Полупрямое произведение

Операция в теории групп

В математике , в частности в теории групп , понятие полупрямого произведения является обобщением прямого произведения . Обычно обозначается символом ⋉ . Существуют два тесно связанных понятия полупрямого произведения:

• Внутреннее полупрямое произведение — это особый способ, которым группа может быть составлена ​​из двух подгрупп , одна из которых является нормальной подгруппой .
• Внешнее полупрямое произведение — это способ построения новой группы из двух заданных групп с использованием декартова произведения как множества и конкретной операции умножения.

Как и в случае с прямыми произведениями, существует естественная эквивалентность между внутренними и внешними полупрямыми произведениями, и оба они обычно называются просто полупрямыми произведениями .

Для конечных групп теорема Шура –Цассенхауза дает достаточное условие существования разложения в виде полупрямого произведения (также известного как расщепляющее расширение ).

Определения внутреннего полупрямого произведения

Для группы G с единичным элементом e , подгруппы H и нормальной подгруппы N ◁ G следующие утверждения эквивалентны:

• G является произведением подгрупп , G = NH , и эти подгруппы имеют тривиальное пересечение: N ∩ H = { e } .
• Для каждого g ∈ G существуют уникальные n ∈ N и h ∈ H, такие что g = nh .
• Композиция π ∘ i естественного вложения i : H → G с естественной проекцией π : G → G / N является изоморфизмом между H и фактор-группой G / N .
• Существует гомоморфизм G → H , который является тождественным на H и ядром которого является N. Другими словами, существует расщепляемая точная последовательность

${\displaystyle 1\to N\to G\to H\to 1}$

групп (также известное как разделенное расширение по ) . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

Если какое-либо из этих утверждений выполняется (и, следовательно , все они выполняются в силу их эквивалентности), мы говорим, что G является полупрямым произведением N и H , записанным как

${\displaystyle G=N\rtimes H}$или ${\displaystyle G=H\ltimes N,}$

или что G расщепляется над N ; также говорят, что G является полупрямым произведением H, действующего на N , или даже полупрямым произведением H и N. Чтобы избежать двусмысленности, целесообразно указать, какая подгруппа является нормальной.

Если , то существует гомоморфизм групп, заданный равенством , и для , имеем . ${\displaystyle G=N\rtimes H}$ ${\displaystyle \varphi \colon H\rightarrow \mathrm {Aut} (N)}$ ${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$ ${\displaystyle g=nh,g'=n'h'}$ ${\displaystyle gg'=nhn'h'=nhn'h^{-1}hh'=n\varphi _{h}(n')hh'=n^{*}h^{*}}$

Внутренние и внешние полупрямые произведения

Давайте сначала рассмотрим внутреннее полупрямое произведение. В этом случае для группы рассмотрим нормальную подгруппу N и другую подгруппу H (не обязательно нормальную). Предположим, что выполнены условия из списка выше. Пусть обозначает группу всех автоморфизмов N , которая является группой относительно композиции. Построим гомоморфизм групп, определяемый сопряжением, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (N)}$ ${\displaystyle \varphi \colon H\to \operatorname {Aut} (N)}$

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$, для всех h в H и n в N .

Таким образом, мы можем построить группу с групповой операцией, определенной как ${\displaystyle G'=(N,H)}$

${\displaystyle (n_{1},h_{1})\cdot (n_{2},h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})}$для n ₁ , n ₂ в N и h ₁ , h ₂ в H .

Подгруппы N и H определяют G с точностью до изоморфизма, как мы покажем позже. Таким образом, мы можем построить группу G из ее подгрупп. Такой вид построения называется внутренним полупрямым произведением (также известным как внутреннее полупрямое произведение ^[1] ).

