Прямой продукт

Обобщение декартова произведения

В математике часто можно определить прямое произведение уже известных объектов, дающее новый. Это порождает структуру декартова произведения базовых множеств из структур вносящих элементов. Более абстрактно о продукте говорят в теории категорий , которая формализует эти понятия.

Примерами являются произведения множеств, групп (описанных ниже), колец и других алгебраических структур . Другой пример — произведение топологических пространств . ^{[ сомнительно ]}

Существует еще и прямая сумма – в некоторых сферах это взаимозаменяемо, а в других – это другое понятие.

Примеры

• Если мы думаем о наборе действительных чисел без дополнительной структуры, то прямое произведение — это просто декартово произведение. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}.}$
• Если мы думаем о группе действительных чисел при сложении, тогда прямое произведение по-прежнему имеет в своем основе множество. Разница между этим и предыдущим примером в том, что теперь это группа, и поэтому нам также нужно сказать, как добавлять ее элементы. Это делается путем определения ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d).}$
• Если мы думаем о кольце действительных чисел , то прямое произведение снова имеет в качестве основного множества. Кольцевая структура состоит из сложения, определяемого и умножения, определяемого ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(x,y):x,y\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$ ${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd).}$
• Хотя кольцо является полем , оно таковым не является, поскольку ненулевой элемент не имеет обратного мультипликативного элемента . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (1,0)}$

Аналогичным образом мы можем говорить, например, о прямом произведении конечного числа алгебраических структур. Это основано на том, что прямое произведение ассоциативно с точностью до изоморфизма . То есть для любых алгебраических структур и однотипных. Прямое произведение также коммутативно с точностью до изоморфизма, т. е. для любых алгебраических структур того же вида . Мы можем даже говорить о прямом произведении бесконечного числа алгебраических структур; например, мы можем взять прямой продукт счетного числа копий, который мы запишем как ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle (A\times B)\times C\cong A\times (B\times C)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\times B\cong B\times A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \dotsb .}$

Прямой продукт групп

В теории групп можно определить прямой продукт двух групп и обозначить его. Для абелевых групп , которые записываются аддитивно, его также можно назвать прямой суммой двух групп , обозначаемой ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ),}$ ${\displaystyle G\times H.}$ ${\displaystyle G\oplus H.}$

Оно определяется следующим образом:

• множество элементов новой группы является декартовым произведением множеств элементов этой группы . ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle \{(g,h):g\in G,h\in H\};}$
• над этими элементами поместите операцию, определенную поэлементно:
  $${\displaystyle (g,h)\times \left(g',h'\right)=\left(g\circ g',h\cdot h'\right)}$$

Обратите внимание, что это может быть то же самое, что и ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle (H,\cdot ).}$

Эта конструкция дает новую группу. Он имеет нормальную подгруппу , изоморфную (заданную элементами вида ), и одну изоморфную (содержащую элементы ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (g,1)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (1,h)}$

Обратное также справедливо. Существует следующая теорема о распознавании: если группа содержит две нормальные подгруппы такие, что и пересечение содержит только единицу, то изоморфно A. Ослабление этих условий, требующее, чтобы только одна подгруппа была нормальной, дает полупрямое произведение . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H,}$ ${\displaystyle K=GH}$ ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G\times H.}$

В качестве примера возьмем две копии единственной (с точностью до изоморфизмов) группы порядка 2, скажем , Тогда с операцией поэлементно. Например, и ${\displaystyle G{\text{ and }}H}$ ${\displaystyle C^{2}:}$ ${\displaystyle \{1,a\}{\text{ and }}\{1,b\}.}$ ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}=\{(1,1),(1,b),(a,1),(a,b)\},}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(a,1)=\left(1^{*}a,b^{*}1\right)=(a,b),}$ ${\displaystyle (1,b)^{*}(1,b)=\left(1,b^{2}\right)=(1,1).}$

Используя прямое произведение, мы бесплатно получаем некоторые естественные гомоморфизмы групп : отображения проекций, определяемые формулой

$${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}:G\times H\to G,\ \ \pi _{1}(g,h)&=g\\\pi _{2}:G\times H\to H,\ \ \pi _{2}(g,h)&=h\end{aligned}}}$$

координатными функциями

Кроме того, каждый гомоморфизм прямого произведения полностью определяется его компонентными функциями ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}=\pi _{i}\circ f.}$

