Лапласиан индикатора

Предел последовательности гладких функций

В теории потенциала , разделе математики , лапласиан индикатора области D является обобщением производной дельта-функции Дирака на более высокие измерения и отличен от нуля только на поверхности D. Ее можно рассматривать как дельта-простую функцию поверхности . Это аналог второй производной ступенчатой ​​функции Хевисайда в одном измерении. Его можно получить, позволив оператору Лапласа работать с индикаторной функцией некоторой области D .

Лапласиан индикатора можно рассматривать как имеющий бесконечно положительные и отрицательные значения, если оценивать его очень близко к границе области D. С математической точки зрения, это не строго функция, а обобщенная функция или мера . Подобно производной дельта-функции Дирака в одном измерении, лапласиан индикатора имеет смысл только как математический объект, когда он стоит под знаком интеграла; т.е. это функция распределения . Как и при формулировке теории распределения, на практике оно рассматривается как предел последовательности гладких функций; можно осмысленно взять лапласиан функции рельефа , который является гладким по определению, и позволить функции удара приближаться к индикатору в пределе.

История

Аппроксимация отрицательной индикаторной функции эллипса на плоскости (слева), производной по нормали к границе (в центре) и ее лапласиана (справа). В пределе самый правый график переходит к (отрицательному) лапласиану индикатора. Чисто интуитивно правый график напоминает эллиптический замок со стеной замка внутри и рвом перед ним; в пределе стена и ров становятся бесконечно высокими и глубокими (и узкими).

Поль Дирак ввёл δ -функцию Дирака , как она стала известна, ещё в 1930 году. ^[1] Одномерная δ -функция Дирака отлична от нуля только в одной точке. Аналогично, многомерное обобщение, как его обычно делают, не равно нулю только в одной точке. В декартовых координатах d -мерная δ -функция Дирака является произведением d одномерных δ -функций; по одному для каждой декартовой координаты (см., например, обобщения дельта-функции Дирака ).

Однако возможно и другое обобщение. Нулевая точка в одном измерении может рассматриваться как граница положительной полулинии. Функция 1 _{x >0} равна 1 на положительной полупрямой и нулю в противном случае и также известна как ступенчатая функция Хевисайда . Формально δ -функция Дирака и ее производная (т.е. одномерная поверхностная дельта-простая функция ) можно рассматривать как первую и вторую производные ступенчатой ​​функции Хевисайда, т.е. ∂ _x 1 _{x >0} и . ${\displaystyle \partial _{x}^{2}\mathbf {1} _{x>0}}$

Аналогом ступенчатой ​​функции в более высоких измерениях является индикаторная функция , которую можно записать как 1 _{x ∈ D} , где D — некоторая область определения. Индикаторную функцию еще называют характеристической функцией. По аналогии с одномерным случаем были предложены следующие многомерные обобщения δ -функции Дирака и ее производной: ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (x)&\to -n_{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D},\\\delta '(x)&\to \nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}.\end{aligned}}}$

Здесь n — вектор внешней нормали . Здесь δ -функция Дирака обобщается до поверхностной дельта-функции на границе некоторой области D в измерениях d ≥ 1. Это определение дает обычный одномерный случай, когда областью определения считается положительная полулиния. Оно равно нулю, за исключением границы области D (где оно бесконечно), и оно интегрируется с общей площадью поверхности , окружающей D , как показано ниже.

Одномерная δ' -функция Дирака обобщается до многомерной поверхностной дельта-простой функции на границе некоторой области D в измерениях d ≥ 1. В одном измерении, приняв D равным положительной полупрямой, можно восстановить обычную одномерную δ' -функцию.

И нормальная производная индикатора, и лапласиан индикатора поддерживаются поверхностями , а не точками . Это обобщение полезно, например, в квантовой механике, поскольку поверхностные взаимодействия могут привести к граничным условиям при d > 1, а точечные взаимодействия - нет. Естественно, что точечное и поверхностное взаимодействия совпадают при d =1. Как поверхностные, так и точечные взаимодействия имеют долгую историю в квантовой механике, и существует обширная литература по так называемым поверхностным дельта-потенциалам или дельта-сферным взаимодействиям. ^[3] Поверхностные дельта-функции используют одномерную δ -функцию Дирака, но как функцию радиальной координаты r , например δ( r − R ), где R — радиус сферы.