Рассмотрим теперь внешнее полупрямое произведение. Для любых двух групп N и H и гомоморфизма групп φ : H → Aut( N ) мы можем построить новую группу N ⋊ _φ H , называемую внешним полупрямым произведением N и H относительно φ , определяемую следующим образом: ^[2]

1. Базовым набором является декартово произведение N × H.
2. Групповая операция определяется гомоморфизмом φ : ${\displaystyle \bullet }$

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\bullet :(N\rtimes _{\varphi }H)\times (N\rtimes _{\varphi }H)&\to N\rtimes _{\varphi }H\\(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})&=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),\,h_{1}h_{2})\end{aligned}}}$

   для n ₁ , n ₂ в N и h ₁ , h ₂ в H .

Это определяет группу, в которой единичный элемент — это ( e _N , e _H ) , а обратный элемент элемента ( n , h ) — это ( φ _{h ⁻¹} ( n ⁻¹ ), h ⁻¹ ) . Пары ( n , e _H ) образуют нормальную подгруппу, изоморфную N , тогда как пары ( e _N , h ) образуют подгруппу, изоморфную H . Полная группа является полупрямым произведением этих двух подгрупп в указанном ранее смысле.

Наоборот, предположим, что нам дана группа G с нормальной подгруппой N и подгруппой H , такая, что каждый элемент g из G может быть записан единственным образом в виде g = nh, где n лежит в N , а h лежит в H. Пусть φ : H → Aut( N ) — гомоморфизм (записывается как φ ( h ) = φ _h ), заданный формулой

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=hnh^{-1}}$

для всех n ∈ N , h ∈ H.

Тогда G изоморфен полупрямому произведению N ⋊ _φ H. Изоморфизм λ : G → N ⋊ _φ H корректно определен соотношением λ ( a ) = λ ( nh ) = ( n, h ) ввиду единственности разложения a = nh .

В G мы имеем

${\displaystyle (n_{1}h_{1})(n_{2}h_{2})=n_{1}h_{1}n_{2}(h_{1}^{-1}h_{1})h_{2}=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}))(h_{1}h_{2})}$

Таким образом, при a = n ₁ h ₁ и b = n ₂ h ₂ получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (ab)&=\lambda (n_{1}h_{1}n_{2}h_{2})=\lambda (n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2})h_{1}h_{2})=(n_{1}\varphi _{h_{1}}(n_{2}),h_{1}h_{2})=(n_{1},h_{1})\bullet (n_{2},h_{2})\\[5pt]&=\lambda (n_{1}h_{1})\bullet \lambda (n_{2}h_{2})=\lambda (a)\bullet \lambda (b),\end{aligned}}}$

что доказывает , что λ является гомоморфизмом. Поскольку λ , очевидно, является эпиморфизмом и мономорфизмом, то это действительно изоморфизм. Это также объясняет определение правила умножения в N ⋊ _φ H .

Прямое произведение является частным случаем полупрямого произведения. Чтобы увидеть это, пусть φ — тривиальный гомоморфизм (т.е. отправляющий каждый элемент H в тождественный автоморфизм N ), тогда N ⋊ _φ H — прямое произведение N × H .

Версия леммы о расщеплении для групп утверждает, что группа G изоморфна полупрямому произведению двух групп N и H тогда и только тогда, когда существует короткая точная последовательность

${\displaystyle 1\longrightarrow N\,{\overset {\beta }{\longrightarrow }}\,G\,{\overset {\alpha }{\longrightarrow }}\,H\longrightarrow 1}$

и гомоморфизм групп γ : H → G такой, что α  ∘  γ = id _H , тождественное отображение на H. В этом случае φ : H → Aut( N ) задается как φ ( h ) = φ _h , где

${\displaystyle \varphi _{h}(n)=\beta ^{-1}(\gamma (h)\beta (n)\gamma (h^{-1})).}$

Примеры

Группа диэдра

Диэдральная группа D _{2 n} с 2 n элементами изоморфна полупрямому произведению циклических групп C _n и C ₂ . ^[3] Здесь нетождественный элемент C ₂ действует на C _n путем инвертирования элементов; это автоморфизм, поскольку C n абелева . _{Представление} для этой группы следующее:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{2}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

