет размерность , то оно вкладывается как подпространство евклидова пространства размерности . ( Георг Нёбелинг был учеником Карла Менгера . Он ввел пространство Нёбелинга , подпространство состоящее из точек с координатами не менее иррациональных чисел , которое обладает универсальными свойствами для вложения пространств размерности .) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2n+1}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n}$

Предполагая, что только X метризуемо, имеем ( Мирослав Катетов )

инд X ≤ инд X = дим X ;

или предполагая X компактным и Хаусдорфовым ( П.С. Александров )

dim X ≤ ind X ≤ Ind X .

Любое неравенство здесь может быть строгим; пример В. В. Филиппова показывает, что два индуктивных измерения могут различаться.

Сепарабельное метрическое пространство X удовлетворяет неравенству тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства пространства и каждого непрерывного отображения существует непрерывное расширение . ${\displaystyle \operatorname {Ind} X\leq n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\to S^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {f}}:X\to S^{n}}$

Ссылки

1. Архангельский, А.В.; Понтрягин, Л.С. (1990). Общая топология . Том. Я. Берлин, Германия: Springer-Verlag. ISBN 3-540-18178-4. Страница 104

Дальнейшее чтение

• Крилли, Тони, 2005, «Пауль Урысон и Карл Менгер: статьи по теории размерности» в Grattan-Guinness, I. , ред., Landmark Writings in Western Mathematics . Elsevier: 844-55.
• Энгелькинг Р. Теория размерностей. Конечное и бесконечное , Heldermann Verlag (1995), ISBN 3-88538-010-2 . 
• В. В. Федорчук, «Основы теории размерности» , опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, «Общая топология I» , (1993) А. В. Архангельский и Л. С. Понтрягин (ред.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178- 4 . 
• В. В. Филиппов, Об индуктивной размерности произведения бикомпактов , Докл. АН СССР, 13 (1972), № 1, 250-254.
• А. Р. Пирс, Теория размерности общих пространств , Cambridge University Press (1975).