Курт Фридрих Гёдель ( / ˈ ɡ ɜːr d əl / GUR -dəl ; [2] немецкий: [kʊʁt ˈɡøːdl̩] ; 28 апреля 1906 г. – 14 января 1978 г.) был логиком,математикомифилософом. Считающийся наряду сАристотелемиГотлобом Фрегеодним из самых значительных логиков в истории, Гёдель оказал глубокое влияние на научное и философское мышление в 20 веке (в то время, когдаБертран Рассел[3] Альфред Норт Уайтхед[3]иДэвид Гильбертиспользовалилогикуитеорию множествдля исследованияоснов математики), опираясь на более ранние работы Фреге,Рихарда ДедекиндаиГеорга Кантора.
Открытия Гёделя в области оснований математики привели к доказательству его теоремы о полноте в 1929 году как части его диссертации для получения докторской степени в Венском университете и публикации теорем Гёделя о неполноте два года спустя, в 1931 году. Первая теорема о неполноте утверждает, что для любой ω-непротиворечивой рекурсивной аксиоматической системы, достаточно мощной, чтобы описать арифметику натуральных чисел (например, арифметика Пеано ), существуют истинные предложения о натуральных числах, которые не могут быть ни доказаны, ни опровергнуты из аксиом. [4] Чтобы доказать это, Гёдель разработал технику, теперь известную как нумерация Гёделя , которая кодирует формальные выражения как натуральные числа. Вторая теорема о неполноте, которая следует из первой, утверждает, что система не может доказать свою собственную непротиворечивость. [5]
Гёдель также показал, что ни аксиома выбора , ни гипотеза континуума не могут быть опровергнуты из принятой теории множеств Цермело–Френкеля , если предположить, что ее аксиомы непротиворечивы. Первый результат открыл математикам возможность предполагать аксиому выбора в своих доказательствах. Он также внес важный вклад в теорию доказательств , прояснив связи между классической логикой , интуиционистской логикой и модальной логикой .
Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Брюнне, Австро-Венгрия (ныне Брно , Чешская Республика ), в немецкоязычной семье Рудольфа Гёделя (1874–1929), управляющего директора и совладельца крупной текстильной фирмы, и Марианны Гёдель ( урождённой Хандшу, 1879–1966). [6] На момент его рождения в городе было немецкоязычное большинство, включая его родителей. [7] Его отец был католиком, а мать — протестанткой, и дети были воспитаны как протестанты. Предки Курта Гёделя часто принимали активное участие в культурной жизни Брюнна. Например, его дед Йозеф Гёдель был известным певцом в своё время и в течение нескольких лет был членом Brünner Männergesangverein (Мужской хоровой союз Брюнна). [8]
Гёдель автоматически стал гражданином Чехословакии в возрасте 12 лет, когда Австро-Венгерская империя рухнула после поражения в Первой мировой войне . По словам его одноклассника Клепетара , как и многие жители преимущественно немецких Судетских земель , «Гёдель всегда считал себя австрийцем и изгнанником в Чехословакии». [9] В феврале 1929 года ему было предоставлено освобождение от чехословацкого гражданства, а затем, в апреле, ему было предоставлено австрийское гражданство. [10] Когда Германия аннексировала Австрию в 1938 году, Гёдель автоматически стал гражданином Германии в возрасте 32 лет. В 1948 году, после Второй мировой войны , в возрасте 42 лет он стал гражданином США. [11]
В семье юного Гёделя прозвали Герр Варум («Господин Почему») из-за его ненасытного любопытства. По словам его брата Рудольфа, в возрасте шести или семи лет Курт заболел ревматизмом ; он полностью выздоровел, но на всю оставшуюся жизнь остался убежденным, что его сердце получило необратимое повреждение. Начиная с четырех лет, Гёдель страдал от «частых эпизодов плохого самочувствия», которые продолжались всю его жизнь. [12]
Гёдель посещал Evangelische Volksschule , лютеранскую школу в Брюнне с 1912 по 1916 год, и был зачислен в Deutsches Staats-Realgymnasium с 1916 по 1924 год, преуспев с отличием по всем своим предметам, особенно по математике, языкам и религии. Хотя Гёдель сначала преуспел в языках, позже он больше заинтересовался историей и математикой. Его интерес к математике возрос, когда в 1920 году его старший брат Рудольф (родился в 1902 году) уехал в Вену , где он учился на медицинском факультете Венского университета . В подростковом возрасте Гёдель изучал стенографию Габельсбергера [ 13] и критику Исаака Ньютона , а также труды Иммануила Канта [14] .
