В логике бесконечнозначная логика (или вещественная логика , или бесконечно многозначная логика ) — это многозначная логика , в которой значения истинности составляют непрерывный диапазон. Традиционно в логике Аристотеля логика, отличная от двухвалентной, была ненормальной, поскольку закон исключенного третьего исключал более двух возможных значений (т. е. «истинное» и «ложное») для любого предложения . [1] Современная трехзначная логика (трехвалентная логика) допускает дополнительное возможное значение истинности (т.е. «неопределенное») [2] и является примером конечнозначной логики , в которой значения истинности являются дискретными, а не непрерывными. Бесконечнозначная логика включает в себя непрерывную нечеткую логику , хотя нечеткая логика в некоторых ее формах может дополнительно включать в себя конечнозначную логику. Например, конечнозначная логика может применяться в булевозначном моделировании , [3] [4] логике описания , [5] и дефаззификации [6] [7] нечеткой логики.
Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц использовали как бесконечности , так и бесконечно малые числа для разработки дифференциального и интегрального исчисления в конце 17 века. Ричард Дедекинд , который определил действительные числа через определенные наборы рациональных чисел в 19 веке, [8] также разработал аксиому непрерывности , утверждающую, что единственное правильное значение существует на пределе любого приближения методом проб и ошибок . Феликс Хаусдорф в 1938 году продемонстрировал логическую возможность абсолютно непрерывного упорядочения слов, состоящих из двухвалентных значений, причем каждое слово имеет абсолютно бесконечную длину. Однако определение случайного действительного числа, то есть действительного числа, не имеющего никакого конечного описания, остается несколько в сфере парадоксов . [9]
Ян Лукасевич разработал систему трехзначной логики в 1920 году. Он обобщил эту систему на многозначные логики в 1922 году и продолжил разработку логики с (бесконечными в пределах диапазона) значениями истинности. Курт Гёдель разработал дедуктивную систему , применимую как для конечно-, так и для бесконечнозначной логики первого порядка (формальная логика, в которой предикат может относиться к одному субъекту ), а также для промежуточной логики (формальная интуиционистская логика , которую можно использовать для предоставления доказательств). такие как доказательство непротиворечивости арифметики ), и показал в 1932 году, что логическая интуиция не может быть охарактеризована конечнозначной логикой . [10]
Концепция выражения значений истинности в виде действительных чисел в диапазоне от 0 до 1 может напомнить о возможности использования комплексных чисел для выражения значений истинности. Эти значения истинности будут иметь мнимую размерность, например, от 0 до i . Двумерная или более многомерная истина потенциально может быть полезна в системах паранепротиворечивой логики . Если бы у таких систем возникло практическое применение, многомерная бесконечнозначная логика могла бы развиться как концепция, независимая от действительнозначной логики. [11]
Лотфи А. Заде предложил формальную методологию нечеткой логики и ее приложения в начале 1970-х годов. К 1973 году другие исследователи применяли теорию нечетких регуляторов Заде к различным механическим и промышленным процессам. Концепция нечеткого моделирования, возникшая в результате этого исследования, была применена к нейронным сетям в 1980-х годах и к машинному обучению в 1990-х годах. Формальная методология также привела к обобщению математических теорий в семействе нечетких логик с t-нормой . [12]
Базовая нечеткая логика — это логика непрерывных t-норм ( бинарных операций на действительном единичном интервале [0, 1]). [13] Приложения, включающие нечеткую логику, включают системы распознавания лиц , бытовую технику , антиблокировочные тормозные системы , автоматические коробки передач , контроллеры для систем скоростного транспорта и беспилотных летательных аппаратов , основанные на знаниях и инженерные системы оптимизации, прогнозирование погоды , ценообразование и оценку рисков. системы моделирования , системы медицинской диагностики и планирования лечения, системы торговли сырьевыми товарами и многое другое. [14] Нечеткая логика используется для оптимизации эффективности термостатов для управления отоплением и охлаждением, для промышленной автоматизации и управления процессами , компьютерной анимации , обработки сигналов и анализа данных . [15] Нечеткая логика внесла значительный вклад в области машинного обучения и интеллектуального анализа данных . [16]
В бесконечной логике степени доказуемости предложений могут быть выражены в терминах бесконечнозначной логики, которую можно описать с помощью вычисляемых формул, записанных в виде упорядоченных пар, каждая из которых состоит из символа степени истинности и формулы. [17]
В математике безчисловая семантика может выражать факты о классических математических понятиях и делать их выводимыми путем логических выводов в бесконечнозначной логике. Нечеткая логика Т-нормы может применяться для исключения ссылок на действительные числа из определений и теорем, чтобы упростить определенные математические концепции и облегчить определенные обобщения. Структура, используемая для безчисловой формализации математических понятий, известна как нечеткая теория классов. [18]
Философские вопросы, включая парадокс Сорита , рассматривались на основе бесконечнозначной логики, известной как нечеткий эпистемизм . [19] Парадокс Сорита предполагает, что если добавление песчинки к чему-то, что не является кучей, не может создать кучу, то и куча песка не может быть создана. Поэтапный подход к пределу, при котором истина постепенно «утекает», имеет тенденцию опровергать это предположение. [20]
При изучении самой логики бесконечнозначная логика послужила средством понимания природы человеческого понимания логических понятий. Курт Гёдель попытался понять человеческую способность к логической интуиции с точки зрения конечнозначной логики, прежде чем прийти к выводу, что эта способность основана на бесконечнозначной логике. [21] Открытыми остаются вопросы относительно обработки в семантике естественного языка неопределенных значений истинности. [22]
{{cite book}}
: |work=
игнорируется ( помощь ){{cite book}}
: |work=
игнорируется ( помощь )