Бесплатный продукт

Операция, объединяющая группы

В математике , в частности в теории групп , свободное произведение — это операция, которая берет две группы G и H и создает новую группу G ∗ H. Результат содержит как G , так и H в качестве подгрупп , порождается элементами этих подгрупп и является « универсальной » группой, обладающей этими свойствами, в том смысле, что любые два гомоморфизма из G и H в группу K однозначно пропускаются через гомоморфизм из G ∗ H в K. Если только одна из групп G и H не тривиальна, свободное произведение всегда бесконечно. Построение свободного произведения по духу похоже на построение свободной группы (универсальной группы с заданным набором образующих).

Свободное произведение является копроизведением в категории групп . То есть, свободное произведение играет ту же роль в теории групп, которую несвязное объединение играет в теории множеств , или которую прямая сумма играет в теории модулей . Даже если группы коммутативны, их свободное произведение не является таковым, если только одна из двух групп не является тривиальной группой . Следовательно, свободное произведение не является копроизведением в категории абелевых групп .

Свободное произведение важно в алгебраической топологии из-за теоремы ван Кампена , которая утверждает, что фундаментальная группа объединения двух линейно связных топологических пространств , пересечение которых также линейно связно, всегда является объединенным свободным произведением фундаментальных групп пространств. В частности, фундаментальная группа клиновой суммы двух пространств (т. е. пространства, полученного путем соединения двух пространств в одной точке) является, при определенных условиях, указанных в теореме Зейферта ван Кампена, свободным произведением фундаментальных групп пространств.

Свободные произведения также важны в теории Басса–Серра , изучении групп , действующих автоморфизмами на деревьях . В частности, любая группа, действующая с конечными стабилизаторами вершин на дереве, может быть построена из конечных групп с использованием объединенных свободных произведений и расширений HNN . Используя действие модулярной группы на определенном разбиении гиперболической плоскости , из этой теории следует, что модулярная группа изоморфна свободному произведению циклических групп порядков 4 и 6, объединенных над циклической группой порядка 2.

Строительство

Если G и H — группы, то слово на G и H — это последовательность вида

${\displaystyle s_{1}s_{2}\cdots s_{n},}$

где каждый s _i является либо элементом G , либо элементом H. Такое слово может быть сокращено с помощью следующих операций:

• Удалить экземпляр элемента идентичности ( G или H ).
• Замените пару вида g ₁ g ₂ ее произведением в G или пару h ₁ h ₂ ее произведением в H .

Каждое сокращенное слово либо является пустой последовательностью, либо содержит ровно один элемент G или H , либо является чередующейся последовательностью элементов G и элементов H , например

${\displaystyle g_{1}h_{1}g_{2}h_{2}\cdots g_{k}h_{k}.}$

Свободное произведение G ∗ H — это группа, элементами которой являются приведенные слова в G и H , подвергнутые операции конкатенации с последующей редукцией.

Например, если G — бесконечная циклическая группа , а H — бесконечная циклическая группа , то каждый элемент G ∗ H является знакопеременным произведением степеней x на степени y . В этом случае G ∗ H изоморфна свободной группе, порожденной x и y . ${\displaystyle \langle x\rangle }$ ${\displaystyle \langle y\rangle }$

Презентация

Предположим, что

${\displaystyle G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle }$

является представлением для G (где S _G — набор генераторов, а R _G — набор отношений), и предположим, что

${\displaystyle H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle }$

является представлением для H. Тогда

${\displaystyle G*H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\rangle .}$

То есть, G ∗ H генерируется генераторами для G вместе с генераторами для H , с отношениями, состоящими из отношений из G вместе с отношениями из H (предположим, что здесь нет никаких конфликтов обозначений, так что это фактически непересекающиеся объединения ).

Примеры

Например, предположим, что G — циклическая группа порядка 4,

${\displaystyle G=\langle x\mid x^{4}=1\rangle ,}$

и H — циклическая группа порядка 5

${\displaystyle H=\langle y\mid y^{5}=1\rangle .}$

Тогда G ∗ H — бесконечная группа

${\displaystyle G*H=\langle x,y\mid x^{4}=y^{5}=1\rangle .}$

Поскольку в свободной группе нет отношений, свободное произведение свободных групп всегда является свободной группой. В частности,

${\displaystyle F_{m}*F_{n}\cong F_{m+n},}$

где F _n обозначает свободную группу с n образующими.

Другим примером является модулярная группа . Она изоморфна свободному произведению двух циклических групп: ^[1] ${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )}$

${\displaystyle PSL_{2}(\mathbf {Z} )\cong (\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} )\ast (\mathbf {Z} /3\mathbf {Z} ).}$

Обобщение: Бесплатный продукт с объединением

Более общая конструкция свободного произведения с объединением соответственно является особым видом pushout в той же категории . Предположим, что и заданы как и прежде, вместе с мономорфизмами (т.е. инъективными групповыми гомоморфизмами ): ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \varphi :F\rightarrow G\ \,}$и ${\displaystyle \ \,\psi :F\rightarrow H,}$

где некоторая произвольная группа. Начнем со свободного произведения и присоединим как отношения ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G*H}$

${\displaystyle \varphi (f)\psi (f)^{-1}=1}$

для каждого в . Другими словами, возьмем наименьшую нормальную подгруппу из , содержащую все элементы в левой части приведенного выше уравнения, которые молчаливо рассматриваются в посредством включений и в их свободном произведении. Свободное произведение с объединением и , относительно и , является факторгруппой ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G*H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle (G*H)/N.\,}$

Объединение вызвало отождествление между in с in , элемент за элементом. Это конструкция, необходимая для вычисления фундаментальной группы двух связных пространств, соединенных вдоль путевого подпространства, с взятием роли фундаментальной группы подпространства. См.: Теорема Зейферта–ван Кампена . ${\displaystyle \varphi (F)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \psi (F)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$

Каррасс и Солитэр дали описание подгрупп свободного произведения с объединением. ^[2] Например, гомоморфизмы из и в факторгруппу , которые индуцируются и , оба являются инъективными, как и индуцированный гомоморфизм из . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (G*H)/N}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F}$

Свободные продукты с объединением и тесно связанное с ними понятие расширения HNN являются основными строительными блоками в теории групп Басса–Серра, действующих на деревьях.

В других филиалах

Аналогично можно определить свободные произведения других алгебраических структур, нежели группы, включая алгебры над полем . Свободные произведения алгебр случайных величин играют ту же роль в определении « свободы » в теории свободной вероятности , которую декартовы произведения играют в определении статистической независимости в классической теории вероятностей .

Смотрите также

• Прямое произведение групп
• Побочный продукт
• График групп
• Теорема о подгруппе Куроша
• Нормальная форма для свободных групп и свободного произведения групп
• Универсальная собственность

Ссылки

1. Альперин, Роджер С. (апрель 1993 г.). "PSL ₂ (Z) = Z ₂ * Z ₃ ". Amer. Math. Monthly . 100 : 385–386. doi :10.1080/00029890.1993.11990418.
2. А. Каррасс и Д. Солитэр (1970) Подгруппы свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой, Труды Американского математического общества 150: 227–255.