В математике пустая сумма , или нулевая сумма , [1] — это суммирование , где число членов равно нулю. Естественный способ расширить непустые суммы [2] — позволить пустой сумме быть аддитивным тождеством .
Пусть , , , ... — последовательность чисел, и пусть
быть суммой первых m членов последовательности. Это удовлетворяет рекуррентному соотношению
при условии, что мы используем следующее естественное соглашение: . Другими словами, «сумма» только с одним членом оценивается как этот один член, в то время как «сумма» без членов оценивается как 0. Разрешение «суммы» только с 1 или 0 членами уменьшает количество случаев, которые следует рассматривать во многих математических формулах. Такие «суммы» являются естественными отправными точками в доказательствах индукции , а также в алгоритмах. По этим причинам расширение «пустая сумма равна нулю» является стандартной практикой в математике и компьютерном программировании (предполагая, что область имеет нулевой элемент ). По той же причине пустое произведение принимается за мультипликативное тождество .
Для сумм других объектов (таких как векторы , матрицы , многочлены ) значение пустой суммы принимается равным ее аддитивному тождеству .
В линейной алгебре базис векторного пространства V — это линейно независимое подмножество B , такое что каждый элемент V является линейной комбинацией B. Соглашение о пустой сумме позволяет нульмерному векторному пространству V = {0} иметь базис, а именно пустое множество.