Циклические группы

В более общем случае полупрямое произведение любых двух циклических групп C _m с генератором a и C _n с генератором b задается одним дополнительным соотношением, aba ⁻¹ = b ^k , где k и n взаимно просты , и ; ^[3] то есть представлением: ^[3] ${\displaystyle k^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k}\rangle .}$

Если r и m взаимно просты, a ^r является генератором C _m и a ^r ba ^−r = b ^{k r} , отсюда следует представление:

${\displaystyle \langle a,\;b\mid a^{m}=e,\;b^{n}=e,\;aba^{-1}=b^{k^{r}}\rangle }$

дает группу, изоморфную предыдущей.

Голоморф группы

Одним из канонических примеров группы, выраженной как полупрямое произведение, является голоморф группы. Это определяется как

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

где — группа автоморфизмов группы , а отображение структуры происходит из правого действия на . В терминах умножения элементов это дает структуру группы ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(G)}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g(\varphi (\alpha )\cdot h),\alpha \beta ).}$

Основная группа бутылки Клейна

Фундаментальную группу бутылки Клейна можно представить в виде

${\displaystyle \langle a,\;b\mid aba^{-1}=b^{-1}\rangle .}$

и, следовательно, является полупрямым произведением группы целых чисел, , с . Соответствующий гомоморфизм φ : → Aut( ) задается формулой φ ( h )( n ) = (−1) ^h n . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Верхние треугольные матрицы

Группа верхних треугольных матриц с ненулевым определителем в произвольном поле, то есть с ненулевыми элементами на диагонали , имеет разложение в полупрямое произведение ^[4] , где — подгруппа матриц, имеющих только ' на диагонали, которая называется верхней унитреугольной матричной группой, а — подгруппа диагональных матриц . Действие группы на индуцируется матричным умножением. Если положить ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$
${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}x_{1}&0&\cdots &0\\0&x_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}}$и ${\displaystyle B={\begin{bmatrix}1&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\0&1&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

тогда их матричное произведение равно

${\displaystyle AB={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&x_{2}&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}.}$

Это дает индуцированное групповое действие ${\displaystyle m:\mathbb {D} _{n}\times \mathbb {U} _{n}\to \mathbb {U} _{n}}$

${\displaystyle m(A,B)={\begin{bmatrix}1&x_{1}a_{12}&x_{1}a_{13}&\cdots &x_{1}a_{1n}\\0&1&x_{2}a_{23}&\cdots &x_{2}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Матрицу в можно представить матрицами в и . Следовательно . ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{n}\cong \mathbb {U} _{n}\rtimes \mathbb {D} _{n}}$

Группа изометрий на плоскости

Евклидова группа всех жестких движений ( изометрий ) плоскости (отображает f : ² → ² ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ таким образом, что евклидово расстояние между x и y равно расстоянию между f ( x ) и f ( y ) для всех x и y в ) изоморфна полупрямому произведению абелевой группы (которая описывает переносы) и группы O(2) ортогональных матриц 2 × 2 (которая описывает повороты и отражения, сохраняющие начало координат неподвижным). Применение переноса, а затем поворота или отражения имеет тот же эффект, что и применение сначала поворота или отражения, а затем переноса на повернутый или отраженный вектор переноса (т. е. применение сопряжения исходного переноса). Это показывает, что группа трансляций является нормальной подгруппой евклидовой группы, что евклидова группа является полупрямым произведением группы трансляций и O(2) и что соответствующий гомоморфизм φ : O(2) → Aut( ² ) задается умножением матриц : φ ( h )( n ) = hn . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ортогональная группа O(n)

