База (топология)

Коллекция открытых наборов, используемых для определения топологии.

В математике база (или базис ; мн.: базы ) топологии τ топологического пространства ( X , τ) — это семейство открытых подмножеств X такое , что каждое открытое множество топологии равно объединению некоторых подсемейство . _ Например, набор всех открытых интервалов на прямой вещественной линии является основой евклидовой топологии , поскольку каждый открытый интервал является открытым множеством, а также каждое открытое подмножество может быть записано как объединение некоторого семейства открытых интервалов. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Базы встречаются повсеместно во всей топологии. Множества в основе топологии, называемые базовыми открытыми множествами , часто легче описать и использовать, чем произвольные открытые множества. ^[1] Многие важные топологические определения, такие как непрерывность и сходимость, можно проверить, используя только базовые открытые множества вместо произвольных открытых множеств. Некоторые топологии имеют базу открытых множеств с конкретными полезными свойствами, которые могут облегчить проверку таких топологических определений.

Не все семейства подмножеств множества образуют основу топологии на . При некоторых условиях, подробно описанных ниже, семейство подмножеств сформирует основу для (уникальной) топологии на , полученной путем взятия всех возможных объединений подсемейств. Такие семейства множеств очень часто используются для определения топологий. Более слабое понятие, связанное с базами, — это понятие подбазы топологии . Базы топологий также тесно связаны с базами соседства . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Определение и основные свойства

Учитывая топологическое пространство , база ^[2] (или базис ^[3] ) топологии ( также называемая базой, если топология понятна) представляет собой семейство открытых множеств, такое, что каждое открытое множество топологии может быть представлено как объединение некоторого подсемейства . ^{[примечание 1]} Элементы называются базовыми открытыми множествами . Эквивалентно, семейство подмножеств является базой топологии тогда и только тогда, когда для каждого открытого множества в и точке существует некоторое базовое открытое множество такое, что . ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U}$

Например, совокупность всех открытых интервалов вещественной линии образует основу стандартной топологии действительных чисел. В более общем смысле, в метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров вокруг точек образует основу топологии. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Вообще топологическое пространство может иметь множество оснований. Вся топология всегда является базой для самой себя (т. е. является базой для ). Для реальной линии совокупность всех открытых интервалов является основой топологии. То же самое можно сказать и о сборе всех открытых интервалов с рациональными конечными точками или о сборе всех открытых интервалов с иррациональными конечными точками. Обратите внимание, что два разных основания не обязательно должны иметь какое-либо общее базовое открытое множество. Одним из топологических свойств пространства является минимальная мощность базы его топологии, называемая весом и обозначаемая . Судя по приведенным выше примерам, реальная линия имеет счетный вес. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w(X)}$

Если является основой топологии пространства , оно удовлетворяет следующим свойствам: ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

(B1) Элементы покрытия , т. е. каждая точка принадлежит некоторому элементу покрытия . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

(B2) Для каждой точки существует такая, что . ${\displaystyle B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{1}\cap B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}}$

Свойство (Б1) соответствует тому, что множество является открытым; свойство (Б2) соответствует тому, что множество является открытым. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1}\cap B_{2}}$

И наоборот, предположим, что это просто множество без какой-либо топологии и семейство подмножеств, удовлетворяющих свойствам (B1) и (B2). Тогда это основа топологии, которую он генерирует. Точнее, пусть будет семейством всех подмножеств, которые являются объединениями подсемейств Тогда является топологией на и является базой для . ^[5] (Эскиз: определяет топологию, поскольку она устойчива относительно произвольных объединений по построению, она устойчива относительно конечных пересечений согласно (B2), она содержит согласно (B1) и содержит пустое множество как объединение пустого подсемейства Тогда семейство по построению является базой для .) Такие семейства множеств являются очень распространенным способом определения топологии. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