Для любой группы и любого целого числа повторное применение прямого произведения дает группу всех кортежей ( ибо это тривиальная группа ), например и ${\displaystyle (G,\circ )}$ ${\displaystyle n\geq 0,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle G^{n}}$ ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Прямое произведение модулей

Прямое произведение для модулей (не путать с тензорным произведением ) очень похоже на то, которое определено для групп выше, с использованием декартова произведения с покомпонентной операцией сложения и скалярным умножением, просто распределяющим по всем компонентам. Начиная с, мы получаем евклидово пространство — прототип вещественного трехмерного векторного пространства. Прямой продукт и ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+n}.}$

Обратите внимание, что прямое произведение для конечного индекса канонически изоморфно прямой сумме. Прямая сумма и прямое произведение не изоморфны для бесконечных индексов, где элементы прямой суммы равны нулю для всех, кроме конечного числа элементов. Они двойственны в смысле теории категорий : прямая сумма — это совместное произведение , а прямой продукт — это произведение. ${\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\textstyle \bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}.}$

Например, рассмотрим бесконечное прямое произведение и прямую сумму действительных чисел. В число входят только последовательности с конечным числом ненулевых элементов. Например, есть , но нет. Обе эти последовательности находятся в прямом произведении и фактически являются собственным подмножеством (то есть ). ^{[1] [2]} ${\textstyle X=\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} }$ ${\textstyle Y=\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle (1,0,0,0,\ldots )}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (1,1,1,1,\ldots )}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\subset X}$

Прямое произведение топологического пространства

Прямое произведение набора топологических пространств для в некотором наборе индексов снова использует декартово произведение. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I,}$

$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}.}$$

Определить топологию немного сложнее. Для конечного числа факторов это очевидно и естественно: просто взять за основу открытых множеств совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств каждого фактора:

$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{U_{1}\times \cdots \times U_{n}\ :\ U_{i}\ \mathrm {open\ in} \ X_{i}\right\}.}$$

Эта топология называется топологией продукта . Например, непосредственно определяя топологию произведения на открытых множествах (непересекающихся объединений открытых интервалов), основу этой топологии составляли бы все непересекающиеся объединения открытых прямоугольников на плоскости (оно, как оказалось, совпадает с обычным метрическая топология). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Топология продукта для бесконечных продуктов имеет особенность, и это связано с возможностью сделать все карты проекций непрерывными и сделать все функции в продукте непрерывными тогда и только тогда, когда все его составляющие функции непрерывны (то есть, чтобы удовлетворять категориальное определение произведения: морфизмы здесь — непрерывные функции): за основу открытых множеств мы возьмем совокупность всех декартовых произведений открытых подмножеств из каждого фактора, как и раньше, с оговоркой, что все, кроме конечного числа открытые подмножества являются решающим фактором:

$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\ :\ (\exists j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{j_{i}}\ \mathrm {open\ in} \ X_{j_{i}})\ \mathrm {and} \ (\forall i\neq j_{1},\ldots ,j_{n})(U_{i}=X_{i})\right\}.}$$

В этом случае более естественной топологией было бы брать произведения бесконечного числа открытых подмножеств, как и раньше, и это действительно дает довольно интересную топологию - топологию ящика . Однако не так уж сложно найти пример группы непрерывных функций компонентов, функция произведения которых не является непрерывной (пример и многое другое см. в топологии отдельного поля ввода). Проблема, которая делает поворот необходимым, в конечном итоге коренится в том факте, что пересечение открытых множеств гарантированно будет открыто только для конечного числа множеств в определении топологии.

Продукты (с топологией продукта) хороши с точки зрения сохранения свойств своих факторов; например, произведение хаусдорфовых пространств есть Хаусдорф; произведение связных пространств связно, а произведение компактов компактно. Последняя, ​​называемая теоремой Тихонова , представляет собой еще одну эквивалентность аксиомы выбора .

Дополнительные сведения о свойствах и эквивалентных формулировках см. в топологии продукта отдельной записи .