В возрасте 18 лет Гёдель присоединился к своему брату в Венском университете . Он уже освоил математику университетского уровня. [15] Хотя изначально он намеревался изучать теоретическую физику , он также посещал курсы по математике и философии. [16] В это время он принял идеи математического реализма . Он прочитал «Метафизические основы естествознания » Канта и участвовал в Венском кружке с Морицем Шликом , Гансом Ханом и Рудольфом Карнапом . Затем Гёдель изучал теорию чисел , но когда он принял участие в семинаре, проводимом Морицем Шликом , на котором изучалась книга Бертрана Рассела «Введение в математическую философию» , он заинтересовался математической логикой . По словам Гёделя, математическая логика была «наукой, предшествующей всем другим, которая содержит идеи и принципы, лежащие в основе всех наук». [17]
Посещение лекции Дэвида Гильберта в Болонье о полноте и непротиворечивости в математических системах, возможно, определило жизненный путь Гёделя. В 1928 году Гильберт и Вильгельм Аккерман опубликовали Grundzüge der theoretischen Logik ( Принципы математической логики ), введение в логику первого порядка , в котором была поставлена проблема полноты: «Достаточно ли аксиом формальной системы для вывода каждого утверждения, которое истинно во всех моделях системы?» [18]
Эта проблема стала темой, которую Гёдель выбрал для своей докторской работы. [18] В 1929 году, в возрасте 23 лет, он завершил докторскую диссертацию под руководством Ганса Гана. В ней он установил свою одноименную теорему о полноте относительно логики первого порядка . [18] Он получил докторскую степень в 1930 году, [18] и его диссертация (сопровождаемая дополнительной работой) была опубликована Венской академией наук .
Достижение Курта Гёделя в современной логике уникально и монументально — на самом деле, это больше, чем памятник, это веха, которая останется видимой далеко в пространстве и времени. ... Предмет логики, безусловно, полностью изменил свою природу и возможности с достижением Гёделя.
— Джон фон Нейман [19]
В 1930 году Гёдель посетил Вторую конференцию по эпистемологии точных наук , проходившую в Кёнигсберге 5–7 сентября. Там он представил свою теорему о полноте логики первого порядка и в конце выступления упомянул, что этот результат не обобщается на логику более высокого порядка, тем самым намекая на свои теоремы о неполноте . [20]
Гёдель опубликовал свои теоремы о неполноте в работе Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (на английском языке « On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems »). В этой статье он доказал для любой вычислимой аксиоматической системы , достаточно мощной для описания арифметики натуральных чисел (например, аксиомы Пеано или теория множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора), что:
Эти теоремы завершили полувековые попытки, начавшиеся с работы Готлоба Фреге и завершившиеся в Principia Mathematica и программе Гильберта , найти не- относительно непротиворечивую аксиоматизацию, достаточную для теории чисел (которая должна была послужить основой для других областей математики). [22]
Гёдель построил формулу, которая утверждает, что она недоказуема в данной формальной системе. Если бы она была доказуема, она была бы ложной. Таким образом, всегда будет по крайней мере одно истинное, но недоказуемое утверждение. То есть, для любого вычислимо перечислимого набора аксиом для арифметики (то есть набора, который в принципе может быть распечатан идеализированным компьютером с неограниченными ресурсами), существует формула, которая истинна для арифметики, но недоказуема в этой системе. Чтобы сделать это точным, Гёделю пришлось создать метод кодирования (как натуральных чисел) утверждений, доказательств и концепции доказуемости; он сделал это с помощью процесса, известного как нумерация Гёделя . [23]
В своей двухстраничной статье Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Гёдель опроверг конечнозначность интуиционистской логики . В доказательстве он неявно использовал то, что позже стало известно как промежуточная логика Гёделя–Даммета (или нечеткая логика Гёделя ). [24]
Гёдель получил степень доктора философии в Вене в 1932 году, а в 1933 году стал там приват-доцентом (неоплачиваемым лектором). В 1933 году к власти в Германии пришёл Адольф Гитлер , и в последующие годы нацисты стали оказывать влияние в Австрии и среди венских математиков. В июне 1936 года Мориц Шлик , семинар которого пробудил интерес Гёделя к логике, был убит одним из его бывших студентов, Иоганном Нельбёком . Это вызвало у Гёделя «тяжелый нервный кризис». [25] У него развились параноидальные симптомы, включая страх быть отравленным, и он провёл несколько месяцев в санатории для нервных заболеваний. [26]
В 1933 году Гёдель впервые отправился в США, где встретился с Альбертом Эйнштейном , который стал его хорошим другом. [27] Он выступил с речью на ежегодном собрании Американского математического общества . В течение этого года Гёдель также развил идеи вычислимости и рекурсивных функций до такой степени, что он смог прочитать лекцию об общих рекурсивных функциях и концепции истины. Эта работа была разработана в теории чисел с использованием нумерации Гёделя .
