Функция индикатора

Математическая функция, характеризующая принадлежность множества

Трехмерный график индикаторной функции, показанный на квадратной двумерной области (множество X ): «выступающая» часть перекрывает те двумерные точки, которые являются членами «указанного» подмножества ( A ).

В математике индикаторная функция или характеристическая функция подмножества множества — это функция , которая отображает элементы подмножества в единицу, а все остальные элементы — в ноль . То есть, если A — подмножество некоторого множества X , то если и иначе, где — общее обозначение индикаторной функции. Другими распространенными обозначениями являются и ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}$ ${\displaystyle x\in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ ${\displaystyle I_{A},}$ ${\displaystyle \chi _{A}.}$

Индикаторной функцией A является скобка Айверсона свойства принадлежности A ; то есть,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}$$

Например, функция Дирихле является индикаторной функцией рациональных чисел как подмножества действительных чисел .

Определение

Индикаторной функцией подмножества А множества X является функция

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$$

определяется как

1 А ( Икс ) знак равно { 1 если Икс ∈ А , 0 если Икс ∉ А . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~& {\text{ if }}~x\in A~,\\0~& {\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}

Скобка Айверсона обеспечивает эквивалентное обозначение, или ⟦ x ∈ A ⟧ , которое можно использовать вместо ${\displaystyle [x\in A]}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)\,.}$

_Эту функцию иногда обозначают I _A , χ _A , KA или даже просто A . ^{[а] [б]} ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

Обозначения и терминология

Обозначение также используется для обозначения характеристической функции в выпуклом анализе , которая определяется как если бы использовалась обратная величина стандартного определения индикаторной функции. ${\displaystyle \chi _{A}}$

Связанное с этим понятие в статистике — это фиктивная переменная . (Это не следует путать с «фиктивными переменными», поскольку этот термин обычно используется в математике и также называется связанной переменной .)

Термин « характеристическая функция » имеет несвязанное значение в классической теории вероятностей . По этой причине традиционные специалисты по теории вероятностей почти исключительно используют термин « индикаторная функция» для обозначения функции, определенной здесь, в то время как математики в других областях чаще используют термин « характеристическая функция ^[a]» для описания функции, указывающей на принадлежность к множеству.

В нечеткой логике и современной многозначной логике предикаты являются характеристическими функциями распределения вероятностей . То есть строгая истинная/ложная оценка предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.

Основные свойства

Индикаторная или характеристическая функция подмножества A некоторого множества X отображает элементы X в диапазон . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Это отображение сюръективно только тогда, когда A является непустым собственным подмножеством X . Если то По аналогичному рассуждению, если то ${\displaystyle A\equiv X,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}$ ${\displaystyle A\equiv \emptyset }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}$

Если и являются двумя подмножествами, то ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}$$

а индикаторная функция дополнения ie равна : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{C}}$

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

В более общем смысле, предположим, что это коллекция подмножеств X . Для любого ${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$ ${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$$

очевидно, является произведением 0 с и 1 с. Это произведение имеет значение 1 ровно в тех случаях , когда оно не принадлежит ни одному из наборов, и равно 0 в противном случае. То есть ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle A_{k}}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

Развертывание продукта с левой стороны,

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

где мощность F . _ _ Это одна из форм принципа включения-исключения . ${\displaystyle |F|}$

Как следует из предыдущего примера, индикаторная функция — полезное средство обозначения в комбинаторике . Обозначения используются и в других местах, например, в теории вероятностей : если X — вероятностное пространство с вероятностной мерой , а A — измеримое множество , то становится случайной величиной , ожидаемое значение которой равно вероятности A : ${\displaystyle \operatorname {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).}$$

Это тождество используется в простом доказательстве неравенства Маркова .

Во многих случаях, например, в теории порядка , может быть определена обратная индикаторная функция. Это обычно называют обобщенной функцией Мёбиуса , как обобщение обратной индикаторной функции в элементарной теории чисел , функции Мёбиуса . (См. параграф ниже об использовании обратного в классической теории рекурсии.)

Среднее значение, дисперсия и ковариация

Учитывая вероятностное пространство с индикаторной случайной величиной, определяется следующим образом: если в противном случае ${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$ ${\displaystyle \omega \in A,}$ ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

Иметь в виду

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$ (также называемый «Фундаментальный мост»).

Дисперсия

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$

Ковариация

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

Характеристическая функция в теории рекурсии, представляющая функция Гёделя и Клини

Курт Гёдель описал представляющую функцию в своей статье 1934 года «О неразрешимых утверждениях формальных математических систем» («¬» указывает на логическую инверсию, т.е. «НЕ»): ^{[1] : 42}

Каждому классу или отношению R должна соответствовать представляющая функция, если и если ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$ ${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$ ${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

Клини предлагает то же определение в контексте примитивно -рекурсивных функций, поскольку функция φ предиката P принимает значения 0 , если предикат истинен, и 1, если предикат ложен. ^[2]

