Интеграл Лебега

Метод интеграции

Интеграл положительной функции можно интерпретировать как площадь под кривой.

В математике интеграл неотрицательной функции одной переменной в простейшем случае можно рассматривать как площадь между графиком этой функции и осью X. Интеграл Лебега , названный в честь французского математика Анри Лебега , является одним из способов сделать это понятие строгим и распространить его на более общие функции .

Интеграл Лебега более общий, чем интеграл Римана , который он в значительной степени заменил в математическом анализе с первой половины 20-го века. Он может вмещать функции с разрывами, возникающими во многих приложениях, которые являются патологическими с точки зрения интеграла Римана. Интеграл Лебега также имеет в целом лучшие аналитические свойства. Например, при мягких условиях можно поменять местами пределы и интегрирование Лебега, в то время как условия для этого с интегралом Римана сравнительно причудливы. Более того, интеграл Лебега может быть обобщен простым способом на более общие пространства, пространства мер , такие как те, которые возникают в теории вероятностей .

Термин «интегрирование Лебега» может означать как общую теорию интегрирования функции по общей мере , введенную Лебегом, так и частный случай интегрирования функции, определенной на подобласти действительной прямой по мере Лебега .

Введение

Интеграл положительной действительной функции f между границами a и b можно интерпретировать как площадь под графиком f между a и b . Это понятие площади подходит для некоторых функций, в основном кусочно- непрерывных функций, включая элементарные функции , например, полиномы . Однако графики других функций, например, функции Дирихле , не очень хорошо соответствуют понятию площади. Графики, подобные последнему, поднимают вопрос: для какого класса функций имеет смысл «площадь под кривой»? Ответ на этот вопрос имеет большое теоретическое значение.

В рамках общего движения к строгости в математике в девятнадцатом веке математики попытались поставить интегральное исчисление на прочный фундамент. Интеграл Римана, предложенный Бернхардом Риманом (1826–1866), является в целом успешной попыткой предоставить такой фундамент. Определение Римана начинается с построения последовательности легко вычисляемых областей, которые сходятся к интегралу заданной функции. Это определение успешно в том смысле, что оно дает ожидаемый ответ для многих уже решенных задач и дает полезные результаты для многих других задач.

Однако интегрирование Римана плохо взаимодействует с взятием пределов последовательностей функций, что затрудняет анализ таких предельных процессов. Это важно, например, при изучении рядов Фурье , преобразований Фурье и других тем. Интеграл Лебега лучше описывает, как и когда можно брать пределы под знаком интеграла (через теорему о монотонной сходимости и теорему о доминируемой сходимости ).

В то время как интеграл Римана рассматривает площадь под кривой как состоящую из вертикальных прямоугольников, определение Лебега рассматривает горизонтальные плиты, которые не обязательно являются просто прямоугольниками, и поэтому оно более гибкое. По этой причине определение Лебега позволяет вычислять интегралы для более широкого класса функций. Например, функция Дирихле, которая равна 1, когда ее аргумент рационален, и 0 в противном случае, имеет интеграл Лебега, но не имеет интеграла Римана. Более того, интеграл Лебега этой функции равен нулю, что согласуется с интуицией, что при выборе действительного числа равномерно случайным образом из единичного интервала вероятность выбора рационального числа должна быть равна нулю.

Лебег обобщил свой подход к интеграции в письме к Полю Монтелю :

Я должен заплатить определенную сумму, которую я накопил в своем кармане. Я достаю купюры и монеты из своего кармана и отдаю их кредитору в том порядке, в котором я их нахожу, пока не достигну общей суммы. Это интеграл Римана. Но я могу поступить и по-другому. После того, как я вынул все деньги из своего кармана, я упорядочиваю купюры и монеты в соответствии с одинаковыми номиналами, а затем выплачиваю несколько кучек одну за другой кредитору. Это мой интеграл.

—  Источник : (Зигмунд-Шульце, 2008 г.)

Идея заключается в том, что нужно иметь возможность свободно переставлять значения функции, сохраняя при этом значение интеграла. Этот процесс перестановки может преобразовать очень патологическую функцию в ту, которая «хороша» с точки зрения интеграции, и, таким образом, позволить таким патологическим функциям быть интегрированными.

