Константа (математика)

Функция или значение, которое не меняется

В математике слово константа имеет несколько значений. Как прилагательное оно относится к невариативности (т. е. неизменности по отношению к некоторому другому значению ); как существительное оно имеет два разных значения:

• Фиксированное и четко определенное число или другой неизменяющийся математический объект . Для обозначения этого значения иногда используются термины математическая константа или физическая константа ^{. [1]}
• Функция , значение которой остается неизменным (т. е. постоянная функция ). ^[2] Такая константа обычно представляет собой переменную , которая не зависит от рассматриваемой основной переменной(й).

Например, общая квадратичная функция обычно записывается как:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,,}$

где a , b и c — константы ( коэффициенты или параметры), а x — переменная — заполнитель для аргумента изучаемой функции. Более явный способ обозначения этой функции:

${\displaystyle x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,}$

что делает ясным статус функции-аргумента x (и, как следствие, постоянство a , b и c ). В этом примере a , b и c являются коэффициентами полинома . Поскольку c встречается в члене, который не включает ^x , его называют постоянным членом многочлена и его можно рассматривать как коэффициент при x0 . В более общем смысле, любой полиномиальный член или выражение нулевой степени (без переменной) является константой. ^{[3] : 18}

Постоянная функция

Константу можно использовать для определения константной функции , которая игнорирует свои аргументы и всегда возвращает одно и то же значение. ^[4] Постоянная функция одной переменной, например , имеет график в виде горизонтальной линии, параллельной оси x . ^[5] Такая функция всегда принимает одно и то же значение (в данном случае 5), поскольку переменная не появляется в выражении, определяющем функцию. ${\displaystyle f(x)=5}$

График . ${\displaystyle f(x)=5}$

Контекстная зависимость

Контекстно-зависимую природу понятия «константа» можно увидеть в этом примере элементарного исчисления:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{since }}x{\text{ is constant (i.e. does not depend on }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constant,} &&{\text{where }}\mathbf {constant} {\text{ means not depending on }}x.\end{aligned}}}$

«Константа» означает отсутствие зависимости от какой-либо переменной; не меняется при изменении этой переменной. В первом случае выше это означает независимость от  h ; во втором — это означает независимость от  x . Константу в более узком контексте можно рассматривать как переменную в более широком контексте.

Известные математические константы

Некоторые значения часто встречаются в математике и обычно обозначаются определенным символом. Эти стандартные символы и их значения называются математическими константами. Примеры включают в себя:

• 0 ( ноль ).
• 1 ( единица ), натуральное число после нуля.
• π ( pi ), константа, представляющая отношение длины окружности к ее диаметру, примерно равная 3,141592653589793238462643. ^[6]
• е , примерно равно 2,718281828459045235360287. ^[7]
• i , мнимая единица такая, что i ² = −1 . ^[8]
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$( квадратный корень из 2 ), длина диагонали квадрата с единичными сторонами, примерно равна 1,414213562373095048801688. ^[9]
• φ ( золотое сечение ), примерно равное 1,618033988749894848204586, или алгебраически, . ^[10] ${\displaystyle 1+{\sqrt {5}} \over 2}$

Константы в исчислении

В исчислении константы обрабатываются по-разному в зависимости от операции. Например, производная (скорость изменения) постоянной функции равна нулю. Это связано с тем, что константы по определению не меняются. Следовательно, их производная равна нулю.

И наоборот, при интегрировании постоянной функции константа умножается на переменную интегрирования.

Во время оценки предела константа остается такой же, какой она была до и после оценки.

Интегрирование функции одной переменной часто предполагает константу интегрирования . Это возникает из-за того, что интеграл является инверсией (противоположностью) производной, а это означает, что цель интегрирования — восстановить исходную функцию перед дифференцированием. Производная постоянной функции равна нулю, как отмечалось выше, а дифференциальный оператор является линейным оператором, поэтому функции, которые отличаются только постоянным членом, имеют одинаковую производную. Чтобы признать это, к неопределенному интегралу добавляется константа интегрирования ; это гарантирует, что будут включены все возможные решения. Константа интегрирования обычно записывается как «c» и представляет собой константу с фиксированным, но неопределенным значением.

Примеры

Если f — постоянная функция такая, что для каждого x тогда ${\displaystyle f(x)=72}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Константа (значения)
• Выражение
• Установлен уровень
• Список математических констант
• Физическая константа

Рекомендации

1. «Определение КОНСТАНТЫ». www.merriam-webster.com . Проверено 9 ноября 2021 г.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Константа». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 августа 2020 г.
3. Ферстер, Пол А. (2006). Алгебра и тригонометрия: функции и приложения, издание для учителей (под ред. Классики). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 0-13-165711-9.
4. Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики. Нью-Йорк: факты в архиве. ISBN 0-8160-5124-0. ОСЛК  56057904.
5. «Алгебра». учебник.math.lamar.edu . Проверено 9 ноября 2021 г.
6. Арндт, Йорг; Хэнель, Кристоф (2001). Пи – освобожден . Спрингер. п. 240. ИСБН 978-3540665724.
7. Вайсштейн, Эрик В. «е». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 ноября 2021 г.
8. Вайсштейн, Эрик В. «i». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 ноября 2021 г.
9. Вайсштейн, Эрик В. «Константа Пифагора». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 ноября 2021 г.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Золотое сечение». mathworld.wolfram.com . Проверено 9 ноября 2021 г.

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с константами, на Викискладе?