Универсальная собственность

Характеризующее свойство математических конструкций

Типичная схема определения универсального морфизма.

В математике , точнее в теории категорий , универсальное свойство — это свойство, характеризующее с точностью до изоморфизма результат некоторых конструкций. Таким образом, универсальные свойства могут быть использованы для определения некоторых объектов независимо от выбранного метода их построения. Например, определения целых чисел из натуральных чисел , рациональных чисел из целых чисел, действительных чисел из рациональных чисел и колец полиномов из поля их коэффициентов — все это можно сделать с точки зрения универсальных свойств. В частности, концепция универсального свойства позволяет просто доказать, что все конструкции действительных чисел эквивалентны: достаточно доказать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.

Технически универсальное свойство определяется в терминах категорий и функторов с помощью универсального морфизма (см. § Формальное определение ниже). Универсальные морфизмы также можно рассматривать более абстрактно как начальные или конечные объекты категории запятой (см. § Связь с категориями запятой ниже).

Универсальные свойства встречаются в математике почти повсюду, и использование этой концепции позволяет использовать общие свойства универсальных свойств для легкого доказательства некоторых свойств, которые в противном случае потребовали бы скучных проверок. Например, для коммутативного кольца R поле частных фактор - кольца R по простому идеалу p можно отождествить с полем вычетов локализации R в точке p ; то есть (все эти конструкции могут быть определены универсальными свойствами). ${\displaystyle R_{p}/pR_{p}\cong \operatorname {Frac} (R/p)}$

Другие объекты, которые могут быть определены универсальными свойствами, включают: все свободные объекты , прямые произведения и прямые суммы , свободные группы , свободные решетки , группу Гротендика , пополнение метрического пространства , пополнение кольца , пополнение Дедекинда – МакНила , топологии произведения , Стоун . – компактификация Чеха , тензорные произведения , обратный предел и прямой предел , ядра и коядра , факторгруппы , фактор-векторные пространства и другие фактор-пространства .

Мотивация

Прежде чем дать формальное определение универсальных свойств, мы предложим некоторые мотивы для изучения таких конструкций.

• Конкретные детали данной конструкции могут быть беспорядочными, но если конструкция удовлетворяет универсальному свойству, обо всех этих деталях можно забыть: все, что нужно знать о конструкции, уже содержится в универсальном свойстве. Доказательства часто становятся короткими и изящными, если использовать универсальное свойство, а не конкретные детали. Например, тензорную алгебру векторного пространства немного сложно построить, но с ней гораздо проще справиться благодаря ее универсальному свойству.
• Универсальные свойства определяют объекты однозначно с точностью до уникального изоморфизма . ^[1] Следовательно, одна из стратегий доказательства изоморфности двух объектов состоит в том, чтобы показать, что они удовлетворяют одному и тому же универсальному свойству.
• Универсальные конструкции носят функториальный характер: если можно выполнить построение для каждого объекта категории C , то получается функтор на C . Более того, этот функтор является правым или левым сопряженным функтору U , используемому при определении универсального свойства. ^[2]
• Универсальные свойства встречаются в математике повсюду. Понимая их абстрактные свойства, можно получить информацию обо всех этих конструкциях и избежать повторения одного и того же анализа для каждого отдельного случая.

Формальное определение

Чтобы понять определение универсальной конструкции, важно рассмотреть примеры. Универсальные конструкции не были определены на пустом месте, а были определены после того, как математики начали замечать закономерности во многих математических конструкциях (см. Примеры ниже). Следовательно, определение может сначала показаться непонятным, но станет ясным, когда вы согласуете его с конкретными примерами.

Пусть – функтор между категориями и . В дальнейшем пусть - объект , и - объекты , и - морфизм в . ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Затем функтор отображает , и в , и в . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F(A)}$ ${\displaystyle F(A')}$ ${\displaystyle F(h)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Универсальный морфизм от до ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ — это уникальная пара , обладающая следующим свойством, обычно называемым универсальным свойством : ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

Для любого морфизма вида в существует единственный морфизм в такой, что следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle f:X\to F(A')}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Типичная схема определения универсального морфизма.

Мы можем дуализировать это категориальное понятие. Универсальный морфизм от до ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ — это уникальная пара , удовлетворяющая следующему универсальному свойству: ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$

Для любого морфизма вида в существует единственный морфизм в такой, что следующая диаграмма коммутирует: ${\displaystyle f:F(A')\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle h:A'\to A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Самая важная стрелка здесь — это то, что устанавливает универсальное свойство. ${\displaystyle u:F(A)\to X}$

Обратите внимание, что в каждом определении стрелки перевернуты. Оба определения необходимы для описания универсальных конструкций, возникающих в математике; но они также возникают из-за присущей теории категорий двойственности. В любом случае мы говорим, что пара , которая ведет себя так, как указано выше, обладает универсальным свойством. ${\displaystyle (A,u)}$

Связь с категориями через запятую

Универсальные морфизмы можно описать более кратко как начальные и конечные объекты в категории запятой (т.е. такой, где морфизмы рассматриваются как самостоятельные объекты).