Интуитивная интерпретация

Показана измеримая функция вместе с набором { x  : f ( x ) > t } (на оси x ). Интеграл Лебега получается путем разрезания вдоль оси y с использованием одномерной меры Лебега для измерения «ширины» разрезов.

Фолланд (1999) суммирует разницу между подходами Римана и Лебега следующим образом: «чтобы вычислить интеграл Римана от f , нужно разбить область [ a , b ] на подынтервалы», тогда как в интеграле Лебега «по сути разбивается диапазон f ».

Для интеграла Римана область разбивается на интервалы, и столбцы строятся так, чтобы соответствовать высоте графика. Площади этих столбцов складываются, и это приближает интеграл, по сути, суммируя площади вида f ( x ) dx , где f ( x ) — высота прямоугольника, а dx — его ширина.

Для интеграла Лебега диапазон разбивается на интервалы, и поэтому область под графиком разбивается на горизонтальные «плиты» (которые могут не быть связанными множествами). Площадь небольшой горизонтальной «плиты» под графиком f , высотой dy , равна мере ширины плиты, умноженной на dy : Интеграл Лебега затем может быть определен путем сложения площадей этих горизонтальных плит. С этой точки зрения, ключевым отличием от интеграла Римана является то, что «плиты» больше не являются прямоугольными (декартовы произведения двух интервалов), а вместо этого являются декартовыми произведениями измеримого множества с интервалом. $${\displaystyle \mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.}$$

Простые функции

Интеграция Римана (вверху) и Лебега (внизу) сглаженных ежедневных данных о случаях заболевания COVID-19 в Сербии (лето-осень 2021 г.).

Эквивалентный способ введения интеграла Лебега — использовать так называемые простые функции, которые обобщают ступенчатые функции интегрирования Римана. Рассмотрим, например, определение кумулятивного числа случаев COVID-19 из графика сглаженных случаев каждый день (справа).

Подход Римана–Дарбу

Разделите домен (период времени) на интервалы (восемь, в примере справа) и постройте столбцы с высотами, которые соответствуют графику. Кумулятивное количество находится путем суммирования по всем столбцам произведения ширины интервала (время в днях) и высоты столбца (случаев в день).

Подход Лебега

Выберите конечное число целевых значений (в примере восемь) в диапазоне функции. Построение столбцов с высотами, равными этим значениям, но ниже функции, подразумевает разбиение домена на такое же число подмножеств (подмножества, обозначенные цветом в примере, не обязательно должны быть связаны). Это «простая функция», как описано ниже. Кумулятивное количество находится путем суммирования по всем подмножествам домена произведения меры на этом подмножестве (общее время в днях) и высоты столбца (случаев в день).

Связь между точками зрения

Интеграл Лебега можно рассматривать либо в терминах плит, либо в терминах простых функций . Интуитивно, область под простой функцией может быть разделена на плиты на основе (конечного) набора значений в диапазоне простой функции (действительного интервала). И наоборот, (конечный) набор плит в подграфике функции может быть перестроен после конечного переразбиения, чтобы стать подграфиком простой функции.

Точка зрения на плиты позволяет легко определить интеграл Лебега в терминах базового исчисления. Предположим, что — (измеримая по Лебегу) функция, принимающая неотрицательные значения (возможно, включая ). Определим функцию распределения как «ширину плиты», т. е. Тогда является монотонно убывающей и неотрицательной, и, следовательно, имеет (несобственный) интеграл Римана по . Тогда интеграл Лебега можно определить как где интеграл справа — это обычный несобственный интеграл Римана неотрицательной функции (интерпретируемый соответствующим образом, как если бы он был в окрестности 0). ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle F(y)=\mu \{x|f(x)>y\}.}$$ ${\displaystyle F(y)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$ $${\displaystyle \int f\,d\mu =\int _{0}^{\infty }F(y)\,dy}$$ ${\displaystyle +\infty }$ ${\displaystyle F(y)=+\infty }$

Однако в большинстве учебников упор делается на точку зрения простых функций , поскольку в этом случае проще доказать основные теоремы об интеграле Лебега.