Ортогональная группа O( n ) всех ортогональных вещественных матриц размера n × n (интуитивно множество всех вращений и отражений n -мерного пространства, сохраняющих начало координат неподвижным) изоморфна полупрямому произведению группы SO( n ) (состоящей из всех ортогональных матриц с определителем 1 , интуитивно вращения n -мерного пространства) и C ₂ . Если мы представим C ₂ как мультипликативную группу матриц { I , R } , где R - отражение n -мерного пространства, сохраняющее начало координат неподвижным (т. е. ортогональная матрица с определителем -1, представляющая инволюцию ), то φ : C ₂ → Aut(SO( n )) задается как φ ( H )( N ) = HNH ⁻¹ для всех H в C ₂ и N в SO( n ) . В нетривиальном случае ( H не тождественно) это означает, что φ ( H ) есть сопряжение операций отражением (в трехмерном пространстве ось вращения и направление вращения заменяются их «зеркальным отражением»).

Полулинейные преобразования

Группа полулинейных преобразований векторного пространства V над полем , часто обозначаемая ΓL( V ) , изоморфна полупрямому произведению линейной группы GL( V ) ( нормальной подгруппы ΓL ( V ) ) и группы автоморфизмов . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Кристаллографические группы

В кристаллографии пространственная группа кристалла расщепляется как полупрямое произведение точечной группы и группы трансляций тогда и только тогда, когда пространственная группа является симморфной. Несимморфные пространственные группы имеют точечные группы, которые даже не содержатся как подмножество пространственной группы, что является причиной значительной сложности их анализа. ^[5]

Не примеры

Конечно, никакая простая группа не может быть выражена как полупрямое произведение (потому что они не имеют нетривиальных нормальных подгрупп), но есть несколько общих контрпримеров групп, содержащих нетривиальную нормальную подгруппу, которая тем не менее не может быть выражена как полупрямое произведение. Обратите внимание, что хотя не каждая группа может быть выражена как расщепляемое расширение с помощью , оказывается, что такая группа может быть вложена в сплетение с помощью универсальной теоремы о вложении . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\wr H}$

З4

Циклическая группа не является простой группой, поскольку она имеет подгруппу порядка 2, а именно — подгруппу и их фактор равен , поэтому существует расширение ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle \{0,2\}\cong \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to \mathbb {Z} _{4}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

Если расширение было разделено , то группа в ${\displaystyle G}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}\to G\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$

будет изоморфен . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}}$

В8

Группа из восьми кватернионов , где и , является еще одним примером группы ^[6] , которая имеет нетривиальные нормальные подгруппы, но все еще не расщепляется. Например, подгруппа, порожденная , изоморфна и является нормальной. Она также имеет подгруппу порядка, порожденную . Это означало бы, что должно быть расщепляемым расширением в следующей гипотетической точной последовательности групп: ${\displaystyle \{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}$ ${\displaystyle ijk=-1}$ ${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle Q_{8}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{4}\to Q_{8}\to \mathbb {Z} _{2}\to 0}$,

но такой точной последовательности не существует. Это можно показать, вычислив первую группу когомологий группы с коэффициентами в , так что и отметив, что две группы в этих расширениях — это и диэдральная группа . Но, поскольку ни одна из этих групп не изоморфна , группа кватернионов не расщепляется. Это несуществование изоморфизмов можно проверить, отметив, что тривиальное расширение абелево, в то время как неабелево, и отметив, что единственными нормальными подгруппами являются и , но имеет три подгруппы, изоморфные . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{4})\cong \mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle D_{8}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$ ${\displaystyle Q_{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}}$

Характеристики

Если G — полупрямое произведение нормальной подгруппы N и подгруппы H , и обе N и H конечны, то порядок G равен произведению порядков N и H. Это следует из того факта, что G имеет тот же порядок , что и внешнее полупрямое произведение N и H , базовым множеством которого является декартово произведение N × H.

Отношение к прямым продуктам

Предположим, что G — полупрямое произведение нормальной подгруппы N и подгруппы H. Если H также нормальна в G или, что эквивалентно, если существует гомоморфизм G → N , который является тождественным на N с ядром H , то G — прямое произведение N и H.

