Эквивалентность категорий

Абстрактные математические отношения

В теории категорий , разделе абстрактной математики , эквивалентность категорий — это отношение между двумя категориями , которое устанавливает, что эти категории «по существу одинаковы». Существует множество примеров категориальной эквивалентности из многих областей математики. Установление эквивалентности предполагает демонстрацию сильного сходства между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут показаться несвязанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает это понятие довольно мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными типами математических структур, зная, что основной смысл этих теорем сохраняется. под перевод.

Если категория эквивалентна противоположности (или двойственности) другой категории, тогда говорят о двойственности категорий и говорят, что эти две категории дуально эквивалентны .

Эквивалентность категорий состоит из функтора между задействованными категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако, в отличие от ситуации, обычной для изоморфизмов в алгебраической ситуации, композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественно изоморфен своему образу в этой композиции. Таким образом, можно описать функторы как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно, существует концепция изоморфизма категорий , где требуется строгая форма обратного функтора, но она имеет гораздо меньше практического применения, чем концепция эквивалентности .

Определение

Формально, для данных двух категорий C и D эквивалентность категорий состоит из функтора F  : C → D , функтора G  : D → C и двух естественных изоморфизмов ε: FG → I _D и η : I _C → GF . Здесь FG : D → D и GF : C → C обозначают соответствующие композиции F и G , а I _C : C → C и I _D : D → D обозначают тождественные функторы на C и D , присваивающие каждому объекту и морфизму сам. Если F и G — контравариантные функторы, вместо этого говорят о двойственности категорий .

Зачастую не указываются все вышеперечисленные данные. Например, мы говорим, что категории C и D эквивалентны (соответственно дуально эквивалентны ), если между ними существует эквивалентность (соответственно двойственность). Более того, мы говорим, что F «есть» эквивалентность категорий, если существуют обратный функтор G и естественные изоморфизмы, описанные выше. Однако обратите внимание, что знания F обычно недостаточно для восстановления G и естественных изоморфизмов: вариантов может быть много (см. пример ниже).

Альтернативные характеристики

Функтор F  : C → D дает эквивалентность категорий тогда и только тогда, когда он одновременно:

• полное , т.е. _для любых двух объектов c1 и c2 из C отображение Hom _C ( c1 , c2 ₎ ​​→ Hom _D ( Fc1 _, Fc2 _{) ,} индуцированное F _, является сюръективным ;
• точным , т.е. _для любых двух объектов c1 и c2 из C отображение Hom _C ( c1 , c2 ₎ ​​→ Hom _D ( Fc1 _, Fc2 _{) ,} индуцированное F _, инъективно ; и
• по существу сюръективен ( плотен) , т.е. каждый объект d в D изоморфен объекту формы Fc для c в C. ^[1]

Это весьма полезный и часто применяемый критерий, поскольку не нужно явно конструировать «обратный» G и естественные изоморфизмы между FG , GF и тождественными функторами. С другой стороны, хотя вышеуказанные свойства гарантируют существование категориальной эквивалентности (при достаточно строгой версии аксиомы выбора в базовой теории множеств), недостающие данные не определены полностью, и часто существует много вариантов выбора. Рекомендуется по возможности явно указывать недостающие конструкции. В связи с этим обстоятельством функтор с такими свойствами иногда называют слабой эквивалентностью категорий . (К сожалению, это противоречит терминологии теории гомотопических типов .)

Существует также тесная связь с концепцией сопряженных функторов , где мы говорим, что это левый сопряженный к F , или, аналогично, G является правым сопряженным к F. Тогда C и D эквивалентны (как _{определено} выше, поскольку существуют естественные изоморфизмы из FG в ID и IC в GF ) _тогда и только тогда, когда и F , и G полны и точны. ${\displaystyle F\dashv G}$ ${\displaystyle F:C\rightarrow D}$ ${\displaystyle G:D\rightarrow C}$ ${\displaystyle F\dashv G}$

Когда сопряженные функторы не являются одновременно полными и точными, мы можем рассматривать их отношение сопряженности как выражение «более слабой формы эквивалентности» категорий. Если предположить, что естественные преобразования присоединений заданы, все эти формулировки позволяют явно построить необходимые данные и не требуют никаких принципов выбора. Ключевое свойство, которое здесь необходимо доказать, состоит в том, что контрединица присоединения является изоморфизмом тогда и только тогда, когда правый сопряженный является полным и точным функтором. ${\displaystyle F\dashv G}$