В 1934 году Гёдель прочитал серию лекций в Институте перспективных исследований (IAS) в Принстоне, штат Нью-Джерси , под названием « О неразрешимых предложениях формальных математических систем» . Стивен Клини , который только что получил докторскую степень в Принстоне, сделал записи этих лекций, которые впоследствии были опубликованы.
Гёдель снова посетил IAS осенью 1935 года. Путешествия и тяжелая работа истощили его, и в следующем году он сделал перерыв, чтобы оправиться от депрессивного эпизода. Он вернулся к преподаванию в 1937 году. В это время он работал над доказательством непротиворечивости аксиомы выбора и гипотезы континуума ; он продолжил показывать, что эти гипотезы не могут быть опровергнуты из общей системы аксиом теории множеств.
20 сентября 1938 года он женился на Адель Нимбурски (урождённой Поркерт, 1899–1981), которую знал более 10 лет. Родители Гёделя были против их отношений, поскольку она была разведенной танцовщицей и на шесть лет старше его.
Впоследствии он отправился в еще один визит в Соединенные Штаты, проведя осень 1938 года в IAS и опубликовав Consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory, [28] классику современной математики. В этой работе он ввел конструируемую вселенную , модель теории множеств , в которой существуют только те множества, которые могут быть построены из более простых множеств. Гёдель показал, что как аксиома выбора (AC), так и обобщенная континуум-гипотеза (GCH) истинны в конструируемой вселенной и, следовательно, должны быть совместимы с аксиомами Цермело–Френкеля для теории множеств (ZF). Этот результат имел значительные последствия для работающих математиков, поскольку он означает, что они могут предполагать аксиому выбора при доказательстве теоремы Хана–Банаха . Позднее Пол Коэн построил модель ZF, в которой AC и GCH ложны; Вместе эти доказательства означают, что AC и GCH независимы от аксиом ZF для теории множеств.
Весну 1939 года Гёдель провел в Университете Нотр-Дам . [29]
После аншлюса 12 марта 1938 года Австрия стала частью нацистской Германии . Германия отменила звание приват-доцента , поэтому Гёделю пришлось подать заявку на другую должность в соответствии с новым порядком. Его бывшая связь с еврейскими членами Венского кружка, особенно с Ганом, была против него. Венский университет отклонил его заявку.
Его затруднительное положение усугубилось, когда немецкая армия признала его годным к призыву. Вторая мировая война началась в сентябре 1939 года. До конца года Гёдель и его жена уехали из Вены в Принстон . Чтобы избежать трудностей пересечения Атлантики, Гёдель поехал по Транссибирской магистрали в Тихий океан, проплыл из Японии в Сан-Франциско (куда они прибыли 4 марта 1940 года), затем пересекли США на поезде в Принстон. [30] Во время этой поездки Гёдель должен был везти секретное письмо от венского физика Ганса Тирринга Альберту Эйнштейну, чтобы предупредить Рузвельта о возможности создания Гитлером атомной бомбы. Гёдель так и не передал это письмо Эйнштейну, хотя они и встречались, потому что не был уверен, что Гитлер сможет совершить этот подвиг. [31] В любом случае, Лео Силард уже передал сообщение Эйнштейну, а Эйнштейн уже предупредил Рузвельта.
