Побочный продукт

Категориально-теоретико-построение

В теории категорий копроизведение , или категориальная сумма , представляет собой конструкцию, которая включает в себя в качестве примеров несвязное объединение множеств и топологических пространств , свободное произведение групп и прямую сумму модулей и векторных пространств . Копроизведение семейства объектов по сути является «наименее определенным» объектом, к которому каждый объект в семействе допускает морфизм . Это категориально-теоретическое двойственное понятие к категориальному произведению , что означает , что определение такое же, как и у произведения, но со всеми перевернутыми стрелками . Несмотря на это, казалось бы, безобидное изменение в названии и обозначениях, копроизведения могут быть и, как правило, существенно отличаются от произведений в пределах данной категории.

Определение

Пусть будет категорией , а и будут объектами Объект называется копроизведением и пишется или или иногда просто, если существуют морфизмы и , удовлетворяющие следующему универсальному свойству : для любого объекта и любых морфизмов и существует единственный морфизм такой, что и То есть, следующая диаграмма коммутирует : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$ ${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$ ${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$ ${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$

Уникальная стрелка, делающая эту диаграмму коммутативной, может быть обозначена или Морфизмы и называются каноническими инъекциями , хотя они не обязательно должны быть инъекциями или даже моническими . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$ ${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$

Определение копроизведения может быть расширено до произвольного семейства объектов, индексированных множеством. Копроизведение семейства — это объект вместе с набором морфизмов , такой что для любого объекта и любого набора морфизмов существует единственный морфизм, такой что То есть, следующая диаграмма коммутативна для каждого : ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$ ${\displaystyle j\in J}$

Копродукт семейства часто обозначается или ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

Иногда морфизм может быть обозначен так , чтобы указать на его зависимость от отдельного s. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Примеры

Копроизведение в категории множеств — это просто несвязное объединение с отображениями i _j, являющимися отображениями включения . В отличие от прямых произведений , копроизведения в других категориях не все очевидным образом основаны на понятии множеств, поскольку объединения ведут себя не очень хорошо в отношении сохраняющих операций (например, объединение двух групп не обязательно должно быть группой), и поэтому копроизведения в разных категориях могут кардинально отличаться друг от друга. Например, копроизведение в категории групп , называемое свободным произведением , довольно сложно. С другой стороны, в категории абелевых групп (и в равной степени для векторных пространств ) копроизведение, называемое прямой суммой , состоит из элементов прямого произведения, которые имеют только конечное число ненулевых членов. (Таким образом, оно точно совпадает с прямым произведением в случае конечного числа множителей.)

Для коммутативного кольца R копроизведение в категории коммутативных R -алгебр является тензорным произведением . В категории (некоммутативных) R -алгебр копроизведение является фактором тензорной алгебры (см. свободное произведение ассоциативных алгебр ).

В случае топологических пространств копроизведения являются дизъюнктными объединениями с их топологиями дизъюнктного объединения . То есть, это дизъюнктное объединение базовых множеств, а открытые множества являются множествами , открытыми в каждом из пространств , в довольно очевидном смысле. В категории точечных пространств , фундаментальной в теории гомотопии , копроизведение является суммой клина (которая равна соединению набора пространств с базовыми точками в общей базовой точке).

Концепция несвязного объединения скрытно лежит в основе приведенных выше примеров: прямая сумма абелевых групп — это группа, порожденная «почти» несвязным объединением (несвязным объединением всех ненулевых элементов вместе с общим нулем), аналогично для векторных пространств: пространство, натянутое на «почти» несвязное объединение; свободное произведение для групп порождается множеством всех букв из подобного «почти» несвязного объединения, где никакие два элемента из разных множеств не могут коммутировать. Эта закономерность справедлива для любого многообразия в смысле универсальной алгебры .

Копроизведение в категории банаховых пространств с короткими отображениями — это сумма l 1 , которую нельзя так просто концептуализировать как «почти дизъюнктную» сумму, но которая имеет единичный шар, почти дизъюнктно порожденный единичным шаром — это кофакторы. ^[1]

Сопроизведение категории частично упорядоченных множеств — это операция соединения .