Теория меры

Теория меры изначально была создана для того, чтобы предоставить полезную абстракцию понятия длины подмножеств действительной прямой — и, в более общем смысле, площади и объема подмножеств евклидовых пространств. В частности, она дала систематический ответ на вопрос о том, какие подмножества R имеют длину. Как показали более поздние разработки теории множеств (см. неизмеримое множество ), на самом деле невозможно присвоить длину всем подмножествам R таким образом, чтобы сохранить некоторые естественные свойства аддитивности и инвариантности трансляции. Это говорит о том, что выбор подходящего класса измеримых подмножеств является существенной предпосылкой.

Интеграл Римана использует понятие длины явно. Действительно, элементом вычисления для интеграла Римана является прямоугольник [ a , b ] × [ c , d ] , площадь которого вычисляется как ( b − a )( d − c ) . Величина b − a является длиной основания прямоугольника, а d − c является высотой прямоугольника. Риман мог использовать только плоские прямоугольники для аппроксимации площади под кривой, поскольку не существовало адекватной теории для измерения более общих множеств.

В развитии теории в большинстве современных учебников (после 1950 г.) подход к измерению и интегрированию является аксиоматическим . Это означает, что мера — это любая функция μ, определенная на некотором классе X подмножеств множества E , которая удовлетворяет некоторому списку свойств. Можно показать, что эти свойства выполняются во многих различных случаях.

Измеримые функции

Начнем с пространства мер ( E , X , μ ), где E — множество , X — σ-алгебра подмножеств E , а μ — (неотрицательная ) мера на E , определенная на множествах X.

Например, E может быть евклидовым n -пространством R ⁿ или некоторым измеримым по Лебегу подмножеством этого пространства, X является σ-алгеброй всех измеримых по Лебегу подмножеств E , а μ является мерой Лебега. В математической теории вероятностей мы ограничиваем наше исследование вероятностной мерой  μ , которая удовлетворяет μ ( E ) = 1 .

Теория Лебега определяет интегралы для класса функций, называемых измеримыми функциями . Действительная функция f на E измерима, если прообраз каждого интервала формы ( t , ∞) находится в X :

$${\displaystyle \{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .}$$

Мы можем показать, что это эквивалентно требованию, чтобы прообраз любого борелевского подмножества R находился в X. Множество измеримых функций замкнуто относительно алгебраических операций, но, что более важно, оно замкнуто относительно различных видов точечных последовательных пределов :

$${\displaystyle \sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}}$$

измеримы, если исходная последовательность ( f _k ) , где k ∈ N , состоит из измеримых функций.

Существует несколько подходов к определению интеграла для измеримых действительных функций f, определенных на E , и для обозначения такого интеграла используется несколько обозначений.

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f(x)\,d\mu (x)=\int _{E}f(x)\,\mu (dx).}$$

Следуя идентификации в теории распределений мер с распределениями порядка 0 , или с мерами Радона , можно также использовать дуальную парную нотацию и записать интеграл по μ в виде

$${\displaystyle \langle \mu ,f\rangle .}$$

Определение

Теория интеграла Лебега требует теории измеримых множеств и мер на этих множествах, а также теории измеримых функций и интегралов на этих функциях.

С помощью простых функций

Аппроксимация функции простой функцией.

Один из подходов к построению интеграла Лебега заключается в использовании так называемых простых функций : конечных, действительных линейных комбинаций индикаторных функций . Простые функции, которые лежат непосредственно под заданной функцией f, могут быть построены путем разбиения области значений f на конечное число слоев. Пересечение графика f со слоем определяет набор интервалов в области определения f , который, взятый вместе, определяется как прообраз нижней границы этого слоя под простой функцией. Таким образом, разбиение области определения f подразумевает разбиение ее области определения. Интеграл простой функции находится путем суммирования по этим (не обязательно связанным) подмножествам области определения произведения меры подмножества и его образа под простой функцией (нижней границы соответствующего слоя); интуитивно, это произведение является суммой площадей всех брусков одинаковой высоты. Интеграл неотрицательной измеримой функции общего вида определяется как соответствующая верхняя грань приближений простыми функциями, а интеграл (не обязательно положительной) измеримой функции — это разность двух интегралов неотрицательных измеримых функций. ^[1]

Индикаторные функции

Чтобы присвоить значение интегралу индикаторной функции 1 _S измеримого множества S, согласующегося с заданной мерой μ , единственным разумным выбором является установление:

$${\displaystyle \int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).}$$

Обратите внимание, что результат может быть равен +∞ , если только μ не является конечной мерой.

