stringtranslate.com

Закрытое множество

В топологии открыто-замкнутое множество ( контраманто от закрыто -открытое множество ) в топологическом пространстве — это множество, которое одновременно открыто и замкнуто . То, что это возможно, может показаться нелогичным, поскольку общие значения открытого и закрытого являются антонимами, но их математические определения не являются взаимоисключающими . Множество замкнуто, если его дополнение открыто, что оставляет возможность открытого множества, дополнение которого также открыто, делая оба множества как открытыми , так и замкнутыми, и, следовательно, открыто-замкнутыми. Как описал тополог Джеймс Манкрес , в отличие от двери , «множество может быть открытым, или замкнутым, или обоими, или ни тем, ни другим!» [1], подчеркивая, что значение «открыто»/«закрыто» для дверей не связано с их значением для множеств (и поэтому дихотомия открытая/закрытая дверь не переносится на открытые/закрытые множества). Это отличие от дверей дало классу топологических пространств, известных как « пространства дверей », их название.

Примеры

В любом топологическом пространстве пустое множество и все пространство являются открыто-замкнутыми. [2] [3]

Теперь рассмотрим пространство , состоящее из объединения двух открытых интервалов и Топология на наследуется как топология подпространства от обычной топологии на действительной прямой В множество открыто-замкнуто, как и множество Это довольно типичный пример: всякий раз , когда пространство состоит из конечного числа непересекающихся связных компонент таким образом, компоненты будут открыто-замкнутыми.

Теперь пусть будет бесконечным множеством в дискретной метрике  – то есть, две точки имеют расстояние 1, если они не являются одной и той же точкой, и 0 в противном случае. В результирующем метрическом пространстве любое одноэлементное множество открыто; следовательно, любое множество, являющееся объединением отдельных точек, открыто. Поскольку любое множество открыто, дополнение любого множества также открыто, и, следовательно, любое множество замкнуто. Таким образом, все множества в этом метрическом пространстве являются открыто-замкнутыми.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим пространство всех рациональных чисел с их обычной топологией и множество всех положительных рациональных чисел, квадрат которых больше 2. Используя тот факт, что не принадлежит одному, можно довольно легко показать, что является открыто-замкнутым подмножеством ( не является открыто-замкнутым подмножеством действительной прямой ; оно не является ни открытым, ни замкнутым в ).

Характеристики

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Манкрес 2000, стр. 91.
  2. ^ Бартл, Роберт Г .; Шерберт, Дональд Р. (1992) [1982]. Введение в реальный анализ (2-е изд.). John Wiley & Sons, Inc. стр. 348.(относительно действительных чисел и пустого множества в R)
  3. ^ Хокинг, Джон Г.; Янг, Гейл С. (1961). Топология . Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. стр. 56.(относительно топологических пространств)
  4. ^ Мендельсон, Берт (1990) [1975]. Введение в топологию (Третье изд.). Довер. стр. 87. ISBN 0-486-66352-3. Пусть — подмножество топологического пространства. Докажите, что тогда и только тогда, когда — открыто и замкнуто.(Представлено как упражнение 7)

Ссылки