В Принстоне Гёдель принял должность в Институте перспективных исследований (IAS), который он посещал в 1933–1934 годах. [32]
Эйнштейн также жил в Принстоне в это время. Гедель и Эйнштейн крепко подружились и, как известно, долго ходили вместе в Институт перспективных исследований и обратно. Характер их разговоров был загадкой для других членов Института. Экономист Оскар Моргенштерн вспоминает, что к концу своей жизни Эйнштейн признался, что его «собственная работа больше не значила многого, что он пришел в Институт просто... чтобы иметь привилегию идти домой вместе с Геделем». [33]
Гёдель и его жена Адель провели лето 1942 года в Блю-Хилле, штат Мэн , в гостинице Blue Hill Inn на вершине залива. Гёдель не просто отдыхал, но и очень продуктивно работал летом. Используя Heft 15 [том 15] еще неопубликованных Arbeitshefte [рабочих тетрадей] Гёделя , Джон У. Доусон-младший предполагает, что Гёдель открыл доказательство независимости аксиомы выбора от теории конечных типов, ослабленной формы теории множеств, находясь в Блю-Хилле в 1942 году. Близкий друг Гёделя Хао Ван поддерживает эту гипотезу, отмечая, что тетради Гёделя в Блю-Хилле содержат его наиболее обширное рассмотрение этой проблемы.
5 декабря 1947 года Эйнштейн и Моргенштерн сопровождали Гёделя на экзамен на гражданство США , где они выступили в качестве свидетелей. Гёдель признался им, что обнаружил несоответствие в Конституции США , которое может позволить США стать диктатурой; с тех пор это называют лазейкой Гёделя . Эйнштейн и Моргенштерн были обеспокоены тем, что непредсказуемое поведение их друга может поставить под угрозу его заявление. Судьей оказался Филипп Форман , который знал Эйнштейна и принимал присягу на слушании по гражданству Эйнштейна. Все шло гладко, пока Форман случайно не спросил Гёделя, думает ли он, что диктатура, подобная нацистскому режиму, может возникнуть в США. Затем Гёдель начал объяснять свое открытие Форману. Форман понял, что происходит, прервал Гёделя и перевел слушание на другие вопросы и обычное заключение. [34] [35]
Гёдель стал постоянным членом Института перспективных исследований в Принстоне в 1946 году. Примерно в это же время он перестал публиковаться, хотя продолжал работать. Он стал полным профессором Института в 1953 году и почетным профессором в 1976 году. [36]
Во время работы в институте интересы Гёделя обратились к философии и физике. В 1949 году он продемонстрировал существование решений, включающих замкнутые времениподобные кривые , для уравнений поля Эйнштейна в общей теории относительности . [37] Говорят, что он подарил эту разработку Эйнштейну на его 70-летие. [38] Его «вращающиеся вселенные» позволили бы путешествовать во времени в прошлое и заставили Эйнштейна усомниться в его собственной теории. Его решения известны как метрика Гёделя (точное решение уравнения поля Эйнштейна ).
Он изучал и восхищался работами Готфрида Лейбница , но пришел к убеждению, что враждебный заговор стал причиной того, что некоторые из работ Лейбница были подавлены. [39] В меньшей степени он изучал Иммануила Канта и Эдмунда Гуссерля . В начале 1970-х годов Гёдель распространил среди своих друзей разработку версии Лейбница онтологического доказательства Ансельма Кентерберийского существования Бога. Теперь это известно как онтологическое доказательство Гёделя .
Гёдель был награждён (вместе с Джулианом Швингером ) первой премией Альберта Эйнштейна в 1951 году, а также Национальной медалью науки в 1974 году. [40] Гёдель был избран постоянным членом Американского философского общества в 1961 году и иностранным членом Королевского общества (ForMemRS) в 1968 году . [41] [1] Он был пленарным докладчиком ICM в 1950 году в Кембридже, штат Массачусетс. [42]
Позже в своей жизни Гёдель страдал от периодов психической нестабильности и болезней. После убийства его близкого друга Морица Шлика [43] у Гёделя развился навязчивый страх быть отравленным , и он ел только пищу, приготовленную его женой Адель. Адель была госпитализирована в конце 1977 года, и в ее отсутствие Гёдель отказывался есть; [44] он весил 29 килограммов (65 фунтов), когда умер от «недоедания и истощения, вызванного расстройством личности» в Принстонской больнице 14 января 1978 года. [45] Он был похоронен на Принстонском кладбище . Адель умерла в 1981 году . [46]
Гёдель верил, что Бог индивидуален, [47] и называл свою философию «рационалистической, идеалистической, оптимистической и теологической». [48] Он сформулировал формальное доказательство существования Бога, известное как онтологическое доказательство Гёделя .