Простые функции

Конечная линейная комбинация индикаторных функций

$${\displaystyle \sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

где коэффициенты a _k — действительные числа, а S _k — непересекающиеся измеримые множества, называется измеримой простой функцией . Мы расширяем интеграл по линейности до неотрицательных измеримых простых функций. Когда коэффициенты a _k положительны, мы положим

$${\displaystyle \int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})}$$

конечна ли эта сумма или +∞. Простую функцию можно записать по-разному в виде линейной комбинации индикаторных функций, но интеграл будет тем же в силу аддитивности мер.

При определении интеграла действительной простой функции требуется определенная осторожность, чтобы избежать неопределенного выражения ∞ − ∞ : предполагается, что представление

$${\displaystyle f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}}$$

таково, что μ( S _k ) < ∞ всякий раз, когда a _k ≠ 0. Тогда приведенная выше формула для интеграла f имеет смысл, и результат не зависит от конкретного представления f , удовлетворяющего предположениям. ^[2]

Если B — измеримое подмножество E , а s — измеримая простая функция, то определяется

$${\displaystyle \int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).}$$

Неотрицательные функции

Пусть f — неотрицательная измеримая функция на E , которой мы позволяем достигать значения +∞ , другими словами, f принимает неотрицательные значения в расширенной числовой прямой . Определим

$${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}$$

Нам нужно показать, что этот интеграл совпадает с предыдущим, определенным на множестве простых функций, когда E — отрезок [ a , b ] . Также возникает вопрос, соответствует ли это каким-либо образом римановскому понятию интегрирования. Можно доказать, что ответ на оба вопроса — да.

Мы определили интеграл f для любой неотрицательной расширенной действительной измеримой функции на E. Для некоторых функций этот интеграл бесконечен. ${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$

Часто бывает полезно иметь определенную последовательность простых функций, которая хорошо аппроксимирует интеграл Лебега (аналогично сумме Римана). Для неотрицательной измеримой функции f пусть будет простой функцией, значение которой равно всякий раз , когда , для k — неотрицательного целого числа, меньшего, скажем, . Тогда можно напрямую доказать, что и что предел в правой части существует как расширенное действительное число. Это связывает подход к интегралу Лебега с использованием простых функций и мотивацию для интеграла Лебега с использованием разбиения диапазона. ${\textstyle s_{n}(x)}$ ${\textstyle k/2^{n}}$ ${\textstyle k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}}$ ${\textstyle 4^{n}}$ $${\displaystyle \int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu }$$

Подписанные функции

Для работы со знаковыми функциями нам нужно еще несколько определений. Если f — измеримая функция множества E в вещественных числах (включая ±∞ ), то мы можем записать $${\displaystyle f=f^{+}-f^{-},}$$

где $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{if }}f(x)>0,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Обратите внимание, что f ⁺ и f ⁻ являются неотрицательными измеримыми функциями. Также обратите внимание, что

$${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.}$$

Мы говорим, что интеграл Лебега измеримой функции f существует или определен , если хотя бы один из и конечен: ${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$ ${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$

$${\displaystyle \min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .}$$

В этом случае мы определяем

$${\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}$$

Если

$${\displaystyle \int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,}$$

мы говорим, что f интегрируема по Лебегу .

Оказывается, это определение дает желаемые свойства интеграла.