Производные индикаторной функции, хотя и кажутся плохо определенными, формально могут быть определены с использованием теории распределений или обобщенных функций : можно получить четко определенный рецепт, постулируя, что, например, лапласиан индикатора определяется двумя интегрированиями: частей , когда оно стоит под знаком интеграла. В качестве альтернативы индикатор (и его производные) можно аппроксимировать с помощью функции рельефа (и ее производных). Тогда предел, при котором (гладкая) рельефная функция приближается к индикаторной функции, должен быть вынесен за пределы интеграла.

Дельта-простая функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что лапласиан индикатора является поверхностной дельта-простой функцией . Поверхностная дельта-функция будет рассмотрена ниже.

Во-первых, для функции f в интервале ( a , b ) вспомните фундаментальную теорему исчисления

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}\,dx={\underset {x\nearrow b}{\lim }}f(x)-{\underset {x\searrow a}{\lim }}f(x),}$

предполагая, что f локально интегрируемо. Теперь, если a  <  b , эвристически следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {\partial ^{2}\mathbf {1} _{a<x<b}}{\partial x^{2}}}\,f(x)\;dx&=\int _{-\infty }^{+\infty }\mathbf {1} _{a<x<b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x^{2}}}\;dx,\\&=\displaystyle {\Big (}{\underset {x\nearrow b}{\lim }}-{\underset {x\searrow a}{\lim }}{\Big )}{\frac {\partial f(x)}{\partial x}}.\end{aligned}}}$

Здесь 1 _{a < x < b} – индикаторная функция области a < x < b . Индикатор равен единице, если условие в его нижнем индексе выполнено, и нулю в противном случае. В этом вычислении два интегрирования по частям (в сочетании с фундаментальной теоремой исчисления, как показано выше) показывают, что первое равенство выполнено; граничные члены равны нулю, когда a и b конечны или когда f обращается в нуль на бесконечности. Последнее равенство показывает сумму внешних нормальных производных, где сумма находится по граничным точкам a и b и где знаки следуют от внешнего направления (т. е. положительные для b и отрицательные для a ). Хотя производных индикатора формально не существует, следование обычным правилам частичного интегрирования дает «правильный» результат. При рассмотрении конечной d -мерной области D ожидается, что сумма по внешним нормальным производным станет интегралом , что можно подтвердить следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx&=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\int _{D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx,\\&=\oint _{\partial D}\,{\underset {x\to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{x}f(x)\;d\beta .\end{aligned}}}$

где предел состоит в том, что x приближается к поверхности β изнутри области D , n _β — единичный вектор, нормаль к поверхности β, а ∇ _x теперь является многомерным оператором градиента. Как и раньше, первое равенство следует за двумя интегрированиями по частям (в более высоких измерениях это происходит по второму тождеству Грина ), где граничные члены исчезают, пока область D конечна или если f обращается в нуль на бесконечности; например, и 1 _{x ∈ D} , и ∇ _x 1 _{x ∈ D} равны нулю при вычислении на «границе» R ^d , когда область D конечна. Третье равенство следует из теоремы о дивергенции и снова показывает сумму (или, в данном случае, интеграл) внешних нормальных производных по всем граничным местоположениям. Теорема о расходимости справедлива для кусочно-гладких областей D , и, следовательно, D должна быть кусочно-гладкой.

Таким образом, поверхностная дельта-простая функция (она же δ' -функция Дирака) существует на кусочно гладкой поверхности и эквивалентна лапласиану индикаторной функции области D , охватываемой этой кусочно гладкой поверхностью. Естественно, что разница между точкой и поверхностью исчезает в одном измерении.

В электростатике поверхностный диполь (или потенциал двойного слоя ) можно смоделировать с помощью предельного распределения лапласиана индикатора.

Приведенные выше расчеты основаны на исследованиях интегралов по путям в квантовой физике. ^[2]

Дельта-функция поверхности Дирака

В этом разделе будет доказано, что (внутренняя) нормальная производная индикатора является поверхностной дельта-функцией .