Прямое произведение двух групп N и H можно рассматривать как полупрямое произведение N и H относительно φ ( h ) = id _N для всех h из H .

Обратите внимание, что в прямом произведении порядок множителей не важен, поскольку N × H изоморфно H × N. Это не относится к полупрямым произведениям, поскольку два множителя играют разные роли.

Более того, результат (собственного) полупрямого произведения посредством нетривиального гомоморфизма никогда не является абелевой группой , даже если фактор-группы абелевы.

Неединственность полупрямых произведений (и другие примеры)

В отличие от случая с прямым произведением , полупрямое произведение двух групп, вообще говоря, не является единственным; если G и G′ — две группы, которые обе содержат изоморфные копии N как нормальную подгруппу и H как подгруппу, и обе являются полупрямым произведением N и H , то из этого не следует , что G и G′ изоморфны , поскольку полупрямое произведение также зависит от выбора действия H на N.

Например, существуют четыре неизоморфные группы порядка 16, которые являются полупрямыми произведениями C ₈ и C ₂ ; в этом случае C ₈ обязательно является нормальной подгруппой, поскольку имеет индекс 2. Одно из этих четырех полупрямых произведений является прямым произведением, в то время как остальные три являются неабелевыми группами:

• диэдральная группа порядка 16
• квазидиэдральная группа порядка 16
• группа Ивасава порядка 16

Если данная группа является полупрямым произведением, то нет гарантии, что это разложение уникально. Например, существует группа порядка 24 (единственная, содержащая шесть элементов порядка 4 и шесть элементов порядка 6), которая может быть выражена как полупрямое произведение следующими способами: (D ₈ ⋉ C ₃ ) ≅ (C ₂ ⋉ Q 12 ) ≅ (C ₂ ⋉ D ₁₂ ) ≅ (D ₆ ⋉ V ) . ^[7]

Существование

В общем случае не существует известной характеризации (т. е. необходимого и достаточного условия) для существования полупрямых произведений в группах. Однако известны некоторые достаточные условия, которые гарантируют существование в определенных случаях. Для конечных групп теорема Шура–Цассенхауза гарантирует существование полупрямого произведения, когда порядок нормальной подгруппы взаимно прост с порядком факторгруппы .

Например, теорема Шура–Цассенхауза подразумевает существование полупрямого произведения среди групп порядка 6; таких произведений два, одно из которых является прямым произведением, а другое – диэдральной группой. Напротив, теорема Шура–Цассенхауза ничего не говорит о группах порядка 4 или, например, о группах порядка 8.

Обобщения

В теории групп построение полупрямых произведений может быть продвинуто гораздо дальше. Произведение групп Заппы–Сеп является обобщением, которое в своей внутренней версии не предполагает, что какая-либо подгруппа является нормальной.

В теории колец также существует конструкция — скрещенное произведение колец . Она естественным образом строится из группового кольца для полупрямого произведения групп. Кольцевой подход может быть далее обобщен на полупрямую сумму алгебр Ли .

Для геометрии также существует скрещенное произведение для групповых действий на топологическом пространстве ; к сожалению, оно в общем случае некоммутативно, даже если группа абелева. В этом контексте полупрямое произведение — это пространство орбит группового действия. Последний подход отстаивал Ален Конн в качестве замены подходов с использованием обычных топологических методов; см. некоммутативная геометрия .

Полупрямое произведение является частным случаем конструкции Гротендика в теории категорий . В частности, действие на (относительно группы или даже просто моноидной структуры) есть то же самое, что и функтор ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle F:BH\to Cat}$

из группоида, связанного с H (имеющего единственный объект *, эндоморфизмы которого — H ), в категорию категорий, таких, что единственный объект в отображается на . Конструкция Гротендика этого функтора эквивалентна , (группоиду, связанному с) полупрямому произведению. ^[8] ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle BH}$ ${\displaystyle BN}$ ${\displaystyle B(H\rtimes N)}$

Группоиды

Другое обобщение касается группоидов. Это происходит в топологии, поскольку если группа G действует на пространстве X, она также действует на фундаментальный группоид π ₁ ( X ) этого пространства. Полупрямое произведение π ₁ ( X ) ⋊ G тогда имеет отношение к нахождению фундаментального группоида пространства орбит X/G . Для получения полных подробностей см. главу 11 книги, указанной ниже, а также некоторые подробности в полупрямом произведении ^[9] в ncatlab .