Через несобственный интеграл Римана

Предполагая, что f измерима и неотрицательна, функция монотонно не возрастает. Интеграл Лебега может быть тогда определен как несобственный интеграл Римана от f ^∗ : ^[3] Этот интеграл несобственный на верхнем пределе ∞ , а возможно, и в нуле. Он существует, с допущением, что он может быть бесконечным. ^{[4] [5]} $${\displaystyle f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right).}$$ $${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt.}$$

Как и выше, интеграл интегрируемой по Лебегу (не обязательно неотрицательной) функции определяется путем вычитания интеграла ее положительной и отрицательной частей.

Комплекснозначные функции

Аналогичным образом можно интегрировать и комплекснозначные функции, рассматривая действительную и мнимую части по отдельности. ^[6]

Если h = f + ig для действительных интегрируемых функций f , g , то интеграл h определяется как $${\displaystyle \int h\,d\mu =\int f\,d\mu +i\int g\,d\mu .}$$

Функция интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда ее абсолютное значение интегрируемо по Лебегу (см. Абсолютно интегрируемая функция ).

Пример

Рассмотрим индикаторную функцию рациональных чисел 1 _Q , также известную как функция Дирихле. Эта функция нигде не непрерывна .

• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ не интегрируемо по Риману на [0, 1] : Независимо от того, как множество [0, 1] разбито на подынтервалы, каждое разбиение содержит по крайней мере одно рациональное и по крайней мере одно иррациональное число, поскольку рациональные и иррациональные числа плотны в вещественных числах. Таким образом, все верхние суммы Дарбу равны единице, а все нижние суммы Дарбу равны нулю.
• ${\displaystyle 1_{\mathbf {Q} }}$ интегрируемо по Лебегу на [0, 1] с использованием меры Лебега : Действительно, это индикаторная функция рациональных чисел, поэтому по определению , поскольку Q счетно . $${\displaystyle \int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,}$$

Домен интеграции

Техническая проблема в интегрировании Лебега заключается в том, что область интегрирования определяется как множество ( подмножество пространства меры) без понятия ориентации. В элементарном исчислении определяется интегрирование относительно ориентации : Обобщение этого на более высокие измерения дает интегрирование дифференциальных форм . Напротив, интегрирование Лебега обеспечивает альтернативное обобщение, интегрируя по подмножествам относительно меры; это можно обозначить как указание на интегрирование по подмножеству A. Подробнее о связи между этими обобщениями см. Дифференциальная форма § Связь с мерами . Основная теория, связывающая эти идеи, — это теория гомологической интеграции (иногда называемая геометрической теорией интегрирования), впервые предложенная Жоржем де Рамом и Хасслером Уитни . ^[7] $${\displaystyle \int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.}$$ $${\displaystyle \int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu }$$

Ограничения интеграла Римана

С появлением рядов Фурье возникло много аналитических задач с интегралами, для удовлетворительного решения которых требовалось менять местами предельные процессы и знаки интегралов. Однако условия, при которых интегралы

$${\displaystyle \sum _{k}\int f_{k}(x)\,dx,\quad \int \left[\sum _{k}f_{k}(x)\right]dx}$$

равны оказались довольно неуловимыми в рамках Римана. Есть и другие технические трудности с интегралом Римана. Они связаны с трудностью взятия предела, обсуждавшейся выше.

Нарушение монотонной сходимости

Как показано выше, индикаторная функция 1 _Q на рациональных числах не является интегрируемой по Риману. В частности, теорема о монотонной сходимости неверна. Чтобы понять, почему, пусть { a _k } будет перечислением всех рациональных чисел в [0, 1] (они счетны, поэтому это можно сделать ). Тогда пусть $${\displaystyle g_{k}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x=a_{j},j\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Функция g _k равна нулю всюду, за исключением конечного множества точек. Следовательно, ее интеграл Римана равен нулю. Каждая g _k неотрицательна, и эта последовательность функций монотонно возрастает, но ее предел при k → ∞ равен 1 _Q , что не является интегрируемым по Риману.

Непригодность для неограниченных интервалов

Интеграл Римана может интегрировать функции только на ограниченном интервале. Однако его можно распространить на неограниченные интервалы, взяв пределы, если это не даст ответ типа ∞ − ∞ .

Интегрирование по структурам, отличным от евклидова пространства

Интеграл Римана неразрывно связан с порядковой структурой действительной прямой.