В общем, если набор и произвольный набор подмножеств , существует (уникальная) наименьшая топология , содержащая . (Эта топология является пересечением всех топологий, содержащих .) Топология называется топологией, порожденной , и называется подбазой для . Топологию можно также охарактеризовать как совокупность всех произвольных объединений конечных пересечений элементов . (См. статью о подбазе .) Теперь, если также удовлетворяет свойствам ( B1 ) и (B2), топология , порожденная в этом случае является основой ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \tau }$

Часто существует простой способ проверить условие (B2). Если пересечение любых двух элементов само является элементом или пусто, то условие (B2) автоматически выполняется (принимая ). Например, евклидова топология на плоскости допускает в качестве основы множество всех открытых прямоугольников с горизонтальными и вертикальными сторонами, причем непустое пересечение двух таких основных открытых множеств также является базовым открытым множеством. Но другой основой той же топологии является совокупность всех открытых дисков; и здесь необходимо полное (В2) условие. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{3}=B_{1}\cap B_{2}}$

Примером совокупности открытых множеств, не являющейся базой, является совокупность всех полубесконечных интервалов вида и с . Топология, сгенерированная, содержит все открытые интервалы , следовательно, генерирует стандартную топологию на реальной линии. Но это всего лишь подбаза топологии, а не база: конечный открытый интервал не содержит ни одного элемента (эквивалентно, свойство (B2) не выполняется). ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\infty ,a)}$ ${\displaystyle (a,\infty )}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle S}$

Примеры

Множество Γ всех открытых интервалов в образует основу евклидовой топологии на . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Непустое семейство подмножеств множества X , замкнутое относительно конечных пересечений двух или более множеств, называемое π -системой на X , обязательно является базой топологии на X тогда и только тогда, когда оно накрывает X. По определению, каждая σ-алгебра , каждый фильтр (и, в частности, каждый фильтр окрестности ) и каждая топология являются накрывающей π -системой, а значит, и базой топологии. В самом деле, если Γ — фильтр на X , то { ∅ } ∪ Γ — топология на X и Γ — ее базис. База топологии не обязательно должна быть замкнутой относительно конечных пересечений, и многие из них этого не делают. Но тем не менее многие топологии определяются базисами, также замкнутыми относительно конечных пересечений. Например, каждое из следующих семейств подмножества замкнуто относительно конечных пересечений и поэтому каждое образует основу некоторой топологии на : ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• Множество всех ограниченных открытых интервалов в порождает обычную евклидову топологию на . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество Σ всех ограниченных замкнутых интервалов в порождает дискретную топологию на , поэтому евклидова топология является подмножеством этой топологии. И это несмотря на то, что Γ не является подмножеством Σ . Следовательно, топология, порожденная Γ , которая является евклидовой топологией на , является более грубой, чем топология, порожденная Σ . На самом деле оно строго грубее, поскольку Σ содержит непустые компакты, которые никогда не открыты в евклидовой топологии. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Множество Γ _{${\displaystyle \mathbb {Q} }$} всех интервалов в Γ таких, что оба конца интервала являются рациональными числами, порождает ту же топологию, что и Γ . Это остается верным, если каждый экземпляр символа Γ заменяется на Σ .
• Σ _∞ = {[ r , ∞) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ порождает топологию, которая строго более грубая , чем топология, порожденная Σ . Ни один элемент из Σ _∞ не является открытым в евклидовой топологии на . ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Γ _∞ = { ( r , ∞) : r ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ порождает топологию, которая строго более грубая, чем евклидова топология и топология, порожденная Σ _∞ . Множества Σ _∞ и Γ _∞ не пересекаются, но тем не менее Γ _∞ является подмножеством топологии, порожденной Σ _∞ .

Объекты, определенные в терминах баз

• Топология порядка на полностью упорядоченном множестве допускает в качестве основы набор множеств, подобных открытым интервалам.
• В метрическом пространстве совокупность всех открытых шаров образует основу топологии.
• Дискретная топология имеет в качестве основы совокупность всех одиночных элементов .
• Второе счетное пространство — это пространство, имеющее счетную базу.

