Диагональный функтор

В теории категорий , разделе математики , диагональный функтор задается как , который отображает объекты , а также морфизмы . Этот функтор может быть использован для краткого альтернативного описания произведения объектов внутри категории : произведение является универсальной стрелкой от до . Стрелка включает в себя отображения проекций . ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta (a)=\langle a,a\rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle a\times b}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle }$

В более общем случае, если задана небольшая индексная категория , можно построить категорию функтора , объекты которой называются диаграммами . Для каждого объекта в , существует постоянная диаграмма , которая отображает каждый объект в в и каждый морфизм в в . Диагональный функтор назначает каждому объекту диаграммы и каждому морфизму в естественное преобразование в (заданное для каждого объекта из по ). Таким образом, например, в случае, когда есть дискретная категория с двумя объектами, восстанавливается диагональный функтор . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}:{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle 1_{a}}$ ${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}}$ ${\displaystyle f:a\rightarrow b}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle \eta _{j}=f}$ ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

Диагональные функторы предоставляют способ определения пределов и копределов диаграмм. При наличии диаграммы естественное преобразование (для некоторого объекта из ) называется конусом для . Эти конусы и их факторизации в точности соответствуют объектам и морфизмам категории запятой , а предел является конечным объектом в , т. е. универсальной стрелкой . Двойственно, копредел является начальным объектом в категории запятой , т. е. универсальной стрелкой . ${\displaystyle {\mathcal {F}}:{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \Delta _{a}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (\Delta \downarrow {\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \Delta \rightarrow {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}}\downarrow \Delta )}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow \Delta }$

Если каждый функтор из в имеет предел (что будет иметь место, если является полным ), то операция взятия пределов сама по себе является функтором из в . Функтор предела является правым сопряженным диагонального функтора. Аналогично, функтор копредела (который существует, если категория является кополной) является левым сопряженным диагонального функтора. Например, диагональный функтор, описанный выше, является левым сопряженным функтора бинарного произведения и правым сопряженным функтора бинарного копроизведения . ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}}$

Смотрите также

• Диаграмма (теория категорий)
• Конус (теория категорий)
• Диагональный морфизм

Ссылки

• Аводи, Стив (2006). «Функторы и естественность». Теория категорий . стр. 125–158. doi :10.1093/acprof:oso/9780198568612.003.0007. ISBN 978-0-19-856861-2.
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992). Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов . Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 20–23. ISBN 9780387977102.
• May, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета. стр. 16. ISBN 0-226-51183-9.