Основные теоремы интеграла Лебега

Говорят, что две функции равны почти всюду ( для краткости), если является подмножеством нулевого множества . Измеримость множества не требуется. ${\displaystyle f\ {\stackrel {\text{a.e.}}{=}}\ g}$ ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$ ${\displaystyle \{x\mid f(x)\neq g(x)\}}$

Следующие теоремы доказаны в большинстве учебников по теории меры и интегрированию Лебега. ^[8]

• Если f и g — неотрицательные измеримые функции (возможно, принимающие значение +∞ ), такие, что f = g почти всюду, то, а именно, интеграл соблюдает отношение эквивалентности равенства почти всюду. $${\displaystyle \int f\,d\mu =\int g\,d\mu .}$$
• Если f и g — такие функции, что f = g почти всюду, то f интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда g интегрируема по Лебегу, а интегралы f и g одинаковы, если они существуют.
• Линейность : если f и g — функции, интегрируемые по Лебегу, а a и b — действительные числа, то af + bg — интегрируемая по Лебегу функция и $${\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .}$$
• Монотонность : Если f ≤ g , то $${\displaystyle \int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .}$$
• Теорема о монотонной сходимости : Предположим, что { f _k } _{k ∈ N} — последовательность неотрицательных измеримых функций, такая что Тогда поточечный предел f функции f _k измерим по Лебегу и значение любого из интегралов может быть бесконечным. $${\displaystyle f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.}$$ $${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$
• Лемма Фату : Если { f _k } _{k ∈ N} — последовательность неотрицательных измеримых функций, то снова значение любого из интегралов может быть бесконечным. $${\displaystyle \int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .}$$
• Теорема о доминирующей сходимости : Предположим, что { f _k } _{k ∈ N} — последовательность комплексных измеримых функций с поточечным пределом f , и существует интегрируемая по Лебегу функция g (т. е. g принадлежит пространству L 1 ⁾ такая , что | f _k | ≤ g для всех k . Тогда f интегрируема по Лебегу и $${\displaystyle \lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .}$$

Необходимые и достаточные условия для взаимозамены пределов и интегралов были доказаны Кафьеро, ^{[9] [10] [11] [12],} обобщив более ранние работы Ренато Каччиопполи, Владимира Дубровского и Гаэтано Фикеры. ^[13]

Альтернативные формулировки

Интеграл относительно меры Лебега можно развить, не полагаясь на весь аппарат теории меры. Один из таких подходов обеспечивается интегралом Даниэля .

Существует также альтернативный подход к разработке теории интегрирования с помощью методов функционального анализа . Интеграл Римана существует для любой непрерывной функции f с компактным носителем, определенной на R ⁿ (или фиксированном открытом подмножестве). Интегралы более общих функций могут быть построены, начиная с этих интегралов.

Пусть C _c — пространство всех вещественнозначных непрерывных функций с компактным носителем из R. Определим норму на C _c как $${\displaystyle \left\|f\right\|=\int |f(x)|\,dx.}$$

Тогда C _c является нормированным векторным пространством (и, в частности, является метрическим пространством.) Все метрические пространства имеют хаусдорфовы пополнения , поэтому пусть L ¹ будет его пополнением. Это пространство изоморфно пространству интегрируемых по Лебегу функций по модулю подпространства функций с нулевым интегралом. Более того, интеграл Римана ∫ является равномерно непрерывным функционалом относительно нормы на C _c , которая плотна в L ¹ . Следовательно, ∫ имеет единственное продолжение на все L ¹ . Этот интеграл в точности является интегралом Лебега.

В более общем случае, когда пространство мер, на котором определены функции, также является локально компактным топологическим пространством (как в случае с действительными числами R ), меры, совместимые с топологией в подходящем смысле ( меры Радона , примером которых является мера Лебега), интеграл по ним может быть определен таким же образом, начиная с интегралов непрерывных функций с компактным носителем . Точнее, функции с компактным носителем образуют векторное пространство , которое несет естественную топологию , и мера (Радона) определяется как непрерывный линейный функционал на этом пространстве. Значение меры в функции с компактным носителем тогда также по определению является интегралом функции. Затем можно перейти к расширению меры (интеграла) до более общих функций по непрерывности и определить меру множества как интеграл его индикаторной функции. Это подход, принятый Николя Бурбаки ^[14] и некоторыми другими авторами. Подробности см. в мерах Радона .