Топология Зарисского на спектре кольца имеет базу, состоящую из открытых множеств, обладающих конкретными полезными свойствами. Для обычной базы этой топологии каждое конечное пересечение базисных открытых множеств является базисным открытым множеством.

• Топология Зариского — это топология, в которой алгебраические множества являются замкнутыми. Он имеет основу, образованную множеством дополнений алгебраических гиперповерхностей . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Топология Зарисского спектра кольца (множества простых идеалов ) имеет такую ​​базу, что каждый элемент состоит из всех простых идеалов, не содержащих данного элемента кольца.

Теоремы

• Топология тоньше топологии тогда и только тогда, когда для каждого базового открытого множества содержащих существует базовое открытое множество содержащих и содержащихся в . ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle B}$
• Если это базы топологий , то совокупность всех продуктов множества , каждый из которых является базой топологии продукта . В случае бесконечного продукта это по-прежнему применимо, за исключением того, что все базовые элементы, кроме конечного числа, должны представлять собой все пространство. ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}}$ ${\displaystyle \tau _{1},\ldots ,\tau _{n}}$ ${\displaystyle B_{1}\times \cdots \times B_{n}}$ ${\displaystyle B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$ ${\displaystyle \tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.}$
• Позвольте быть базой для и пусть быть подпространством . Тогда, если мы пересечем каждый элемент с , полученный набор множеств станет базой для подпространства . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$
• Если функция отображает каждое базовое открытое множество в открытое множество , то это открытая карта . Аналогично, если каждый прообраз базового открытого множества открыт в , то он непрерывен . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$является базой топологического пространства тогда и только тогда, когда подсовокупность элементов, содержащих , образует локальную базу в , для любой точки . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$

База для закрытых комплектов

Замкнутые множества одинаково хорошо подходят для описания топологии пространства. Таким образом, существует двойственное понятие базы замкнутых множеств топологического пространства. В топологическом пространстве семейство замкнутых множеств образует базу для замкнутых множеств тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого множества и каждой точки, не входящей в него, существует элемент, содержащий , но не содержащий. Семейство является базой для замкнутых множеств, если и только если его двойственное семейство дополнений членов , является базой для открытых множеств ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

Пусть – база для замкнутых множеств Тогда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing }$
2. Для каждого объединения есть пересечение некоторого подсемейства (т. е. для любого не содержащегося есть некоторое содержащее и не содержащее ). ${\displaystyle C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle C_{1}{\text{ or }}C_{2}}$ ${\displaystyle C_{3}\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle C_{1}\cup C_{2}}$ ${\displaystyle x}$

Любой набор подмножеств множества, удовлетворяющий этим свойствам, образует основу для замкнутых множеств топологии на. Замкнутые множества этой топологии являются в точности пересечениями членов ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$

В некоторых случаях удобнее использовать базу закрытых множеств, а не открытых. Например, пространство вполне регулярно тогда и только тогда, когда нулевые множества образуют базу для замкнутых множеств. В любом топологическом пространстве нулевые множества образуют основу для замкнутых множеств некоторой топологии на Эта топология будет наилучшей полностью регулярной топологией на более грубой, чем исходная. Аналогичным образом топология Зарисского на An определяется путем взятия нулевых наборов полиномиальных функций в качестве основы для замкнутых множеств ^. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

Вес и характер

Мы будем работать с понятиями, установленными в (Engelking 1989, стр. 12, стр. 127-128).

Зафиксируйте X топологическое пространство. Здесь сеть — это семейство множеств, для которого для всех точек x и открытых окрестностей U, содержащих x , существует B , для которого Обратите внимание, что, в отличие от базиса, множества в сети не обязательно должны быть открытыми. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x\in B\subseteq U.}$

Определим вес w ( X ) как минимальную мощность базиса ; мы определяем вес сети nw ( X ) как минимальную мощность сети ; характер точки как минимальная мощность базиса окрестности x в X ; и характер X быть _ ${\displaystyle \chi (x,X),}$

$${\displaystyle \chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.}$$

Смысл вычисления характера и веса состоит в том, чтобы определить, какие типы баз и локальных баз могут существовать. Имеем следующие факты:

• пш ( Икс ) ≤ ш ( Икс ).
• если X дискретно, то w ( X ) знак равно nw ( X ) = | Х |.
• если X хаусдорфово, то nw ( X ) конечно тогда и только тогда, когда X конечно дискретно.
• если B является базисом X , то существует базис размера ${\displaystyle B'\subseteq B}$ ${\displaystyle |B'|\leq w(X).}$
• если N — базис окрестности для x в X , то существует базис окрестности размера ${\displaystyle N'\subseteq N}$ ${\displaystyle |N'|\leq \chi (x,X).}$
• если — непрерывная сюръекция, то nw ( Y ) ≤ w ( X ). (Просто рассмотрим Y -сеть для каждого базиса B из X. ) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}}$
• если хаусдорфова, то существует более слабая хаусдорфова топология , так что тем более , что если X также компактно, то такие топологии совпадают, и, следовательно, в сочетании с первым фактом мы имеем nw ( X ) = w ( X ). ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle (X,\tau ')}$ ${\displaystyle w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).}$
• если непрерывное сюръективное отображение компактного метризуемого пространства в хаусдорфово пространство, то Y компактно метризуемо. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Последний факт следует из того, что f ( X ) компактно по Хаусдорфу и, следовательно (поскольку компактные метризуемые пространства обязательно являются счетными во второй раз); а также тот факт, что хаусдорфовы компакты метризуемы ровно в том случае, если они счетны во второй раз. (Приложением этого, например, является то, что каждый путь в хаусдорфовом пространстве компактно метризуем.) ${\displaystyle nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}}$

Возрастающие цепочки открытых множеств

Используя приведенные выше обозначения, предположим, что w ( X ) ⩽ κ некоторый бесконечный кардинал. Тогда не существует строго возрастающей последовательности открытых множеств (эквивалентно строго убывающей последовательности замкнутых множеств) длины ≥ κ ⁺ .

Чтобы увидеть это (без аксиомы выбора), исправьте

$${\displaystyle \left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },}$$

что напротив

$${\displaystyle \left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}}$$

$${\displaystyle \forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .}$$

Для

$${\displaystyle x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },}$$

U _γxU _γV _αfκ ⁺καγU _γV _α

$${\displaystyle V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.}$$

Это отображение инъективно, иначе было бы α < β с f ( α ) = f ( β ) = γ , что далее означало бы U _γ ⊆ V _α , но также соответствует

$${\displaystyle V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },}$$

κ ⁺κ

Смотрите также

• Теорема Есенина-Вольпина.
• Аксиома склеивания
• Система соседства

Примечания

1. Пустое множество , всегда открытое, представляет собой объединение пустого семейства.

Рекомендации

1. Адамс и Францоза 2009, стр. 46–56.
2. Уиллард 2004, Определение 5.1; Энгелькинг 1989, с. 12; Бурбаки 1989, Определение 6, с. 21; Архангельский, Пономарев 1984, с. 40.
3. Дугунджи 1966, Определение 2.1, с. 64.
4. Уиллард 2004, Теорема 5.3; Энгелькинг 1989, с. 12.
5. Уиллард 2004, Теорема 5.3; Энгелькинг 1989, Предложение 1.2.1.

Библиография

• Адамс, Колин ; Францоза, Роберт (2009). Введение в топологию: чистую и прикладную . Нью-Дели: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC  789880519.
• Архангельский А.В.; Пономарев, В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. Том. 13. Перевод с русского В.К.Джайна. Дордрехт: Издательство Д. Рейделя. Збл  0568.54001.
• Бурбаки, Николя (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Общая топология ]. Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. ОСЛК  18588129.
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. ОСЛК  395340485.
• Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология . Берлин: Хелдерманн Верлаг. ISBN 3-88538-006-4.
• Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Минеола, Нью-Йорк : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7. ОСЛК  115240.