Обсуждение

Конструкция копроизведения, приведенная выше, на самом деле является частным случаем копредела в теории категорий. Копроизведение в категории может быть определено как копредел любого функтора из дискретной категории в . Не каждое семейство будет иметь копроизведение в общем случае, но если оно есть, то копроизведение является уникальным в сильном смысле: если и являются двумя копроизведениями семейства , то (по определению копроизведений) существует уникальный изоморфизм такой, что для каждого . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$ ${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$

Как и любое универсальное свойство , копроизведение можно понимать как универсальный морфизм. Пусть будет диагональным функтором , который сопоставляет каждому объекту упорядоченную пару и каждому морфизму пару . Тогда копроизведение в задается универсальным морфизмом к функтору из объекта в . ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X\right)}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \left(f,f\right)}$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$ ${\displaystyle C\times C}$

Копроизведение, индексированное пустым множеством (то есть пустое копроизведение ), совпадает с исходным объектом в . ${\displaystyle C}$

Если — множество такое, что существуют все копроизведения для семейств, индексированных с помощью , то можно выбрать продукты совместимым образом, так что копроизведение превратится в функтор . Копроизведение семейства затем часто обозначается как ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

и карты известны как естественные инъекции . ${\displaystyle i_{j}}$

Обозначив множество всех морфизмов из в в (то есть hom-множество в ), мы имеем естественный изоморфизм ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

заданный биекцией , которая отображает каждый кортеж морфизмов

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(произведение в Set , категории множеств , которое является декартовым произведением , поэтому это кортеж морфизмов) к морфизму

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

То, что это отображение является сюръекцией, следует из коммутативности диаграммы: любой морфизм является копроизведением кортежа ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

То, что это инъекция, следует из универсальной конструкции, которая обуславливает единственность таких отображений. Естественность изоморфизма также является следствием диаграммы. Таким образом, контравариантный hom-функтор изменяет копроизведения в произведения. Другими словами, hom-функтор, рассматриваемый как функтор из противоположной категории к Set , непрерывен; он сохраняет пределы (копроизведение в является произведением в ). ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

Если — конечное множество , скажем , то копроизведение объектов часто обозначается как . Предположим, что все конечные копроизведения существуют в C , функторы копроизведения были выбраны, как указано выше, а 0 обозначает начальный объект C , соответствующий пустому копроизведению. Тогда мы имеем естественные изоморфизмы ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

Эти свойства формально аналогичны свойствам коммутативного моноида ; категория с конечными копроизведениями является примером симметричной моноидальной категории .

Если категория имеет нулевой объект , то мы имеем уникальный морфизм (так как является конечным ) и, таким образом, морфизм . Так как является также начальным, мы имеем канонический изоморфизм, как в предыдущем абзаце. Таким образом, у нас есть морфизмы и , с помощью которых мы выводим канонический морфизм . Это может быть расширено индукцией до канонического морфизма из любого конечного копроизведения в соответствующее произведение. Этот морфизм в общем случае не обязательно должен быть изоморфизмом; в Grp это собственный эпиморфизм , в то время как в Set _* (категория точечных множеств ) это собственный мономорфизм . В любой предаддитивной категории этот морфизм является изоморфизмом, и соответствующий объект известен как бипроизведение . Категория со всеми конечными бипроизведениями известна как полуаддитивная категория . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$

Если все семейства объектов, индексированные по , имеют копроизведения в , то копроизведение содержит функтор . Обратите внимание, что, как и произведение, этот функтор является ковариантным . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

Смотрите также

• Продукт
• Пределы и копределы
• Соуравнитель
• Прямой предел

Ссылки

1. Qiaochu Yuan (23 июня 2012 г.). «Банаховы пространства (и метрики Ловера, и замкнутые категории)». Раздражающая точность .

• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающих математиков . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 5 (2nd ed.). New York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.

Внешние ссылки

• Интерактивная веб-страница, которая генерирует примеры копроизведений в категории конечных множеств. Автор: Джоселин Пейн.