В теории категорий , разделе математики , абстрактное понятие предела отражает существенные свойства универсальных конструкций, таких как произведения , обратные ограничения и обратные пределы . Двойственное понятие копредела обобщает такие конструкции, как непересекающиеся объединения , прямые суммы , копроизведения , выталкивания и прямые пределы .
Пределы и копределы, как и сильно связанные понятия универсальных свойств и сопряженных функторов , существуют на высоком уровне абстракции. Чтобы понять их, полезно сначала изучить конкретные примеры, которые эти концепции призваны обобщить.
Пределы и копределы в категории определяются с помощью диаграмм в . Формально диаграмма формы представляет собой функтор от до :
Категория считается индексной категорией , а диаграмма — индексацией набора объектов и морфизмов, построенных по образцу .
Чаще всего интересует случай, когда категория является малой или даже конечной категорией. Диаграмма называется маленькой или конечной, когда бы она ни была.
Пусть это диаграмма формы в категории . Конус to является объектом вместе с семейством морфизмов, индексированных объектами , так что для каждого морфизма в мы имеем .
Пределом диаграммы является конус к такой , что для каждого конуса существует единственный морфизм такой , что для всех в .
Говорят, что конус факторизуется через конус с единственной факторизацией . Морфизм иногда называют опосредующим морфизмом .
Пределы также называют универсальными конусами , поскольку они характеризуются универсальным свойством (подробнее см. ниже). Как и любое универсальное свойство, приведенное выше определение описывает сбалансированное состояние общности: предельный объект должен быть достаточно общим, чтобы позволить любому конусу проходить через него; с другой стороны, должно быть достаточно конкретным, чтобы для каждого конуса была возможна только одна такая факторизация.
Пределы также можно охарактеризовать как конечные объекты в категории конусов F .
Возможно, что диаграмма вообще не имеет предела. Однако если диаграмма имеет предел, то этот предел по существу единственен: он уникален с точностью до единственного изоморфизма . По этой причине часто говорят о пределе F.
Двойственные понятия пределов и конусов — это копределы и коконусы. Хотя их определения легко получить путем обращения всех морфизмов в приведенных выше определениях, мы явно сформулируем их здесь:
Коконус диаграммы — это объект вместе с семейством морфизмов .
для каждого объекта из , так что для каждого морфизма в мы имеем .
Копредел диаграммы — это коконус такой , что для любого другого коконуса диаграммы существует единственный морфизм такой, что для всех из .
Копределы также называют универсальными коконусами . Их можно охарактеризовать как исходные объекты в категории коконусов из .
Как и в случае с пределами, если диаграмма имеет копредел, то этот копредел уникален с точностью до единственного изоморфизма.
Пределы и копределы также можно определить для наборов объектов и морфизмов без использования диаграмм. Определения те же самые (обратите внимание, что в приведенных выше определениях нам никогда не приходилось использовать композицию морфизмов в ). Однако этот вариант не добавляет никакой новой информации. Любой набор объектов и морфизмов определяет (возможно, большой) ориентированный граф . Если мы позволим быть свободной категорией, порожденной , то существует универсальная диаграмма , образ которой содержит . Предел (или копредел) этой диаграммы такой же, как предел (или копредел) исходного набора объектов и морфизмов.
Слабый предел и слабые копределы определяются так же, как пределы и копределы, за исключением того, что свойство уникальности опосредующего морфизма отбрасывается.
Определение пределов является достаточно общим, чтобы включить в него несколько конструкций, полезных в практических условиях. Далее мы рассмотрим предел ( L , φ ) диаграммы F : J → C.
Примеры копределов представлены двойными версиями приведенных выше примеров:
Данная диаграмма F : J → C может иметь или не иметь предел (или копредел) в C . Действительно, у F может вообще не существовать конуса , не говоря уже об универсальном конусе.
Говорят, что категория C имеет пределы формы J , если каждая диаграмма формы J имеет предел в C. В частности, говорят, что категория C
Полная категория — это категория, которая имеет все малые пределы (т.е. все пределы формы J для каждой малой категории J ).
Можно также дать двойственные определения. Категория имеет копредел формы J , если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C. Кополная категория — это категория, которая имеет все малые копределы.
Теорема существования пределов утверждает , что если категория C имеет эквалайзеры и все произведения индексированы классами Ob( J ) и Hom( J ), то C имеет все пределы формы J. [1] : §V.2 Теор.1 В этом случае предел диаграммы F : J → C можно построить как эквалайзер двух морфизмов [1] : §V.2 Теор.2
задано (в компонентной форме)
Существует двойственная теорема существования копределов в терминах коэквалайзеров и копроизведений. Обе эти теоремы дают достаточные и необходимые условия существования всех (ко)пределов формы J.
