Остроконечный набор

Базовая концепция теории множеств

В математике точечный набор [ ^{1] [2]} (также базовый набор ^[1] или корневой набор ^[3] ) представляет собой упорядоченную пару , где — набор , а — элемент, называемый базовой точкой ^[2] . ^{[4] :} 10–11 ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$

Отображения между точечными множествами и —называемые базовыми отображениями , ^[5] точечными отображениями , ^[4] или сохраняющими точку отображениями ^[6] — являются функциями из в , которые отображают одну базовую точку в другую, т.е. отображениями такими, что . Базовые отображения обычно обозначаются . ${\displaystyle (X,x_{0})}$ ${\displaystyle (Y,y_{0})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$ ${\textstyle f\colon (X,x_{0})\to (Y,y_{0})}$

Точечные множества являются очень простыми алгебраическими структурами . В смысле универсальной алгебры , точечное множество является множеством вместе с одной нулевой операцией ^[a], которая выбирает базовую точку. ^[7] Точечные отображения являются гомоморфизмами этих алгебраических структур. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle *:X^{0}\to X,}$

Класс всех отмеченных множеств вместе с классом всех базовых отображений образует категорию . Каждое отмеченное множество может быть преобразовано в обычное множество, забывая базовую точку ( функтор забывания является точным ), но обратное неверно. ^{[8] : 44} В частности, пустое множество не может быть отмечено, поскольку в нем нет элемента, который можно было бы выбрать в качестве базовой точки. ^[9]

Категориальные свойства

Категория точечных множеств и базовых отображений эквивалентна категории множеств и частичных функций . ^[6] Базовая точка служит «значением по умолчанию» для тех аргументов, для которых частичная функция не определена. В одном учебнике отмечается, что «Это формальное завершение множеств и частичных отображений путем добавления «несобственных», «бесконечных» элементов было изобретено много раз, в частности, в топологии ( одноточечная компактификация ) и в теоретической информатике ». ^[10] Эта категория также изоморфна категории кослайса ( ), где — (функтор, который выбирает) одноэлементное множество, и (тождественный функтор) категории множеств . ^{[8] : 46  [11]} Это совпадает с алгебраической характеристикой, поскольку уникальное отображение расширяет коммутативные треугольники , определяющие стрелки категории кослайса, для формирования коммутативных квадратов, определяющих гомоморфизмы алгебр. ${\displaystyle \mathbf {1} \downarrow \mathbf {Set} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} }$ ${\displaystyle \scriptstyle {\mathbf {Set} }}$ ${\displaystyle \mathbf {1} \to \mathbf {1} }$

Существует точный функтор из выделенных множеств в обычные множества, но он не является полным, и эти категории не эквивалентны . ^[8]

Категория точечных множеств является точечным категорией . Точные одноэлементные множества являются как начальными объектами, так и конечными объектами , ^[1] т.е. они являются нулевыми объектами . ^{[4] : 226} Категория точечных множеств и точечных отображений имеет как произведения , так и копроизведения , но она не является дистрибутивной категорией . Это также пример категории, где не изоморфно . ^[9] ${\displaystyle (\{a\},a)}$ ${\displaystyle 0\times A}$ ${\displaystyle 0}$

Приложения

Многие алгебраические структуры опираются на выделенную точку. Например, группы являются точечными множествами, выбирая единичный элемент в качестве базовой точки, так что групповые гомоморфизмы являются сохраняющими точки отображениями. ^{[12] : 24} Это наблюдение можно переформулировать в терминах теории категорий как существование забывающего функтора из групп в точечные множества. ^{[12] : 582}

Точечное множество можно рассматривать как точечное пространство в дискретной топологии или как векторное пространство над полем с одним элементом . ^[13]

Как «корневой набор» это понятие естественным образом появляется при изучении антиматроидов ^[3] и транспортных многогранников. ^[14]

Смотрите также

• Доступный точечный граф  – неориентированный граф, в котором одна вершина выделена как корень.Страницы, отображающие описания викиданных в качестве резерва
• Расширение Александрова  – Способ расширения некомпактного топологического пространства
• Сфера Римана  – Модель расширенной комплексной плоскости плюс точка на бесконечности

Примечания

1. Обозначение X ⁰ относится к нулевой декартовой степени множества X , которое представляет собой множество из одного элемента, содержащее пустой кортеж.

Ссылки

1. Mac Lane 1998.
2. Gregory Berhuy (2010). Введение в когомологии Галуа и их приложения . Серия заметок лекций Лондонского математического общества. Том 377. Cambridge University Press. стр. 34. ISBN 978-0-521-73866-8. Збл  1207.12003.
3. Корте, Бернхард ; Ловас, Ласло ; Шрейдер, Райнер (1991), Гридоиды , алгоритмы и комбинаторика, том. 4, Нью-Йорк, Берлин: Springer-Verlag , глава 3, ISBN. 3-540-18190-3, ЗБЛ  0733.05023
4. Джозеф Ротман (2008). Введение в гомологическую алгебру (2-е изд.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-68324-9.
5. Маундер, CRF (1996), Алгебраическая топология, Дувр, стр. 31, ISBN 978-0-486-69131-2.
6. Schröder 2001.
7. Saunders Mac Lane; Garrett Birkhoff (1999) [1988]. Алгебра (3-е изд.). American Mathematical Soc. стр. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2.
8. J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 января 2005 г.) Абстрактные и конкретные категории — Радость кошек
9. Lawvere & Schanuel 2009.
10. Нил Коблиц; Б. Зильбер; Ю. И. Манин (2009). Курс математической логики для математиков . Springer Science & Business Media. стр. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.
11. Франсис Борсе; Доминик Бурн (2004). Мальцев, Протомодулярные, гомологические и полуабелевы категории . Springer Science & Business Media. стр. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.
12. Paolo Aluffi (2009). Алгебра: Глава 0. Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4781-7.
13. Харан, М. Дж. Шай (2007), «Неаддитивная геометрия» (PDF) , Compositio Mathematica , 143 (3): 618–688, doi :10.1112/S0010437X06002624, MR  2330442. На стр. 622 Харан пишет: «Мы рассматриваем -векторные пространства как конечные множества с выделенным «нулевым» элементом...» ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle X}$
14. Клее, В.; Вицгалл, К. (1970) [1968]. «Грани и вершины транспортных многогранников». В книге Джорджа Бернарда Данцига (ред.). Математика наук о принятии решений. Часть 1. Американское математическое общество. ASIN  B0020145L2. OCLC  859802521.

Дальнейшее чтение

• Lawvere, F. W.; Schanuel, Stephen Hoel (2009). Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Cambridge University Press. стр. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.
• Mac Lane, Saunders (1998). Категории для работающего математика (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8. Збл  0906.18001.
• Шредер, Лутц (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Козловски, Юрген; Мелтон, Остин (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

Внешние ссылки

• Обратные пути в категории множеств и частичных функций
• Указано множество на PlanetMath .
• Заостренный предмет в лаборатории n