Специальные объекты, используемые в (математической) теории категорий
В теории категорий , разделе математики , исходным объектом категории C является объект I в C такой, что для каждого объекта X в C существует ровно один морфизм I → X.
Двойственное понятие — это понятие терминального объекта (также называемого терминальным элементом ): T терминально, если для каждого объекта X в C существует ровно один морфизм X → T. Начальные объекты также называются котерминальными или универсальными , а терминальные объекты также называются конечными .
Если объект является одновременно начальным и конечным, он называется нулевым объектом или нулевым объектом . Заостренная категория — это категория с нулевым объектом.
Пустой набор — это уникальный исходный объект в Set , категории множеств . Каждый набор из одного элемента ( singleton ) является терминальным объектом в этой категории; нулевых объектов нет. Точно так же пустое пространство является уникальным начальным объектом в Top , категории топологических пространств , и каждое одноточечное пространство является конечным объектом в этой категории.
В категории множеств и отношений Rel пустое множество является уникальным начальным объектом, уникальным терминальным объектом и, следовательно, уникальным нулевым объектом.
Морфизмы точечных множеств. Изображение также применимо к объектам алгебраического нуля.
В категории заостренных множеств (объекты которых представляют собой непустые множества вместе с выделенным элементом; морфизм от ( A , a ) до ( B , b ) является функцией f : A → B с f ( a ) = b ) , каждый синглтон является нулевым объектом. Аналогично, в категории точечных топологических пространств каждый синглтон является нулевым объектом.
В Ring , категории колец с единицей и морфизмами, сохраняющими единицу, кольцо целых чисел Z является исходным объектом. Нулевое кольцо , состоящее только из одного элемента 0 = 1, является терминальным объектом.
В Rig — категории оснасток с единицей и морфизмами, сохраняющими единицу, — оснастка натуральных чисел N является исходным объектом. Нулевая установка, представляющая собой нулевое кольцо , состоящее только из одного элемента 0 = 1, является терминальным объектом.
В категории полей Field нет начальных или конечных объектов. Однако в подкатегории полей фиксированной характеристики исходным объектом является простое поле .
Cat , категория малых категорий с функторами в качестве морфизмов, имеет пустую категорию 0 (без объектов и морфизмов) в качестве начального объекта и терминальную категорию 1 (с одним объектом с одним тождественным морфизмом) в качестве терминального объекта. .
В категории схем Spec( Z ), простой спектр кольца целых чисел, является терминальным объектом. Пустая схема (равная простому спектру нулевого кольца ) является исходным объектом.
Предел диаграммы F можно охарактеризовать как конечный объект в категории конусов к F . Аналогично, копредел F может быть охарактеризован как исходный объект в категории коконусов из F .
В категории цепных комплексов Ch R над коммутативным кольцом R нулевой комплекс является нулевым объектом.
Начальные и конечные объекты не обязаны существовать в данной категории. Однако если они и существуют, то по сути уникальны. А именно, если I 1 и I 2 — два разных исходных объекта, то между ними существует единственный изоморфизм . Более того, если I — исходный объект, то любой объект, изоморфный I, также является исходным объектом. То же самое справедливо и для терминальных объектов.
Для полных категорий существует теорема существования исходных объектов. В частности, ( локально малая ) полная категория C имеет исходный объект тогда и только тогда, когда существует множество I ( не собственный класс ) и I - индексированное семейство ( K i ) объектов C такое, что для любого объекта X из C существует хотя бы один морфизм K i → X для некоторого i ∈ I.
Эквивалентные составы
Терминальные объекты в категории C также могут быть определены как пределы уникальной пустой диаграммы 0 → C. Поскольку пустая категория по сути является дискретной категорией , терминальный объект можно рассматривать как пустой продукт (в общем, продукт действительно является пределом дискретной диаграммы { X i } ). Двойственно, исходный объект является копределом пустой диаграммы 0 → C и может рассматриваться как пустое копроизведение или категориальная сумма.
Отсюда следует, что любой функтор , сохраняющий пределы, преобразует терминальные объекты в терминальные объекты, а любой функтор, сохраняющий копределы, переводит исходные объекты в исходные объекты. Например, исходным объектом в любой конкретной категории со свободными объектами будет свободный объект, порожденный пустым множеством (поскольку свободный функтор , оставаясь присоединенным к забывчивому функтору Set , сохраняет копределы).
Начальные и конечные объекты также могут быть охарактеризованы с точки зрения универсальных свойств и сопряженных функторов . Пусть 1 — дискретная категория с одним объектом (обозначается символом •), и пусть U : C → 1 — единственный (постоянный) функтор для 1 . Затем
Исходный объект I в C является универсальным морфизмом из • в U . Функтор, который отправляет • в I , остается сопряженным с U.
Терминальный объект T в C является универсальным морфизмом из U в •. Функтор, который переводит • в T , сопряжен справа с U.
Связь с другими категориальными конструкциями
Многие естественные конструкции в теории категорий можно сформулировать в терминах нахождения начального или конечного объекта в подходящей категории.
Универсальный морфизм объекта X в функтор U можно определить как исходный объект в категории запятой ( X ↓ U ) . Двойственным образом универсальный морфизм из U в X является терминальным объектом в ( U ↓ X ) .
Предел диаграммы F — это конечный объект в Cone ( F ) , категории конусов F. Двойственным образом копредел F является исходным объектом в категории конусов из F .
Понятие финального функтора (соответственно исходного функтора) является обобщением понятия конечного объекта (соответственно исходного объекта).
Другие объекты недвижимости
Моноид эндоморфизма начального или конечного объекта I тривиален: End( I ) = Hom( I , I ) = { id I } .
Если категория C имеет нулевой объект 0 , то для любой пары объектов X и Y в C единственная композиция X → 0 → Y является нулевым морфизмом из X в Y.
Рекомендации
Адамек, Иржи; Херрлих, Хорст; Стрекер, Джордж Э. (1990). Абстрактные и конкретные категории. Кошачья радость (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6. Збл 0695.18001. Архивировано из оригинала (PDF) 21 апреля 2015 г. Проверено 15 января 2008 г.
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7. Збл 1034.18001.