Пределы и копределы — важные частные случаи универсальных конструкций .
Пусть C — категория, а J — категория малого индекса. Категорию функтора CJ можно рассматривать как категорию всех диаграмм формы J в C. Диагональный функтор
— это функтор, который отображает каждый объект N в C в постоянный функтор Δ( N ) : J → C в N . То есть Δ( N )( X ) = N для каждого объекта X в J и Δ( N )( f ) = id N для каждого морфизма f в J .
Учитывая диаграмму F : J → C (мыслимую как объект в C J ), естественное преобразование ψ : ∆( N ) → F (которое является просто морфизмом в категории C J ) — это то же самое, что конус из от Н до Ф. Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что ∆( N )( X ) = N для всех X подразумевает, что компоненты ψ являются морфизмами ψ X : N → F ( X ), которые все имеют общую область определения N . Более того, требование коммутации диаграмм конуса справедливо просто потому, что это ψ является естественным преобразованием. (Двойственным образом естественное преобразование ψ : F → Δ( N ) — это то же самое, что коконус из F в N .)
Следовательно, определения пределов и копределов можно затем переформулировать в виде:
Как и все универсальные конструкции, образование пределов и копределов носит функториальный характер. Другими словами, если каждая диаграмма формы J имеет предел в C (при малом J ), то существует предельный функтор
которое ставит в соответствие каждой диаграмме ее предел и каждому естественному преобразованию η : F → G единственный морфизм lim η : lim F → lim G , коммутирующий с соответствующими универсальными конусами. Этот функтор правосопряжён к диагональному функтору ∆ : C → CJ . Это дополнение дает биекцию между множеством всех морфизмов от N до lim F и множеством всех конусов от N до F.
что естественно в переменных N и F . Единицей этого присоединения является просто универсальный конус от lim F до F . Если индексная категория J связна (и непуста), то единица присоединения является изоморфизмом, так что lim — левая обратная к ∆ . Это не удастся, если J не подключен. Например, если J — дискретная категория, компонентами единицы являются диагональные морфизмы δ : N → N J .
Двойственно, если каждая диаграмма формы J имеет копредел в C (для J малого), существует копредельный функтор
который присваивает каждой диаграмме свой копредел. Этот функтор сопряжен слева с диагональным функтором ∆: C → CJ и имеет естественный изоморфизм
Единицей этого присоединения является универсальный кокон от F до colim F. Если J связен (и непуст), то единица является изоморфизмом, так что colim является левым обратным числом ∆.
Обратите внимание, что как предельный, так и копредельный функторы являются ковариантными функторами.
Можно использовать функторы Hom, чтобы связать пределы и копределы в категории C с пределами в Set , категории множеств . Частично это следует из того факта, что ковариантный функтор Hom Hom( N , –) : C → Set сохраняет все пределы в C . В силу двойственности контравариантный функтор Hom должен доводить копределы до пределов.
Если диаграмма F : J → C имеет предел в C , обозначаемый lim F , существует канонический изоморфизм
что естественно по переменной N. Здесь функтор Hom( N , F –) представляет собой композицию функтора Hom Hom( N , –) с F . Этот изоморфизм является единственным, соблюдающим предельные конусы.
Можно использовать приведенное выше соотношение , чтобы определить предел F в C. Первый шаг — заметить, что предел функтора Hom( N , F –) можно отождествить с множеством всех конусов от N до F :
Предельный конус задается семейством отображений π X : Cone( N , F ) → Hom( N , FX ), где π X ( ψ ) = ψ X . Если дан объект L из C вместе с естественным изоморфизмом Φ : Hom( L , –) → Cone(–, F ), объект L будет пределом F с предельным конусом, заданным Φ L (id L ). На причудливом языке это означает, что предел F является представлением функтора Cone(–, F ) : C → Set .
Двойственно, если диаграмма F : J → C имеет копредел в C , обозначаемый colim F , существует единственный канонический изоморфизм
естественное по переменной N и учитывающее копредельные конусы. Отождествляя предел Hom( F –, N ) с множеством Cocone( F , N ), это соотношение можно использовать для определения копредела диаграммы F как представления функтора Cocone( F , –).