Ограничения интеграла Лебега

Основная цель интеграла Лебега — предоставить интегральное понятие, в котором пределы интегралов выполняются при умеренных предположениях. Нет гарантии, что каждая функция интегрируема по Лебегу. Но может случиться, что несобственные интегралы существуют для функций, которые не интегрируемы по Лебегу. Одним из примеров может служить функция sinc : по всей действительной оси. Эта функция не интегрируема по Лебегу, так как С другой стороны, существует как несобственный интеграл и может быть вычислена как конечная; она в два раза больше интеграла Дирихле и равна . $${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$$ $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .}$$ ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$ ${\displaystyle \pi }$

Смотрите также

• Анри Лебег , за нетехническое описание интегрирования Лебега
• Нулевой набор
• Интеграция
• Мера
• Сигма-алгебра
• пространство Лебега
• Интеграция Лебега-Стилтьеса
• Интеграл Римана
• Интеграл Хенстока–Курцвейла

Примечания

1. Этот подход можно найти в большинстве работ по измерению и интеграции, например, у Ройдена (1988).
2. Лемма 1 на странице 76 второго издания книги Ройдена «Вещественный анализ».
3. Либ и Лосс 2001
4. Если f  ^∗ бесконечна во внутренней точке области, то интеграл должен быть взят равным бесконечности. В противном случае f  ^∗ конечна всюду на (0, +∞) и, следовательно, ограничена на каждом конечном интервале [ a , b ] , где a > 0 . Поэтому несобственный интеграл Римана (будь то конечный или бесконечный) корректно определен.
5. Эквивалентно, можно было бы определить, поскольку для почти всех ${\displaystyle f^{*}(t)\ =\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)\geq t\}\right),}$ ${\displaystyle \mu \left(\{x\in E\mid f(x)\geq t\}\right)=\mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right)}$ ${\displaystyle t.}$
6. Рудин 1966
7. Уитни 1957
8. Фолланд 1999
9. Кафьеро, Ф. (1953), "Sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per Successioni d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con Masse Variabili con gli integrandi [О предельном переходе под интегральным символом" для последовательностей интегралов Стилтьеса–Лебега в абстрактных пространствах с массами, меняющимися совместно с подынтегральными выражениями]» (итальянский), Rendiconti del Seminario della Università di Padova, 22: 223–245, MR0057951, Zbl 0052.05003.
10. Кафьеро, Ф. (1959), Misura e integrazione [Мера и интеграция] (итальянский), Monografie matematiche del Consiglio Nazionale delle Ricerche 5, Roma: Edizioni Cremonese, стр. VII + 451, MR0215954, Zbl 0171.01503.
11. Летта, Г. (2013), Argomenti scelti di Teoria della Misura [Избранные темы теории меры], (на итальянском языке) Quaderni dell'Unione Matematica Italiana 54, Болонья: Unione Matematica Italiana, стр. XI + 183, ISBN 88- 371-1880-5, Збл 1326.28001. Ч. VIII, стр. 110–128.
12. Даниэле Тампиери (https://mathoverflow.net/users/113756/daniele-tampieri), Знаете ли вы важные теоремы, которые остаются неизвестными?, URL (версия: 2021-12-31): https://mathoverflow.net/q/296839
13. Фичера, Г. (1943), «Intorno al passaggio al limite sotto il segno d'integrale» [О предельном переходе под интегральным символом] (итальянский), Portugaliae Mathematica, 4 (1): 1–20, MR0009192, Збл 0063.01364.
14. Бурбаки 2004.