Абелевы категории

Нетривиальные полупрямые произведения не возникают в абелевых категориях , таких как категория модулей . В этом случае лемма о расщеплении показывает, что каждое полупрямое произведение является прямым произведением. Таким образом, существование полупрямых произведений отражает неспособность категории быть абелевой.

Обозначение

Обычно полупрямое произведение группы H, действующее на группу N (в большинстве случаев сопряжением как подгруппы общей группы), обозначается как N ⋊ H или H ⋉ N . Однако некоторые источники ^[10] могут использовать этот символ с противоположным значением. В случае, если действие φ : H → Aut( N ) должно быть сделано явным, можно также записать N ⋊ _φ H . Один из способов представления символа N ⋊ H — это комбинация символа для нормальной подгруппы ( ◁ ) и символа для произведения ( × ). Барри Саймон в своей книге по теории представлений групп ^[11] использует необычное обозначение для полупрямого произведения. ${\displaystyle N\mathbin {\circledS _{\varphi }} H}$

Unicode содержит четыре варианта: ^[12]

Здесь описание символа rtimes в Unicode звучит как «правый нормальный множитель», в отличие от его обычного значения в математической практике.

В LaTeX команды \rtimes и \ltimes создают соответствующие символы. При загруженном пакете символов AMS \leftthreetimes создает ⋋, а \rightthreetimes создает ⋌.

Смотрите также

• Аффинная алгебра Ли
• Конструкция Гротендика , категориальная конструкция, обобщающая полупрямое произведение
• Голоморф
• Полупрямая сумма алгебры Ли
• Подпрямое произведение
• Венок продукт
• Продукт Zappa–Szép
• Скрещенное произведение

Примечания

1. DS Dummit и RM Foote (1991), Абстрактная алгебра , Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall , 142.
2. Робинсон, Дерек Джон Скотт (2003). Введение в абстрактную алгебру . Вальтер де Грюйтер . стр. 75–76. ISBN 9783110175448.
3. Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999). Алгебра (3-е изд.). Американское математическое общество. стр. 414–415. ISBN 0-8218-1646-2.
4. Милн. Алгебраические группы (PDF) . стр. 45, полупрямые произведения. Архивировано (PDF) из оригинала 2016-03-07.
5. Томпсон, Ник. «Неприводимые зоны Бриллюэна и зонные структуры». bandgap.io . Получено 13 декабря 2017 г. .
6. "abstract algebra - Может ли каждая непростая группа $G$ быть записана в виде полупрямого произведения?". Mathematics Stack Exchange . Получено 29.10.2020 .
7. HE Rose (2009). Курс по конечным группам . Springer Science & Business Media. стр. 183. ISBN 978-1-84882-889-6.Обратите внимание, что Роуз использует противоположную систему обозначений, чем та, которая принята на этой странице (стр. 152).
8. Барр и Уэллс (2012, §12.2)
9. "Ncatlab.org".
10. например, Э.Б. Винберг (2003). Курс алгебры . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. п. 389. ИСБН 0-8218-3413-4.
11. Б. Саймон (1996). Представления конечных и компактных групп . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 6. ISBN 0-8218-0453-7.
12. См. unicode.org

Ссылки

• Барр, Майкл; Уэллс, Чарльз (2012), Теория категорий для вычислительной науки , Переиздания в Theory and Applications of Categories, т. 2012, стр. 558, Zbl  1253.18001
• Браун, Р. (2006), Топология и группоиды , Booksurge, ISBN 1-4196-2722-8