Пусть будет функтором и объектом . Тогда вспомните, что категория запятой — это категория, в которой ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$

• Объекты представляют собой пары вида , где находится объект в ${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Морфизм из в задается морфизмом в таком, что диаграмма коммутирует: ${\displaystyle (B,f:X\to F(B))}$ ${\displaystyle (B',f':X\to F(B'))}$ ${\displaystyle h:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Морфизм в категории запятой задается морфизмом, который также делает диаграмму коммутирующей. ${\displaystyle h:B\to B'}$

Теперь предположим, что объект в является начальным. Тогда для каждого объекта существует единственный морфизм, такой, что следующая диаграмма коммутирует. ${\displaystyle (A,u:X\to F(A))}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$ ${\displaystyle (A',f:X\to F(A'))}$ ${\displaystyle h:A\to A'}$

Это демонстрирует связь между универсальной диаграммой и исходным объектом в категории с запятой.

Обратите внимание, что равенство здесь просто означает, что диаграммы одинаковы. Также обратите внимание, что диаграмма в правой части равенства точно такая же, как и диаграмма, предложенная при определении универсального морфизма от до ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ . Таким образом, мы видим, что универсальный морфизм от до эквивалентен исходному объекту в категории запятой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (X\downarrow F)}$

И наоборот, напомним, что категория запятой — это категория, в которой ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

• Объекты — это пары вида где находится объект в ${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
• Морфизм из в задается морфизмом в таком, что диаграмма коммутирует: ${\displaystyle (B,f:F(B)\to X)}$ ${\displaystyle (B',f':F(B')\to X)}$ ${\displaystyle h:B\to B'}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

Это просто демонстрирует определение морфизма в категории запятой.

Предположим , это терминальный объект в . Тогда для каждого объекта существует единственный морфизм, такой, что следующие диаграммы коммутируют. ${\displaystyle (A,u:F(A)\to X)}$ ${\displaystyle (F\downarrow X)}$ ${\displaystyle (A',f:F(A')\to X)}$ ${\displaystyle h:A'\to A}$

Это показывает, что терминальный объект в определенной категории запятой соответствует универсальному морфизму.

Диаграмма в правой части равенства — это та же диаграмма, что и при определении универсального морфизма от до ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ . Следовательно, универсальный морфизм от до соответствует терминальному объекту в категории запятой . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (F\downarrow X)}$

Примеры

Ниже приведены несколько примеров, чтобы подчеркнуть общую идею. Читатель может построить множество других примеров, обратившись к статьям, упомянутым во введении.

Тензорные алгебры

Пусть - категория векторных пространств -Vect над полем и пусть - категория алгебр -Alg над (считается унитарной и ассоциативной ). Позволять ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle U}$ : -Алг → -Вект ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

быть функтором забывчивости , который присваивает каждой алгебре ее базовое векторное пространство.

Учитывая любое векторное пространство, мы можем построить тензорную алгебру . Тензорная алгебра характеризуется тем, что: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T(V)}$

«Любое линейное отображение из в алгебру однозначно продолжается до гомоморфизма алгебры из в ». ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle A}$

Это утверждение является исходным свойством тензорной алгебры, поскольку оно выражает тот факт, что пара , где – отображение включения, является универсальным морфизмом векторного пространства в функтор . ${\displaystyle (T(V),i)}$ ${\displaystyle i:V\to U(T(V))}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Поскольку эта конструкция работает для любого векторного пространства , мы заключаем, что это функтор от -Vect до -Alg . Это означает, что он слева сопряжен с функтором забывания (см. раздел ниже о сопряженных функторах). ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

Продукты

Категориальный продукт можно охарактеризовать универсальной конструкцией. Для конкретности можно рассмотреть декартово произведение в Set , прямое произведение в Grp или топологию произведения в Top , где продукты существуют.

