Простая функция

В математической области реального анализа простая функция — это действительная (или комплексная ) функция над подмножеством действительной линии , аналогичная ступенчатой функции . Простые функции достаточно «хороши», и их использование упрощает математические рассуждения, теории и доказательства. Например, простые функции принимают только конечное число значений. Некоторые авторы также требуют, чтобы простые функции были измеримыми ; при использовании на практике они неизменно таковы.

Базовым примером простой функции является функция пола на полуоткрытом интервале [1, 9), единственными значениями которой являются {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Более сложный пример — функция Дирихле над действительной линией, которая принимает значение 1, если x рационально, и 0 в противном случае. (Таким образом, слово «простой» в слове «простая функция» имеет техническое значение, несколько расходящееся с общепринятым языком.) Все ступенчатые функции просты.

Простые функции используются в качестве первого этапа разработки теорий интегрирования , таких как интеграл Лебега , потому что для простой функции легко определить интегрирование, а также легко аппроксимировать более общие функции последовательностями простых функций.

Определение

Формально простая функция — это конечная линейная комбинация индикаторных функций измеримых множеств . Точнее, пусть ( X , Σ) — измеримое пространство . Пусть A ₁ , ..., An _∈ Σ — последовательность непересекающихся измеримых множеств, и пусть a ₁ , ..., an _n — последовательность действительных или комплексных чисел . Простая функция – это функция вида $f:X\to \mathbb {C}$

f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\mathbf {1} }_{A_{k}}(x),

где – индикаторная функция множества A . ${\mathbf {1} }_{A}$

Свойства простых функций

Сумма, разность и произведение двух простых функций снова являются простыми функциями, а умножение на константу делает простую функцию простой; отсюда следует, что совокупность всех простых функций на данном измеримом пространстве образует коммутативную алгебру над . $\mathbb {C}$

Интеграция простых функций

Если мера µ определена в пространстве ( X , Σ), интеграл от f по µ равен

\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k}),

если все слагаемые конечны.

Отношение к интеграции Лебега

Приведенный выше интеграл простых функций можно расширить до более общего класса функций, как и определяется интеграл Лебега . Это расширение основано на следующем факте.

Теорема . Любая неотрицательная измеримая функция является поточечным пределом монотонно возрастающей последовательности неотрицательных простых функций.

f\colon X\to \mathbb {R} ^{+}

В утверждении подразумевается, что сигма-алгебра в ко-области является ограничением борелевской σ-алгебры на . Доказательство проводится следующим образом. Пусть – неотрицательная измеримая функция, определенная в пространстве меры . Для каждого разделите ко-область на интервалы длиной . То есть для каждого определите $\mathbb {R} ^{+}$ ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R})$ $\mathbb {R} ^{+}$ $е$ $(X,\Sigma,\mu)$ $n\in \mathbb {N}$ $е$ $2^{2n}+1$ $2^{2n}$ $2^{-n}$ $п$