Для конечной области D или когда f обращается в нуль на бесконечности, из теоремы о расходимости следует, что

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}\left(\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\right)\;dx=0.}$

По правилу произведения отсюда следует, что

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}^{2}\mathbf {1} _{x\in D}\,f(x)\;dx+\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathbf {1} _{x\in D}\,\nabla _{x}^{2}f(x)\;dx=-2\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}$

Как следует из анализа приведенного выше раздела, два члена в левой части равны и, следовательно,

${\displaystyle \oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta =-\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\cdot \nabla _{x}f(x)\;dx.}$

Градиент индикатора исчезает везде, кроме границы D , где он указывает в нормальном направлении. Следовательно, важна только составляющая ∇ _x f ( x ) в нормальном направлении. Предположим, что вблизи границы ∇ _x f ( x ) равна n _x g ( x ), где g — некоторая другая функция. Тогда следует, что

${\displaystyle \oint _{\partial D}\,g(\beta )\;d\beta =-\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,\nabla _{x}\mathbf {1} _{x\in D}\,\cdot \,n_{x}\,g(x)\;dx.}$

Внешняя нормаль n _x изначально была определена только для x на поверхности, но можно определить, что она существует для всех x ; например, взяв внешнюю нормаль к граничной точке, ближайшей к x .

Вышеизложенный анализ показывает, что − n _x ⋅ ∇ _x 1 _{x ∈ D} можно рассматривать как поверхностное обобщение одномерной дельта-функции Дирака . Принимая функцию g равной единице, следует, что внутренняя нормальная производная индикатора интегрируется с площадью поверхности D .

В электростатике плотность поверхностного заряда (или одиночные пограничные слои ) можно моделировать с использованием поверхностной дельта-функции, как указано выше. В некоторых случаях, например, когда поверхность имеет сферическую форму, можно использовать обычную дельта-функцию Дирака . В общем, обсуждаемая здесь поверхностная дельта-функция может использоваться для представления поверхностной плотности заряда на поверхности любой формы.

Приведенные выше расчеты основаны на исследованиях интегралов по путям в квантовой физике. ^[2]

Приближения функциями рельефа

В этом разделе показано, как производные показателя можно трактовать численно под знаком интеграла.

В принципе, показатель не может быть дифференцирован численно, так как его производная либо равна нулю, либо бесконечна. Но для практических целей индикатор можно аппроксимировать рельефной функцией , обозначаемой I _ε ( x ) и приближающейся к индикатору при ε → 0. Возможны несколько вариантов, но удобно считать рельефную функцию неотрицательной. и приблизимся к индикатору снизу , т.е.

${\displaystyle {\begin{aligned}0\leq I_{\varepsilon }(x)&\leq \mathbf {1} _{{x}\in D}\quad \forall \varepsilon >0\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\;I_{\varepsilon }(x)&=\mathbf {1} _{x\in D}\end{aligned}}}$

Это гарантирует, что семейство функций рельефа тождественно равно нулю вне D . Это удобно, поскольку возможно, что функция f определена только внутри D . Таким образом, для f , определенного в D , мы получаем следующее:

${\displaystyle {\begin{aligned}-{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\,f(x)\,n_{x}\cdot \nabla _{x}I_{\varepsilon }(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}f(\alpha )\;d\beta ,\\{\underset {\varepsilon \searrow 0}{\lim }}\,\int _{\mathbf {R} ^{d}}\nabla _{x}^{2}I_{\varepsilon }(x)\,f(x)\;dx&=\oint _{\partial D}\,{\underset {\alpha \to \beta }{\lim }}n_{\beta }\cdot \nabla _{\alpha }f(\alpha )\;d\beta ,\end{aligned}}}$

где внутренняя координата α приближается к граничной координате β изнутри D и где нет необходимости, чтобы f существовала вне D .

Когда f определена по обе стороны границы и, кроме того, дифференцируема по границе D , тогда менее важно, как функция рельефа приближается к индикатору.

Прерывистые тестовые функции

Если пробная функция f , возможно, является разрывной на границе, то для понимания поверхностных распределений можно использовать теорию распределения разрывных функций, см., например, раздел V в . ^[4] На практике для поверхностной дельта-функции это обычно означает усреднение значения f по обе стороны границы D перед интегрированием по границе. Аналогично, для поверхностной дельта-простой функции это обычно означает усреднение внешней нормальной производной f по обе стороны границы области D перед интегрированием по границе.