Пусть и — объекты категории с конечными произведениями. Произведение и является объектом × вместе с двумя морфизмами ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \pi _{1}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to X}$

${\displaystyle \pi _{2}}$ : ${\displaystyle X\times Y\to Y}$

такой, что для любого другого объекта и морфизмов и существует единственный морфизм такой, что и . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f:Z\to X}$ ${\displaystyle g:Z\to Y}$ ${\displaystyle h:Z\to X\times Y}$ ${\displaystyle f=\pi _{1}\circ h}$ ${\displaystyle g=\pi _{2}\circ h}$

Чтобы понять эту характеристику как универсальное свойство, возьмем категорию как категорию продукта и определим диагональный функтор. ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

по и . Тогда является универсальным морфизмом от к объекту : если существует какой-либо морфизм от до , то он должен равняться морфизму от до , за которым следует . В качестве коммутативной диаграммы: ${\displaystyle \Delta (X)=(X,X)}$ ${\displaystyle \Delta (f:X\to Y)=(f,f)}$ ${\displaystyle (X\times Y,(\pi _{1},\pi _{2}))}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (f,g)}$ ${\displaystyle (Z,Z)}$ ${\displaystyle (X,Y)}$ ${\displaystyle \Delta (h:Z\to X\times Y)=(h,h)}$ ${\displaystyle \Delta (Z)=(Z,Z)}$ ${\displaystyle \Delta (X\times Y)=(X\times Y,X\times Y)}$ ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$

Коммутативная диаграмма, показывающая, почему продукты обладают универсальными свойствами.

В примере декартова произведения в Set морфизм включает в себя две проекции и . Учитывая любой набор и функции, единственное отображение, такое, что требуемая диаграмма коммутирует, определяется выражением . ^[3] ${\displaystyle (\pi _{1},\pi _{2})}$ ${\displaystyle \pi _{1}(x,y)=x}$ ${\displaystyle \pi _{2}(x,y)=y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle h=\langle x,y\rangle (z)=(f(z),g(z))}$

Пределы и копределы

Категориальные продукты представляют собой особый вид предела в теории категорий. Приведенный выше пример можно обобщить на произвольные пределы и копределы.

Пусть и — категории с категорией малого индекса , и пусть — соответствующая категория функтора . Диагональный функтор ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

— это функтор, который отображает каждый объект в постоянный функтор (т.е. для каждого в и для каждого в ) и каждый морфизм в в естественное преобразование в , определяемое как для каждого объекта из компонент ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (N):{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (N)(X)=N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \Delta (N)(f)=1_{N}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (f):\Delta (N)\to \Delta (M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

$${\displaystyle \Delta (f)(X):\Delta (N)(X)\to \Delta (M)(X)=f:N\to M}$$

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:N\to M}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$

Учитывая функтор (думаемый как объект в ), предел , если он существует, является не чем иным, как универсальным морфизмом от до . Двойственным образом копредел является универсальным морфизмом от до . ${\displaystyle F:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta }$

Характеристики

Существование и уникальность

Определение количества не гарантирует его существования. Учитывая функтор и объект , может существовать или не существовать универсальный морфизм от до . Если же универсальный морфизм существует, то он по существу единственен. В частности, он уникален с точностью до единственного изоморфизма : если есть другая пара, то существует единственный изоморфизм такой, что . В этом легко убедиться, подставив в определение универсального морфизма. ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle (A',u')}$ ${\displaystyle k:A\to A'}$ ${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$ ${\displaystyle (A,u')}$

В этом отношении эта пара по сути уникальна. Сам объект уникален только с точностью до изоморфизма. Действительно, если – универсальный морфизм и – любой изоморфизм, то пара , где также является универсальным морфизмом. ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A,u)}$ ${\displaystyle k:A\to A'}$ ${\displaystyle (A',u')}$ ${\displaystyle u'=F(k)\circ u}$

Эквивалентные составы

Определение универсального морфизма можно перефразировать по-разному. Пусть будет функтором и пусть будет объектом . Тогда следующие утверждения эквивалентны: ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ${\displaystyle (A,u)}$является универсальным морфизмом от до ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$
• ${\displaystyle (A,u)}$является исходным объектом категории запятая ${\displaystyle (X\downarrow F)}$
• ${\displaystyle (A,F(\bullet )\circ u)}$является представлением , где его компоненты определяются формулой ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(-))}$ ${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(X,F(B))}$

$${\displaystyle (F(\bullet )\circ u)_{B}(f:A\to B):X\to F(B)=F(f)\circ u:X\to F(B)}$$

для каждого объекта в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Двойные утверждения также эквивалентны:

• ${\displaystyle (A,u)}$является универсальным морфизмом от до ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle (A,u)}$является терминальным объектом категории запятой ${\displaystyle (F\downarrow X)}$
• ${\displaystyle (A,u\circ F(\bullet ))}$является представлением , где его компоненты определяются формулой ${\displaystyle {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(-),X)}$ ${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}:{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(B,A)\to {\text{Hom}}_{\mathcal {D}}(F(B),X)}$

$${\displaystyle (u\circ F(\bullet ))_{B}(f:B\to A):F(B)\to X=u\circ F(f):F(B)\to X}$$

для каждого объекта в ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

Связь с сопряженными функторами

Пусть – универсальный морфизм от до и – универсальный морфизм от до . По универсальному свойству универсальных морфизмов для любого морфизма существует единственный морфизм, такой, что коммутирует следующая диаграмма: ${\displaystyle (A_{1},u_{1})}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (A_{2},u_{2})}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle h:X_{1}\to X_{2}}$ ${\displaystyle g:A_{1}\to A_{2}}$

Универсальные морфизмы могут вести себя как естественное преобразование между функторами при подходящих условиях.

