Факторгруппа или факторгруппа — это математическая группа , полученная путем агрегирования аналогичных элементов более крупной группы с использованием отношения эквивалентности , которое сохраняет некоторую часть структуры группы (остальная часть структуры «выбрасывается» за пределы) . Например, циклическая группа сложения по модулю n может быть получена из группы слагаемых целых чисел путем идентификации элементов, которые отличаются кратными, и определения структуры группы, которая работает с каждым таким классом (известным как класс конгруэнтности ) как одиночный сущность. Это часть математической области, известной как теория групп .
Для отношения конгруэнции в группе класс эквивалентности единичного элемента всегда является нормальной подгруппой исходной группы, а другие классы эквивалентности являются в точности смежными классами этой нормальной подгруппы. Полученное частное обозначается , где – исходная группа, – нормальная подгруппа. (Это произносится как сокращение от modulo .)
Большая часть важности факторгрупп вытекает из их связи с гомоморфизмами . Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ любой группы G при гомоморфизме всегда изоморфен фактору . В частности , образ при гомоморфизме изоморфен где обозначает ядро .
Двойственное понятие факторгруппы — это подгруппа , это два основных способа образования меньшей группы из большей. Любая нормальная подгруппа имеет соответствующую факторгруппу, образованную из большей группы путем устранения различия между элементами подгруппы. В теории категорий факторгруппы являются примерами факторобъектов , которые двойственны подобъектам .
Учитывая группу и подгруппу и фиксированный элемент , можно рассмотреть соответствующий левый смежный класс : . Классы смежности — это естественный класс подмножеств группы; например, рассмотрим абелеву группу G целых чисел с операцией , определяемой обычным сложением, и подгруппу четных целых чисел. Тогда существует ровно два смежных класса: , которые являются четными целыми числами, и , которые являются нечетными целыми числами (здесь мы используем аддитивную запись для бинарной операции вместо мультипликативной записи).
Для общей подгруппы желательно определить совместимую групповую операцию на множестве всех возможных смежных классов . Это возможно именно тогда, когда это нормальная подгруппа, см. ниже. Подгруппа группы нормальна тогда и только тогда, когда равенство смежных классов выполняется для всех . Нормальная подгруппа обозначается .
Пусть – нормальная подгруппа группы . Определите набор как набор всех левых смежных классов in . То есть, . Поскольку идентификационный элемент , . Определите бинарную операцию над множеством смежных классов следующим образом. Для каждого и в произведение и , , равно . Это работает только потому, что не зависит от выбора представителей и каждого левого смежного класса, и . Чтобы доказать это, предположим, что и для некоторых . Затем
Это зависит от того, что это нормальная подгруппа. Осталось еще показать, что это условие не только достаточно, но и необходимо для определения операции над .
Чтобы показать, что это необходимо, рассмотрим, что для подгруппы нам дано, что операция корректно определена. То есть для всех и для .
Пусть и . Так как у нас есть .
Теперь и .
Следовательно, это нормальная подгруппа группы .
Также можно проверить, что эта операция on всегда ассоциативна, имеет единичный элемент и обратный элемент всегда может быть представлен как . Следовательно, множество вместе с операцией, определенной by, образует группу, факторгруппу by .
Из-за нормальности , левые и правые смежные классы in одинаковы, и поэтому их можно было определить как набор правых смежных классов in .
Например, рассмотрим группу со сложением по модулю 6: . Рассмотрим подгруппу , которая нормальна, поскольку абелева . Тогда набор (левых) смежных классов имеет размер три:
Бинарная операция, определенная выше, превращает этот набор в группу, известную как факторгруппа, которая в данном случае изоморфна циклической группе порядка 3.
Причина , по которой называется факторгруппа, происходит от деления целых чисел . При делении 12 на 3 получается ответ 4, поскольку можно перегруппировать 12 объектов в 4 подколлекции по 3 объекта. Факторгруппа — та же идея, хотя в итоге мы получаем группу для окончательного ответа вместо числа, поскольку группы имеют больше структуры, чем произвольный набор объектов. [ нужна цитата ]
Чтобы уточнить, при рассмотрении нормальной подгруппы структура группы используется для формирования естественной «перегруппировки». Это смежные классы in . Поскольку мы начали с группы и нормальной подгруппы, итоговое частное содержит больше информации, чем просто количество смежных классов (что дает регулярное деление), но вместо этого имеет саму групповую структуру.
Рассмотрим группу целых чисел (при сложении) и подгруппу , состоящую из всех четных целых чисел. Это нормальная подгруппа, потому что она абелева . Есть только два смежных класса: набор четных целых чисел и набор нечетных целых чисел, поэтому факторгруппа является циклической группой с двумя элементами. Эта факторгруппа изоморфна множеству со сложением по модулю 2; неофициально иногда говорят, что множество равняется сложению по модулю 2.
Пример далее объяснен...
Небольшое обобщение последнего примера. Еще раз рассмотрим сложенную группу целых чисел . Пусть — любое положительное целое число. Мы будем рассматривать подгруппу , состоящую из всех кратных . Еще раз нормально, потому что абелева. Сосеты — это коллекция . Целое число принадлежит смежному классу , где является остатком при делении на . Фактор можно рассматривать как группу «остатков» по модулю . Это циклическая группа порядка .