Ссылки

• Бартл, Роберт Г. (1995). Элементы интегрирования и мера Лебега . Библиотека классических произведений Wiley. Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. МР  1312157.
• Бауэр, Хайнц (2001). Теория меры и интегрирования . Исследования Де Грютера по математике 26. Берлин: Де Грюйтер. 236. ИСБН 978-3-11-016719-1.
• Бурбаки, Николя (2004). Интеграция. I. Главы 1–6. Перевод с французских оригиналов 1959, 1965 и 1967 годов Стерлингом К. Берберианом . Элементы математики (Берлин). Берлин: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. МР  2018901.
• Дадли, Ричард М. (1989). Действительный анализ и вероятность . Математическая серия Уодсворта и Брукса/Коула. Пасифик-Гроув, Калифорния: Уодсворта и Брукса/Коула Продвинутые книги и программное обеспечение. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. МР  0982264.Очень тщательная обработка, особенно для специалистов по теории вероятностей, с хорошими примечаниями и историческими ссылками.
• Фолланд, Джеральд Б. (1999). Действительный анализ: Современные методы и их приложения . Чистая и прикладная математика (Нью-Йорк) (Второе изд.). Нью-Йорк: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. МР  1681462.
• Халмос, Пол Р. (1950). Теория меры . Нью-Йорк, Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company, Inc. стр. xi+304. MR  0033869.Классическая, хотя и несколько устаревшая презентация.
• «Интеграл Лебега», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Лебег, Анри (1904), Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primes , Париж: Готье-Виллар
• Лебег, Анри (1972). Oeuvres Scientifiques (в пяти томах) (на французском языке). Женева: Институт математики Женевского университета. п. 405. МР  0389523.
• Либ, Эллиотт ; Лосс, Майкл (2001). Анализ . Аспирантура по математике . Том 14 (2-е изд.). Американское математическое общество . ISBN 978-0821827833.
• Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ . Торонто-Нью-Йорк-Лондон: D. Van Nostrand Company, Inc. стр. x+190. MR  0054173.Включает презентацию интеграла Даниэля.
• Марсден (1974), Элементарный классический анализ , WH Freeman.
• Манро, М. Э. (1953). Введение в измерение и интегрирование . Кембридж, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Company Inc. стр. x+310. MR  0053186.Хорошее изложение теории внешних мер.
• Ройден, HL (1988). Реальный анализ (Третье изд.). Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company. стр. xx+444. ISBN 0-02-404151-3. МР  1013117.
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Международная серия по чистой и прикладной математике (третье изд.). Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. стр. x+342. MR  0385023. Известен как «Малый Рудин» , содержит основы теории Лебега, но не рассматривает такой материал, как теорема Фубини .
• Рудин, Уолтер (1966). Действительный и комплексный анализ . Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co. стр. xi+412. MR  0210528.Известный как Большой Рудин . Полное и тщательное изложение теории. Хорошее изложение теорем расширения Рисса. Однако есть небольшой изъян (в первом издании) в доказательстве одной из теорем расширения, открытие которой составляет упражнение 21 главы 2.
• Сакс, Станислав (1937). Теория интеграла. Монография Математическая. Том. 7 (2-е изд.). Варшава – Львов : GE Stechert & Co. JFM  63.0183.05. Збл  0017.30004.Английский перевод Лоренса Чисхолма Янга с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха .
• Шилов, Г.Е.; Гуревич, Б.Л. (1977). Интеграл, мера и производная: единый подход. Перевод с русского и под редакцией Ричарда А. Сильвермана . Dover Books on Advanced Mathematics. Нью-Йорк: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. МР  0466463.Подчеркивает интеграл Даниэля .
• Зигмунд-Шульце, Рейнхард (2008), «Анри Лебег», в Тимоти Гауэрсе; Джун Барроу-Грин; Имре Лидер (ред.), Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press.
• Тешль, Джеральд . Темы действительного и функционального анализа. (конспекты лекций).
• Уитни, Х. (1957), Геометрическая теория интегрирования , Princeton Mathematical Series, т. 21, Принстон, Нью-Джерси и Лондон: Princeton University Press и Oxford University Press , стр. XV+387, MR  0087148, Zbl  0083.28204.
• Йе, Джеймс (2006). Действительный анализ: теория меры и интеграла 2-е издание. Мягкая обложка . Сингапур: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. стр. 760. ISBN 978-981-256-6.