Если каждый объект допускает универсальный морфизм в , то присваивание и определяет функтор . Затем карты определяют естественное преобразование из (тождественного функтора на ) в . Тогда функторы представляют собой пару сопряженных функторов с левосопряженным к и правосопряженным к . ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$ ${\displaystyle h\mapsto g}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle 1_{\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F\circ G}$ ${\displaystyle (F,G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Аналогичные утверждения применимы и к двойственной ситуации терминальных морфизмов из . Если такие морфизмы существуют, то для каждого в одном получается функтор , который правосопряжён к (то есть левосопряжён к ). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

Действительно, все пары сопряженных функторов возникают таким образом из универсальных конструкций. Пусть и — пара сопряженных функторов с единицей и коединицей ( определения см. в статье о сопряженных функторах ). Тогда у нас есть универсальный морфизм для каждого объекта в и : ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• Для каждого объекта в , является универсальным морфизмом от до . То есть для всех существует единственное, для которого коммутируют следующие диаграммы. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle (F(X),\eta _{X})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle f:X\to G(Y)}$ ${\displaystyle g:F(X)\to Y}$
• Для каждого объекта в , является универсальным морфизмом от до . То есть для всех существует единственное, для которого коммутируют следующие диаграммы. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle (G(Y),\epsilon _{Y})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle g:F(X)\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to G(Y)}$

Единица и единица присоединения, являющиеся естественными преобразованиями между функторами, являются важным примером универсальных морфизмов.

Универсальные конструкции более общие, чем пары сопряженных функторов: универсальная конструкция подобна задаче оптимизации; она порождает сопряженную пару тогда и только тогда, когда эта проблема имеет решение для каждого объекта (т. е. для каждого объекта из ). ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

История

Универсальные свойства различных топологических конструкций были представлены Пьером Самуэлем в 1948 году. Позже они широко использовались Бурбаки . Близко связанная концепция сопряженных функторов была независимо введена Дэниелом Каном в 1958 году.

Смотрите также

• Математический портал

• Бесплатный объект
• Естественная трансформация
• Сопряженный функтор
• Монада (теория категорий)
• Разнообразие алгебр
• Декартова закрытая категория

Примечания

1. Джейкобсон (2009), Предложение 1.6, с. 44.
2. См., например, Polcino & Sehgal (2002), с. 133. Упражнение 1, об универсальности групповых колец .
3. Фонг, Брендан; Спивак, Дэвид И. (12 октября 2018 г.). «Семь очерков композиционности: приглашение к прикладной теории категорий». arXiv : 1803.05316 [math.CT].

Рекомендации

• Пол Кон , Универсальная алгебра (1981), D.Reidel Publishing, Голландия. ISBN 90-277-1213-1 . 
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике 5 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8.
• Борсо, Ф. Справочник по категориальной алгебре: том 1 Основная теория категорий (1994) Издательство Кембриджского университета, (Энциклопедия математики и ее приложений) ISBN 0-521-44178-1 
• Н. Бурбаки, Livre II: Algebre (1970), Hermann, ISBN 0-201-00639-1 . 
• Милиес, Сезар Польчино; Сегал, Сударшан К.. Введение в групповые кольца . Алгебры и приложения, Том 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0 . 
• Джейкобсон. Основная алгебра II. Дувр. 2009. ISBN 0-486-47187-X. 

Внешние ссылки

• nLab, вики-проект по математике, физике и философии с упором на n -категориальную точку зрения.
• Андре Жойал , CatLab, вики-проект, посвященный изложению категориальной математики.
• Хиллман, Крис (2001). Категорический учебник . CiteSeerX  10.1.1.24.3264 :формальное введение в теорию категорий.
• Дж. Адамек, Х. Херрлих, Г. Стекер, Абстрактные и конкретные категории – радость кошек
• Стэнфордская энциклопедия философии : «Теория категорий» Жан-Пьера Маркиза. Обширная библиография.
• Список научных конференций по теории категорий
• Баэз, Джон, 1996, «Повесть о n-категориях». Неофициальное введение в категории более высокого порядка.
• WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований , универсальных свойств .
• The Catsters, канал на YouTube, посвященный теории категорий.
• Видеоархив записей выступлений по категориям, логике и основам физики.
• Интерактивная веб-страница, генерирующая примеры категориальных конструкций в категории конечных множеств.