Корни двенадцатой степени из единицы , являющиеся точками на комплексной единичной окружности , образуют мультипликативную абелеву группу , показанную на рисунке справа в виде цветных шариков, число в каждой точке которых указывает ее комплексный аргумент. Рассмотрим ее подгруппу , состоящую из корней четвертой степени из единицы, показанных в виде красных шариков. Эта нормальная подгруппа разбивает группу на три смежных класса, показанных красным, зеленым и синим цветом. Можно проверить, что смежные классы образуют группу из трех элементов (произведение красного элемента на синий — синий, инверсия синего элемента — зеленый и т. д.). Таким образом, факторгруппа — это группа трёх цветов, которая оказывается циклической группой из трёх элементов.
Рассмотрим сложенную группу действительных чисел и подгруппу целых чисел. Каждый смежный класс in представляет собой набор вида , где – действительное число. Поскольку и являются идентичными множествами, когда нецелые части и равны , можно наложить ограничение без изменения смысла. Добавление таких смежных классов осуществляется путем добавления соответствующих действительных чисел и вычитания 1, если результат больше или равен 1. Факторгруппа изоморфна группе кругов , группе комплексных чисел с абсолютным значением 1 при умножении или, соответственно, , группа вращений в 2D вокруг начала координат, то есть специальная ортогональная группа . Изоморфизм задается формулой (см. тождество Эйлера ).
Если – группа обратимых вещественных матриц и – подгруппа вещественных матриц с определителем 1, то нормальна в (поскольку она является ядром детерминантного гомоморфизма ). Смежные классы - это наборы матриц с заданным определителем и, следовательно, изоморфны мультипликативной группе ненулевых действительных чисел. Группа известна как специальная линейная группа .
Рассмотрим абелеву группу (т. е. множество со сложением по модулю 4) и ее подгруппу . Факторгруппа есть . Это группа с элементом идентификации и групповыми операциями, такими как . И подгруппа , и факторгруппа изоморфны .
Рассмотрим мультипликативную группу . Множество th вычетов является мультипликативной подгруппой, изоморфной . Тогда нормально в и фактор-группа имеет классы . Криптосистема Пайе основана на гипотезе о том, что трудно определить класс случайного элемента по , не зная факторизации .
Факторгруппа изоморфна тривиальной группе (группе с одним элементом) и изоморфна .
Порядок , по определению количества элементов , равен , индексу в . Если конечно, то индекс также равен порядку деленного на порядок . Множество может быть конечным, хотя оба и бесконечны (например, ).
Существует «естественный» гомоморфизм сюръективной группы , отправляющий каждый элемент в смежный класс, которому он принадлежит, то есть: . Отображение иногда называют канонической проекцией на . Его ядро . _
Существует взаимно однозначное соответствие между подгруппами , которые содержат , и подгруппами из ; если является подгруппой содержащей , то соответствующая подгруппа есть . Это соответствие справедливо и для нормальных подгрупп и формализовано в теореме о решетке .
Некоторые важные свойства факторгрупп записаны в фундаментальной теореме о гомоморфизмах и теоремах об изоморфизме .
Если абелева , нильпотентная , разрешимая , циклическая или конечно порожденная , то так и есть .
Если является подгруппой в конечной группе и порядок составляет половину порядка , то гарантированно является нормальной подгруппой, поэтому существует и изоморфна . Этот результат также можно сформулировать как «любая подгруппа индекса 2 нормальна», и в этой форме он применим и к бесконечным группам. Кроме того, если - наименьшее простое число, делящее порядок конечной группы, то если имеет порядок , то она должна быть нормальной подгруппой . [1]
Если дана и нормальная подгруппа , то является групповым расширением группы by . Можно задаться вопросом, является ли это расширение тривиальным или расщепленным; другими словами, можно было бы спросить, является ли это прямым или полупрямым произведением и . Это частный случай проблемы расширения . Пример, когда расширение не расщепляется, выглядит следующим образом: Пусть , и , который изоморфен . Тогда также изоморфен . Но имеет только тривиальный автоморфизм , поэтому единственным полупрямым произведением и является прямое произведение. Поскольку отличается от , мы заключаем, что не является полупрямым произведением и .
Если является группой Ли и является нормальной и замкнутой (в топологическом, а не алгебраическом смысле слова) подгруппой Ли группы , фактор также является группой Ли. В этом случае исходная группа имеет структуру расслоения ( точнее, главного -расслоения ) с базовым пространством и слоем . Размерность равна . [2]
Обратите внимание, что условие замкнутости является необходимым. Действительно, если оно не замкнуто, то фактор-пространство не является T1-пространством (поскольку в фактор-пространстве существует смежный класс, который не может быть отделен от единицы открытым множеством) и, следовательно, не является хаусдорфовым пространством .
Для ненормальной подгруппы Ли пространство левых смежных классов является не группой, а просто дифференцируемым многообразием, на котором действует. Результат известен как однородное пространство .