Пусть I — конечная категория, а J — небольшая фильтрованная категория . Для любого бифунктора
существует естественный изоморфизм
Другими словами, отфильтрованные копределы в Set коммутируют с конечными пределами. Также считается, что малые копределы коммутируют с малыми пределами. [2]
Если F : J → C — диаграмма в C и G : C → D — функтор , то методом композиции (напомним, что диаграмма — это всего лишь функтор) получается диаграмма GF : J → D. Тогда возникает естественный вопрос:
Функтор G : C → D индуцирует отображение из Cone( F ) в Cone( GF ): если Ψ — конус из N в F , то GΨ — конус из GN в GF . Говорят, что функтор G сохраняет пределы F , если ( GL , Gφ ) является пределом GF , если ( L , φ ) является пределом F. (Обратите внимание, что если предел F не существует, то G бессмысленно сохраняет пределы F .)
Говорят, что функтор G сохраняет все пределы формы J , если он сохраняет пределы всех диаграмм F : J → C . Например, можно сказать, что G сохраняет произведения, выравниватели, обратные преобразования и т. д. Непрерывный функтор — это тот, который сохраняет все малые пределы.
Аналогичные определения можно дать и для копределов. Например, функтор G сохраняет копределы F , если G ( L , φ ) является копределом GF , когда ( L , φ ) является копределом F. Конепрерывный функтор — это тот, который сохраняет все малые копределы.
Если C — полная категория , то по приведенной выше теореме существования пределов функтор G : C → D непрерывен тогда и только тогда, когда он сохраняет (малые) произведения и эквалайзеры. Дуально группа G конепрерывна тогда и только тогда, когда она сохраняет (малые) копроизведения и коэквалайзеры.
Важным свойством сопряженных функторов является то, что каждый сопряженный справа функтор непрерывен, а каждый сопряженный слева функтор конепрерывен. Поскольку сопряженных функторов существует множество, это дает многочисленные примеры непрерывных и конепрерывных функторов.
Для данной диаграммы F : J → C и функтора G : C → D , если и F , и GF имеют указанные пределы, существует единственный канонический морфизм.
которое соблюдает соответствующие предельные конусы. Функтор G сохраняет пределы F тогда и только тогда, когда это отображение является изоморфизмом. Если категории C и D имеют все пределы формы J , то lim — функтор, а морфизмы τ F образуют компоненты естественного преобразования
Функтор G сохраняет все пределы формы J тогда и только тогда, когда τ — естественный изоморфизм. В этом смысле можно сказать , что функтор G коммутирует с пределами ( с точностью до канонического естественного изоморфизма).
Сохранение пределов и копределов — это концепция, применимая только к ковариантным функторам. Для контравариантных функторов соответствующими понятиями будут функторы, переводящие копределы в пределы, или функторы, переводящие пределы в копределы.
Говорят, что функтор G : C → D снимает пределы диаграммы F : J → C , если всякий раз, когда ( L , φ ) является пределом GF , существует предел ( L ′, φ ′) диаграммы F такой, что G ( L ′, φ ′) знак равно ( L , φ ). Функтор G снимает пределы формы J , если он снимает пределы для всех диаграмм формы J. Поэтому можно говорить о подъеме произведений, уравнителях, откатах и т. д. Наконец, говорят, что G снимает ограничения , если оно снимает все ограничения. Существуют двойственные определения снятия копределов.
Функтор G однозначно снимает пределы для диаграммы F , если существует единственный конус прообраза ( L ′, φ ′) такой, что ( L ′, φ ′) является пределом F и G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ). Можно показать, что G снимает ограничения однозначно тогда и только тогда, когда он снимает ограничения и является амнезиаком .
Снятие ограничений явно связано с сохранением ограничений. Если G снимает ограничения для диаграммы F и GF имеет предел, то F также имеет предел, и G сохраняет пределы F . Следует, что:
Двойственные утверждения для копределов одинаково верны.
Пусть F : J → C — диаграмма. Говорят, что функтор G : C → D
Двойственно можно определить создание и отражение копределов.
Следующие утверждения, как легко видеть, эквивалентны:
Существуют примеры функторов, которые однозначно снимают пределы, но не создают и не отражают их.
В старой терминологии пределы назывались «обратными пределами» или «проективными пределами», а копределы - «прямыми пределами» или «индуктивными пределами». Это стало источником большой путаницы.
Есть несколько способов запомнить современную терминологию. Прежде всего,
являются типами копределов, тогда как
это виды лимитов. Во-вторых, префикс «co» подразумевает «первую переменную «. Такие термины, как «когомологии» и «кофибрация», имеют несколько более сильную связь с первой переменной, то есть контравариантной переменной, бифунктора .