Диаграмма (теория категорий)

Индексированный набор объектов и морфизмов в категории.

В теории категорий , разделе математики , диаграмма является категориальным аналогом индексированного семейства в теории множеств . Основное отличие состоит в том, что в категориальной установке есть морфизмы , которые также нуждаются в индексации. Индексированное семейство множеств — это совокупность множеств, индексированных фиксированным набором; эквивалентно, функция от фиксированного индексного набора до класса множеств . Диаграмма — это набор объектов и морфизмов, индексированных фиксированной категорией; эквивалентно, функтор из категории с фиксированным индексом в некоторую категорию .

Универсальный функтор диаграммы — диагональный функтор ; его правое сопряженное является пределом диаграммы, а левое сопряженное - копределом. ^[1] Естественное преобразование диагонального функтора в некоторую произвольную диаграмму называется конусом .

Определение

Формально диаграмма типа J в категории C представляет собой ( ковариантный ) функтор

Д  : Дж → С.

Категория J называется индексной категорией или схемой диаграммы D ; Функтор иногда называют J -образной диаграммой . ^[2] Фактические объекты и морфизмы в J в значительной степени не имеют значения; имеет значение только то, как они взаимосвязаны. Диаграмма D рассматривается как индексация набора объектов и морфизмов в C, построенных по образцу J .

Хотя технически нет никакой разницы между отдельной диаграммой и функтором или между схемой и категорией , изменение терминологии отражает изменение перспективы, так же, как и в случае теории множеств: фиксируется индексная категория и разрешается функтор (и, во вторую очередь, целевая категория) меняться.

Чаще всего интересен случай, когда схема J представляет собой малую или даже конечную категорию. Диаграмма называется маленькой или конечной , если таковой является J.

Морфизм диаграмм типа J в категории C — это естественное преобразование между функторами. Тогда можно интерпретировать категорию диаграмм типа J в C как категорию функтора C ^J , и тогда диаграмма будет объектом в этой категории.

Примеры

• Для любого объекта A в C существует константная диаграмма , которая отображает все объекты из J в A и все морфизмы J в тождественный морфизм на A. В условном смысле для обозначения диаграммы констант часто используется подчеркивание: таким образом, для любого объекта в C имеется диаграмма констант . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\underline {A}}}$
• Если J — (маленькая) дискретная категория , то диаграмма типа J — это, по сути, просто индексированное семейство объектов в C (индексированное J ). При использовании при построении предела результатом является произведение ; для копредела получается копроизведение . Так, например, когда J — дискретная категория с двумя объектами, результирующий предел — это просто бинарное произведение.
• Если J = −1 ← 0 → +1, то диаграмма типа J ( A ← B → C ) является промежутком , а ее копредел — выталкиванием . Если бы кто-то «забыл», что на диаграмме есть объект B и две стрелки B → A , B → C , результирующая диаграмма была бы просто дискретной категорией с двумя объектами A и C , а копредел был бы просто двоичным числом. побочный продукт. Таким образом, этот пример показывает важный способ, которым идея диаграммы обобщает идею набора индексов в теории множеств: включая морфизмы B → A , B → C , можно обнаружить дополнительную структуру в конструкциях, построенных на основе диаграммы, структуру, которая не было бы очевидным, если бы у нас был только набор индексов без каких-либо связей между объектами в индексе.
• Двойственно вышесказанному, если J = −1 → 0 ← +1, то диаграмма типа J ( A → B ← C ) является коспаном , а ее пределом является обратный образ .
• Индекс называют «двумя параллельными морфизмами», иногда « свободным колчаном» или « ходячим колчаном» . Тогда диаграмма типа — это колчан ; его предел — эквалайзер , а его копредел — соэквалайзер . ${\displaystyle J=0\rightrightarrows 1}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (f,g\colon X\to Y)}$
• Если J — категория частично упорядоченных множеств , то диаграмма типа J — это семейство объектов D _i вместе с уникальным морфизмом f _ij  : D _i → D _j всякий раз, когда i ⩽ j . Если J направлена , то диаграмма типа J называется прямой системой объектов и морфизмов. Если диаграмма контравариантна , то она называется обратной системой .

Конусы и пределы

Конус с вершиной N диаграммы D  : J → C является морфизмом постоянной диаграммы ∆( N ) в D . Константная диаграмма — это диаграмма, которая переводит каждый объект J в объект N из C и каждый морфизм в тождественный морфизм на N .

Предел диаграммы D является универсальным конусом в D . То есть конус, через который однозначно учитываются все остальные конусы. Если предел существует в категории C для всех диаграмм типа J, то получается функтор

lim : CJ ^→ C

который отправляет каждую диаграмму к своему пределу.

Двойственным образом копредел диаграммы D является универсальным конусом из D . Если копредел существует для всех диаграмм типа J, то существует функтор

колим ^: CJ → C

который отправляет каждую диаграмму на свой копредел.

Коммутативные диаграммы

Диаграммы и категории функторов часто визуализируются с помощью коммутативных диаграмм , особенно если индексная категория представляет собой конечную частично упорядоченную категорию с небольшим количеством элементов: рисуется коммутативная диаграмма с узлом для каждого объекта в индексной категории и стрелкой для порождающего набора морфизмов. , опуская тождественные карты и морфизмы, которые могут быть выражены как композиции. Коммутативность соответствует уникальности отображения между двумя объектами в категории частичного множества. И наоборот, каждая коммутативная диаграмма таким образом представляет собой диаграмму (функтор из категории индекса ЧУМ).

Не каждая диаграмма коммутирует, поскольку не каждая индексная категория является частично упорядоченной категорией: проще всего, диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ) ${\displaystyle f\colon X\to X}$ или с двумя параллельными стрелками ( ; ) не обязательно коммутирует. Более того, диаграммы может быть невозможно нарисовать (поскольку они бесконечны) или просто беспорядочны (поскольку в них слишком много объектов или морфизмов); однако для пояснения таких сложных диаграмм используются схематические коммутативные диаграммы (для подкатегорий индексной категории или с эллипсами, например для направленной системы). ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$ ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$

Смотрите также

• Диагональный функтор
• Прямая система
• Обратная система

Рекомендации

1. Мак Лейн, Сондерс; Мурдейк, Ике (1992). Связки геометрии и логики — первое введение в теорию топоса . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 20–23. ISBN 9780387977102.
2. Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета. п. 16. ISBN 0-226-51183-9.

• Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6.Теперь доступно в виде бесплатного онлайн-издания (PDF, 4,2 МБ).
• Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002). Топосы, тройки и теории (PDF) . ISBN 0-387-96115-1.Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
• диаграмма в лаборатории n

Внешние ссылки

• Погоня за диаграммой в MathWorld
• WildCats — это пакет теории категорий для Mathematica . Манипулирование и визуализация объектов, морфизмов , коммутативных диаграмм, категорий, функторов , естественных преобразований .