Например, поскольку произведение характеристических функций всякий раз, когда какая-либо из функций равна 0 , оно играет роль логического ИЛИ: ЕСЛИ ИЛИ ИЛИ... ИЛИ ТО их произведение равно 0 . То, что современному читателю кажется логической инверсией представляющей функции, т.е. представляющая функция равна 0 , когда функция R «истинна» или удовлетворена», играет полезную роль в определении Клини логических функций ИЛИ, И и ПОДЛЕЖИТ, ^{[ 2] : 228} ограниченные- ^{[2] : 228} и неограниченные- ^{[2] : 279 ff} mu операторы и функция CASE. ^{[2] : 229} ${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$ ${\displaystyle \phi _{1}=0}$ ${\displaystyle \phi _{2}=0}$ ${\displaystyle \phi _{n}=0}$

Характеристическая функция в теории нечетких множеств

В классической математике характеристические функции множеств принимают только значения 1 (члены) или 0 (не члены). В теории нечетких множеств характеристические функции обобщаются, чтобы принимать значения в действительном единичном интервале [0, 1] или, в более общем смысле, в некоторой алгебре или структуре (обычно требуется, чтобы они были как минимум частично упорядоченным множеством или решеткой ). Такие обобщенные характеристические функции чаще называют функциями принадлежности , а соответствующие «множества» — нечеткими множествами. Нечеткие множества моделируют постепенное изменение степени принадлежности, наблюдаемое во многих реальных предикатах, таких как «высокий», «теплый» и т. д.

Гладкость

В целом индикаторная функция множества не является гладкой; оно непрерывно тогда и только тогда, когда его носитель является компонентой связности . Однако в алгебраической геометрии конечных полей каждое аффинное многообразие допускает непрерывную индикаторную функцию ( Зарисского ). ^[3] Учитывая конечный набор функций, пусть это их точка исчезновения. Тогда функция действует как индикаторная функция для . Если тогда , в противном случае для некоторого имеем , откуда следует, что , следовательно . ${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle V=\left\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\right\}}$ ${\textstyle P(x)=\prod \left(1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle P(x)=1}$ ${\displaystyle f_{\alpha }}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$ ${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1}$ ${\displaystyle P(x)=0}$

Хотя индикаторные функции не являются гладкими, они допускают слабые производные . Например, рассмотрим ступенчатую функцию Хевисайда.

$${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x>0}}$$

производнаядельта-функции Дирака

$${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)}$$

$${\displaystyle G(x):=\mathbf {1} _{x<0}}$$

$${\displaystyle {\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)}$$

Таким образом, производную ступенчатой ​​функции Хевисайда можно рассматривать как внутреннюю нормальную производную на границе области, заданной положительной полупрямой. В более высоких измерениях производная естественным образом обобщается до производной по внутренней нормали, а ступенчатая функция Хевисайда естественным образом обобщается до индикаторной функции некоторой области D . Поверхность D обозначим S. _ Продолжая, можно сделать вывод, что внутренняя нормальная производная индикатора порождает «поверхностную дельта-функцию», которая может обозначаться : ${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$

$${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}}$$

nнормальS. ^[4]

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

Принимая функцию f равной единице, следует, что внутренняя нормальная производная показателя интегрируется с числовым значением площади поверхности S .

Смотрите также

• Мера Дирака
• Лапласиан индикатора
• Дельта Дирака
• Расширение (логика предикатов)
• Свободные переменные и связанные переменные
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Функция идентификации
• Кронштейн Айверсона
• Дельта Кронекера — функция, которую можно рассматривать как индикатор тождественного отношения.
• Брекеты Маколея
• Мультисет
• Функция членства
• Простая функция
• Фиктивная переменная (статистика)
• Статистическая классификация
• Функция потерь ноль-единица

Примечания

1. Греческая буква χ появляется потому, что это начальная буква греческого слова χαρακτήρ , которое является основным источником слова «характеристика» .
2. Набор всех индикаторных функций на X можно отождествить с набором мощности X. Следовательно, оба множества иногда обозначаются как Это частный случай ( ) обозначения множества всех функций ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X),}$ ${\displaystyle 2^{X}.}$ ${\displaystyle Y=\{0,1\}=2}$ ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

Рекомендации

1. Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press. стр. 41–74.
2. Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company. п. 227.
3. Серр. Курс арифметики . п. 5.
4. Ланге, Рутгер-Ян (2012). «Теория потенциала, интегралы по путям и лапласиан индикатора». Журнал физики высоких энергий . 2012 (11): 29–30. arXiv : 1302.0864 . Бибкод : 2012JHEP...11..032L. doi : 10.1007/JHEP11(2012)032. S2CID  56188533.

Источники

• Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6.
• Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Штейн, Клиффорд (2001). «Раздел 5.2: Индикаторные случайные величины». Введение в алгоритмы (второе изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3.
• Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press.
• Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company.
• Булос, Джордж ; Берджесс, Джон П .; Джеффри, Ричард С. (2002). Вычислимость и логика . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-00758-0.
• Заде, Луизиана (июнь 1965 г.). «Нечеткие множества». Информация и контроль . Сан Диего. 8 (3): 338–353. дои : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN  0019-9958. Збл  0139.24606. Викиданные  Q25938993.
• Гоген, Джозеф (1967). « L -нечеткие множества». Журнал математического анализа и приложений . 18 (1): 145–174. дои : 10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl : 10338.dmlcz/103980 .