Прямой продукт бинарных отношений

Декартово произведение двух множеств с бинарными отношениями определите как Если оба являются рефлексивными , иррефлексивными , транзитивными , симметричными или антисимметричными , то они также будут. ^[3] Аналогично, совокупность наследуется от свойств объединения, из чего следует, что это также применимо к предпорядку и отношению эквивалентности . Однако если отношения связаны , они не обязательно должны быть связаны; например, прямое произведение on само с собой не связано ${\displaystyle R{\text{ and }}S,}$ ${\displaystyle (a,b)T(c,d)}$ ${\displaystyle aRc{\text{ and }}bSd.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S.}$ ${\displaystyle R{\text{ and }}S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (1,2){\text{ and }}(2,1).}$

Прямое произведение в универсальной алгебре

Если — фиксированная сигнатура , — произвольное (возможно, бесконечное) индексное множество и — индексированное семейство алгебр , то прямым произведением является алгебра, определяемая следующим образом: ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\textstyle \mathbf {A} =\prod _{i\in I}\mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \Sigma }$

• Набор вселенных является декартовым произведением наборов вселенных формально : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{i},}$ ${\textstyle A=\prod _{i\in I}A_{i}.}$
• Для каждого и каждого -арного символа операции его интерпретация в определяется покомпонентно, формально: для всех и каждого -ый компонент определяется как ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \Sigma ,}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}\in A}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} }\!\left(a_{1},\dotsc ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle f^{\mathbf {A} _{i}}\!\left(a_{1}(i),\dotsc ,a_{n}(i)\right).}$

Для каждой i- й проекции определяется формула : Это сюръективный гомоморфизм между алгебрами ^[4] ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi _{i}:A\to A_{i}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(a)=a(i).}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} {\text{ and }}\mathbf {A} _{i}.}$

В качестве частного случая, если набор индексов получается прямое произведение двух алгебр , записанное как Если содержит только одну бинарную операцию, приведенное выше определение прямого произведения групп получается с использованием обозначений . Аналогично определение прямого произведения модули включены сюда. ${\displaystyle I=\{1,2\},}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbf {A} _{1}{\text{ and }}\mathbf {A} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} _{1}\times \mathbf {A} _{2}.}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle A_{1}=G,A_{2}=H,}$ ${\displaystyle f^{A_{1}}=\circ ,\ f^{A_{2}}=\cdot ,\ {\text{ and }}f^{A}=\times .}$

Категориальный продукт

Прямой продукт может быть отнесен к произвольной категории . В категории, для которой задан набор объектов, индексированных набором , продуктом этих объектов является объект вместе с морфизмами для всех , такой, что если есть какой-либо другой объект с морфизмами для всех , существует уникальный морфизм , состав которого равен для всех . каждый . Такие и не всегда существуют. Если они существуют, то единственна с точностью до изоморфизма и обозначается . ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{i}\colon B\to A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle B\to A}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (p_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle (A,(p_{i})_{i\in I})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$

В частном случае категории групп продукт всегда существует: базовый набор — это декартово произведение базовых наборов группы , групповая операция — это покомпонентное умножение, а (гомо)морфизм — это проекция, отправляющая каждый кортеж в его координата. ${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}\colon A\to A_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Внутренний и внешний прямой продукт

Некоторые авторы проводят различие между внутренним прямым продуктом и внешним прямым продуктом. Если и затем мы говорим, что это внутренний прямой продукт, а если не являются подобъектами, то мы говорим, что это внешний прямой продукт. ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\times B\cong X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$ ${\displaystyle A{\text{ and }}B}$

Смотрите также

• Прямая сумма  - операция в абстрактной алгебре, объединяющая объекты в «более сложные» объекты.
• Декартово произведение  - Математический набор, образованный из двух заданных наборов.
• Копродукт  – теоретико-категорное построение
• Бесплатный продукт  – Операция, объединяющая группы
• Полупрямое произведение  - Операция в теории групп
• Произведение Заппы – Шепа  – математическая концепцияPages displaying short descriptions of redirect targets
• Тензорное произведение графов  - Операция в теории графов
• Заказы на декартово произведение полностью упорядоченных множеств  - порядок, все элементы которого сопоставимы.

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Прямой продукт». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Прямой продукт группы». mathworld.wolfram.com . Проверено 10 февраля 2018 г.
3. «Эквивалентность и порядок» (PDF) .
4. Стэнли Н. Беррис и HP Санкаппанавар, 1981. Курс универсальной алгебры. Спрингер-Верлаг. ISBN 3-540-90578-2 . Здесь: Деф. 7.8, с. 53 (стр. 67 в PDF) 

Рекомендации

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-95385-4, МР  1878556