Примеры

• Рассмотрим категорию , имеющую один объект и один морфизм , и категорию с двумя объектами и четырьмя морфизмами: два тождественных морфизма и два изоморфизма и . Категории и эквивалентны; мы можем (например) иметь карту to и отображать как объекты to , так и все морфизмы в . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle d_{2}}$ ${\displaystyle 1_{d_{1}}}$ ${\displaystyle 1_{d_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$ ${\displaystyle \beta \colon d_{2}\to d_{1}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d_{1}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$
• Напротив, категория с одним объектом и одним морфизмом не эквивалентна категории с двумя объектами и только двумя тождественными морфизмами. Два объекта в не изоморфны , поскольку между ними нет морфизмов. Таким образом, любой функтор из до не будет существенно сюръективным. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle E}$
• Рассмотрим категорию с одним объектом и двумя морфизмами . Пусть – тождественный морфизм на и множество . Разумеется, эквивалентно самому себе, что можно показать, заменив требуемые естественные изоморфизмы между функтором и самим собой. Однако верно также и то, что возникает естественный изоморфизм из самого себя. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все же можно выбирать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f\circ f=1}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 1_{c}}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$
• Категория множеств и частичных функций эквивалентна, но не изоморфна категории точечных множеств и отображений, сохраняющих точку. ^[2]
• Рассмотрим категорию конечномерных вещественных векторных пространств и категорию всех вещественных матриц (последняя категория объяснена в статье об аддитивных категориях ). Тогда и эквивалентны: функтор , который отображает объект в векторное пространство, а матрицы в соответствующие линейные отображения, является полным, точным и по существу сюръективным. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle G\colon D\to C}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D}$
• Одна из центральных тем алгебраической геометрии — двойственность категории аффинных схем и категории коммутативных колец . Функтор сопоставляет каждому коммутативному кольцу его спектр — схему, определяемую простыми идеалами кольца. Его сопряженный элемент сопоставляет каждой аффинной схеме свое кольцо глобальных сечений. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$
• В функциональном анализе категория коммутативных С*-алгебр с единицей контравариантно эквивалентна категории бикомпактов . При этой двойственности каждому бикомпакту сопоставляется алгебра непрерывных комплекснозначных функций на , а всякой коммутативной С*-алгебре соответствует пространство ее максимальных идеалов . Это представление Гельфанда . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• В теории решеток существует ряд двойственностей, основанных на теоремах о представлении , которые связывают определенные классы решеток с классами топологических пространств . Вероятно, наиболее известной теоремой такого рода является теорема Стоуна о представлении булевых алгебр , которая является частным случаем в общей схеме двойственности Стоуна . Каждая булева алгебра отображается в определенную топологию на множестве ультрафильтров . И наоборот, для любой топологии открыто-открытые (т.е. замкнутые и открытые) подмножества дают булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и пространствами Стоуна (с непрерывными отображениями). Другой случай двойственности Стоуна - это теорема о представлении Биркгофа, утверждающая двойственность между конечными частичными порядками и конечными дистрибутивными решетками. ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$
• В бессмысленной топологии категория пространственных локалей, как известно, эквивалентна двойственной категории трезвых пространств.
• Для двух колец R и S категория произведения R - Mod × S - Mod эквивалентна ( R × S ) -Mod . ^{[ нужна цитата ]}
• Любая категория эквивалентна своему скелету .

Характеристики

Как правило, эквивалентность категорий сохраняет все «категоричные» понятия и свойства. Если F  : C → D является эквивалентностью, то все следующие утверждения верны:

• объект c из C является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ), тогда и только тогда, когда Fc является начальным объектом (или конечным объектом , или нулевым объектом ) из D
• морфизм α в C является мономорфизмом (или эпиморфизмом , или изоморфизмом ), тогда и только тогда, когда Fα — мономорфизм (или эпиморфизм, или изоморфизм) в D .
• функтор H  : I → C имеет предел (или копредел) l тогда и только тогда, когда функтор FH  : I → D имеет предел (или копредел) Fl . Это может быть применено, среди прочего, к эквалайзерам , продуктам и сопутствующим продуктам. Применяя его к ядрам и коядрам , мы видим, что эквивалентность F является точным функтором .
• C является декартовой замкнутой категорией (или топосом ) тогда и только тогда, когда D является декартово замкнутой (или топосом).

Дуальности «переворачивают все понятия»: они превращают исходные объекты в терминальные объекты, мономорфизмы в эпиморфизмы, ядра в коядра, пределы в копределы и т. д.

Если F  : C → D — эквивалентность категорий, а G ₁ и G ₂ — две обратные категории F , то G ₁ и G ₂ естественно изоморфны.

Если F  : C → D — эквивалентность категорий, и если C — преаддитивная категория (или аддитивная категория , или абелева категория ), то D можно превратить в предаддитивную категорию (или аддитивную категорию, или абелеву категорию) в таком способ, которым F становится аддитивным функтором . С другой стороны, любая эквивалентность между аддитивными категориями обязательно аддитивна. (Обратите внимание, что последнее утверждение неверно для эквивалентностей между предаддитивными категориями.)

Автоэквивалентностью категории C называется эквивалентность F  : C → C . Автоэквивалентности C образуют группу композиции, если мы считаем две автоэквивалентности, которые естественно изоморфны, идентичными. Эта группа отражает основные «симметрии » C. (Одно предостережение: если C не является маленькой категорией, то автоэквивалентности C могут образовывать собственный класс , а не множество .)

Смотрите также

• Эквивалентные определения математических структур

Рекомендации

1. Мак Лейн (1998), Теорема IV.4.1
2. Лутц Шредер (2001). «Категории: бесплатная экскурсия». В Юргене Козловски и Остине Мелтоне (ред.). Категориальные перспективы . Springer Science & Business Media. п. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

• эквивалентность категорий в n Lab
• «Эквивалентность категорий», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Нью-Йорк: Спрингер. стр. xii+314. ISBN 0-387-98403-8.