Приложения

Квантовая механика

В квантовой механике точечные взаимодействия хорошо известны, и по этому вопросу существует большое количество литературы. Хорошо известным примером одномерного сингулярного потенциала является уравнение Шрёдингера с дельта-потенциалом Дирака . ^{[5] [6]} Одномерный дельта- простой потенциал Дирака, с другой стороны, вызвал споры. ^{[7] [8] [9]} Споры, по-видимому, были урегулированы независимой статьей, ^[10] хотя даже эта статья вызвала более позднюю критику. ^{[2] [11]}

В последнее время гораздо больше внимания уделяется одномерному дельта-простому потенциалу Дирака. ^{[12] [13] [14] [ 15] [16] [17] [18] [ 19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28 ] ]}

Точку на одномерной линии можно рассматривать и как точку, и как поверхность; поскольку точка отмечает границу между двумя областями. Таким образом, были сделаны два обобщения дельта-функции Дирака на более высокие измерения: обобщение на многомерную точку ^{[29] [30]} , а также обобщение на многомерную поверхность. ^{[2] [31] [32] [33] [34]}

Первые обобщения известны как точечные взаимодействия, тогда как вторые известны под разными названиями, например, «взаимодействия дельта-сфера» и «поверхностные дельта-взаимодействия». В последних обобщениях могут использоваться производные индикатора, как объяснено здесь, или одномерная δ -функция Дирака как функция радиальной координаты r .

Динамика жидкостей

Лапласиан индикатора использовался в гидродинамике, например, для моделирования границ раздела между различными средами. ^{[35] [36] [37] [38] [39] [40]}

Реконструкция поверхности

Дивергенция индикатора и лапласиана индикатора (или характеристической функции , как также известен индикатор) использовалась в качестве выборочной информации, на основе которой можно реконструировать поверхности. ^{[41] [42]}

Смотрите также

• Дельта-потенциал  - Модель энергетического потенциала в квантовой механике.
• Дельта-функция Дирака  - обобщенная функция, значение которой равно нулю везде, кроме нуля.
• Распределение (математика)  - термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции.
• Потенциал двойного слоя  - решение уравнения ЛапласаPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Электростатика  - исследование стационарных или медленно движущихся электрических зарядов.
• Обобщенная функция  - объекты, расширяющие понятие функций.
• Индикаторная функция  – математическая функция, характеризующая принадлежность множества.
• Теория потенциала  - Гармонические функции как решения уравнения Лапласа

