stringtranslate.com

Топология подпространства

В топологии и смежных областях математики подпространство топологического пространства X — это подмножество S из X , которое снабжено топологией , индуцированной из топологии X , называемой топологией подпространства [1] (или относительной топологией [1] , или индуцированной топологией [1] , или топологией следа [2] .

Определение

При наличии топологического пространства и подмножества топология подпространства на определяется как

То есть подмножество открыто в топологии подпространства тогда и только тогда, когда оно является пересечением с открытым множеством в . Если снабжено топологией подпространства , то оно является топологическим пространством само по себе и называется подпространством . Подмножества топологических пространств обычно считаются снабженными топологией подпространства , если не указано иное.

В качестве альтернативы мы можем определить топологию подпространства для подмножества как самую грубую топологию, для которой отображение включения

является непрерывным .

В более общем случае предположим, что есть инъекция из множества в топологическое пространство . Тогда топология подпространства на определяется как грубейшая топология, для которой является непрерывной. Открытые множества в этой топологии — это в точности множества вида для открыто в . Тогда гомеоморфно своему образу в (также с топологией подпространства) и называется топологическим вложением .

Подпространство называется открытым подпространством, если инъекция является открытым отображением , т.е. если прямой образ открытого множества открыт в . Аналогично оно называется замкнутым подпространством, если инъекция является замкнутым отображением .

Терминология

Различие между множеством и топологическим пространством часто размывается в обозначениях для удобства, что может стать источником путаницы при первом столкновении с этими определениями. Таким образом, всякий раз, когда является подмножеством , а является топологическим пространством, то неукрашенные символы " " и " " часто могут использоваться для обозначения как и рассматриваемого как два подмножества , а также и как топологические пространства, связанные, как обсуждалось выше. Поэтому такие фразы, как " открытое подпространство ", используются для обозначения того, что является открытым подпространством , в смысле, использованном выше; то есть: (i) ; и (ii) считается наделенным топологией подпространства.

Примеры

Далее представлены действительные числа с их обычной топологией.

Характеристики

Топология подпространства имеет следующее характеристическое свойство. Пусть будет подпространством и пусть будет отображением включения. Тогда для любого топологического пространства отображение непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно составное отображение .

Характерное свойство топологии подпространства
Характерное свойство топологии подпространства

Это свойство является характерным в том смысле, что его можно использовать для определения топологии подпространства на .

Перечислим некоторые дополнительные свойства топологии подпространства. В дальнейшем пусть будет подпространством .

Сохранение топологических свойств

Если топологическое пространство, имеющее некоторое топологическое свойство, подразумевает, что его подпространства имеют это свойство, то мы говорим, что свойство наследственное . Если только замкнутые подпространства должны разделять свойство, мы называем его слабо наследственным .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ abc tom Dieck, Tammo (2008), Алгебраическая топология, EMS Textbooks in Mathematics, Европейское математическое общество (EMS), Цюрих, стр. 5, doi :10.4171/048, ISBN 978-3-03719-048-7, МР  2456045
  2. ^ Пиноли, Жан-Шарль (июнь 2014 г.), «Геометрическая и топологическая структура», Математические основы обработки и анализа изображений 2 , Wiley, стр. 57–69, doi :10.1002/9781118984574.ch26, ISBN 9781118984574; см. Раздел 26.2.4. Подмногообразия, стр. 59

Ссылки