Гёдель верил в загробную жизнь, говоря: «Конечно, это предполагает, что существует множество взаимосвязей, о которых сегодняшняя наука и общепринятая мудрость не имеют ни малейшего представления. Но я убежден в этом [загробной жизни], независимо от какой-либо теологии». Сегодня «возможно постичь, посредством чистого рассуждения», что это «полностью согласуется с известными фактами». «Если мир рационально устроен и имеет смысл, то должна быть такая вещь [как загробная жизнь]». [49]
В неотправленном ответе на анкету Гёдель описал свою религию как «крещеный лютеранин (но не член какой-либо религиозной общины). Моя вера теистическая , а не пантеистическая , следующая Лейбницу , а не Спинозе ». [50] О религии(ях) в целом он сказал: «Религии по большей части плохи, но не сама религия». [51] По словам его жены Адель, «Гёдель, хотя он и не ходил в церковь, был религиозным и читал Библию в постели каждое воскресное утро», [52] в то время как об исламе он сказал: «Мне нравится ислам: это последовательная [или последовательная] идея религии и открытость ума». [53]
Дуглас Хофштадтер написал в 1979 году книгу « Гёдель, Эшер, Бах», чтобы прославить работу и идеи Гёделя, М. К. Эшера и Иоганна Себастьяна Баха . В ней частично исследуются последствия того факта, что теорема Гёделя о неполноте может быть применена к любой полной по Тьюрингу вычислительной системе, которая может включать человеческий мозг . В 2005 году Джон Доусон опубликовал биографию « Логические дилеммы: жизнь и работа Курта Гёделя» . [54] Книга Стивена Будянского о жизни Гёделя « Путешествие на край разума: жизнь Курта Гёделя » [55] вошла в список лучших книг 2021 года по версии критиков New York Times. [56] Гёдель был одним из четырёх математиков, рассмотренных в документальном фильме Дэвида Мэлоуна BBC «Опасные знания» 2008 года . [57]
Общество Курта Гёделя , основанное в 1987 году, является международной организацией по содействию исследованиям в области логики, философии и истории математики . В Венском университете находится Исследовательский центр математической логики имени Курта Гёделя. Ассоциация символической логики проводит ежегодную Гёделевскую лекцию с 1990 года. Премия Гёделя ежегодно вручается за выдающуюся работу в области теоретической информатики. Философские тетради Гёделя [58] редактируются в Исследовательском центре Курта Гёделя в Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук . [59] Было опубликовано пять томов собрания сочинений Гёделя. Первые два включают его публикации; третий включает неопубликованные рукописи из его Nachlass , а последние два включают переписку.
В фильме 1994 года «IQ» Гёделя играет Лу Якоби . В фильме 2023 года «Оппенгеймер » Гёдель, которого играет Джеймс Урбаниак , ненадолго появляется гуляющим с Эйнштейном в садах Принстона.
На немецком языке:
По-английски:
В переводе на английский:
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )Математический факультет Университета Нотр-Дам принимал ... в течение одного семестра весной 1939 года [Курта Гёделя]
У Гёделя было счастливое детство, и его семья называла его «Мистер Почему» из-за его многочисленных вопросов. Он был крещен как лютеранин и оставался теистом (верующим в личного Бога) на протяжении всей своей жизни.
Гёдель не был равнодушен к религиозным проблемам. Напротив, в его библиотеке было много книг и трактатов, посвященных различным религиозным сектам; среди его записных книжек есть две, посвященные теологии; а в стенографической рукописи, найденной в его Nachlaß, он заметил, что «Die Religionen sind zum größten Teil schlecht, aber nicht die Religion». («Религии по большей части плохи, но не сама религия»).