Рекомендации

1. Дирак, Пол (1958), Принципы квантовой механики (4-е изд.), Оксфорд в Clarendon Press, ISBN 978-0-19-852011-5
2. Lange, Рутгер-Ян (2012), «Теория потенциала, интегралы по траекториям и лапласиан индикатора», Журнал физики высоких энергий , 2012 (11): 1–49, arXiv : 1302.0864 , ​​Bibcode : 2012JHEP ... 11..032L, номер документа : 10.1007/JHEP11(2012)032, S2CID  56188533
3. Антуан, JP; Гестеси, Ф.; Шабани, Дж. (1999), «Точно решаемые модели сферических взаимодействий в квантовой механике», Journal of Physics A: Mathematical and General , 20 (12): 3687–3712, Бибкод : 1987JPhA...20.3687A, doi : 10.1088 /0305-4470/20/12/022
4. Ланге, Рутгер-Ян (2015), «Теория распределения для интегрального уравнения Шредингера», Журнал математической физики , 56 (12): 2015, arXiv : 1401.7627 , Бибкод : 2015JMP....56l2105L, doi : 10.1063/1.4936302, S2CID  116896174
5. Аткинсон, Д.А.; Кратер, Х.В. (1975), «Точная трактовка потенциала дельта-функции Дирака в уравнении Шредингера», American Journal of Physics , 43 (4): 301–304, Bibcode : 1975AmJPh..43..301A, doi : 10.1119 /1,9857
6. Манукян, EB (1999), «Явный вывод пропагатора для дельта-потенциала Дирака», Journal of Physics A: Mathematical and General , 22 (1): 67–70, Bibcode : 1989JPhA...22...67M , дои : 10.1088/0305-4470/22/1/013
7. Альбеверио, С.; Гестеси, Ф.; Хог-Крон, Р.; Холден, Х. (1988), Разрешимые модели в квантовой механике , Springer-Verlag
8. Чжао, Б.Х. (1992), "Комментарии к уравнению Шрёдингера с дельта'-взаимодействием в одном измерении", Journal of Physics A: Mathematical and General , 25 (10): 617, Бибкод : 1992JPhA...25L.617Z, дои : 10.1088/0305-4470/25/10/003
9. Альбеверио, С.; Гестеси, Ф.; Холден, Х. (1993), «Комментарии к недавней заметке об уравнении Шредингера с дельта-взаимодействием», Journal of Physics A: Mathematical and General , 26 (15): 3903–3904, Bibcode : 1993JPhA... 26.3903А, номер документа : 10.1088/0305-4470/26/15/037
10. Гриффитс, DJ (1993), «Граничные условия при производной дельта-функции», Journal of Physics A: Mathematical and General , 26 (9): 2265–2267, Бибкод : 1993JPhA...26.2265G, doi : 10.1088 /0305-4470/26/9/021
11. Коутиньо, FAB; Ногами, Ю.; Перес, Дж. Ф. (1997), «Обобщенные точечные взаимодействия в одномерной квантовой механике», Journal of Physics A: Mathematical and General , 30 (11): 3937–3945, Бибкод : 1997JPhA...30.3937C, doi : 10.1088/ 0305-4470/30/11/021
12. Костенко, А.; Маламуд, М. (2012), «Спектральная теория полуограниченных операторов Шредингера с δ'-взаимодействиями», Annales Henri Poincaré , 15 (3): 617, arXiv : 1212.1691 , Bibcode : 2012arXiv1212.1691K, doi : 10.1007/s00023-013 -0245-9, S2CID  119727685
13. Браше, Дж. Ф.; Нижник, Л. (2012), «Одномерные операторы Шредингера с δ'-взаимодействиями на множестве нулевой меры Лебега», Операторы и матрицы , 7 (4): 887, arXiv : 1112.2545 , Bibcode : 2011arXiv1112.2545B, doi :10.7153/oam-07-49, S2CID  67790330
14. Карро, М.; Фархи, Э.; Гутманн, С. (1990), «Функциональный интеграл для свободной частицы в ящике», Physical Review D , 42 (4): 1194–1202, Бибкод : 1990PhRvD..42.1194C, doi : 10.1103/physrevd.42.1194, PMID  10012954
15. Карро, М. (1993), «Четырехпараметрическое точечное взаимодействие в одномерных квантовых системах», Journal of Physics A: Mathematical and General , 26 (2): 427–432, arXiv : hep-th/9210104 , Bibcode : 1993JPhA...26..427C, CiteSeerX 10.1.1.268.6845 , номер документа : 10.1088/0305-4470/26/2/025, S2CID  16405749 
16. Альбеверио, С.; Домбровский, Л.; Курасов, П. (1998), «Симметрии оператора Шредингера с точечными взаимодействиями», Letters in Mathematical Physics , 45 (1): 33–47, doi :10.1023/a:1007493325970, S2CID  118287368
17. Араужо, В.С.; Коутиньо, ФАБ; Тояма, FM (2008), «Зависящее от времени уравнение Шредингера: необходимость того, чтобы гамильтониан был самосопряженным» (PDF) , Бразильский журнал физики , 38 (1): 178–187, Bibcode : 2008BrJPh..38 ..178A, doi : 10.1590/s0103-97332008000100030
18. Чеон, Т.; Шигехара, Т. (1998), «Реализация разрывных волновых функций с помощью перенормированных короткодействующих потенциалов», Physics Letters A , 243 (3): 111–116, arXiv : quant-ph/9709035 , Bibcode : 1998PhLA..243.. 111C, doi : 10.1016/s0375-9601(98)00188-1, S2CID  119352015
19. Коутиньо, FAB; Ногами, Ю.; Томио, Л; Тояма, FM (2005), «Энергозависимые точечные взаимодействия в одном измерении», Journal of Physics A: Mathematical and General , 38 (22): 4989–4998, Бибкод : 2005JPhA...38.4989C, doi : 10.1088/0305 -4470/38/22/020
20. Коутиньо, FAB; Ногами, Ю.; Томио, Л; Тояма, FM (2004), «Псевдопотенциал Ферми в одном измерении», Journal of Physics A: Mathematical and General , 37 (44): 10653–10663, Бибкод : 2004JPhA...3710653C, doi : 10.1088/0305- 4470/37/44/013
21. Тойома, FM; Ногами, Ю. (2007), «Задача передачи-отражения с потенциалом формы производной дельта-функции», Journal of Physics A: Mathematical and General , 40 (29): F685, Bibcode : 2007JPhA.. .40..685T, doi : 10.1088/1751-8113/40/29/f05, S2CID  118814873
22. Головатый, Ю.Д.; Манько, С. С. (2009), «Разрешимые модели для операторов Шрёдингера с δ'-подобными потенциалами», Украинский математический бюллетень , 6 (2): 169–203, arXiv : 0909.1034 , Bibcode : 2009arXiv0909.1034G
23. Манько, С.С. (2010), «О δ-подобном потенциальном рассеянии на звездных графиках», Journal of Physics A: Mathematical and General , 43 (44): 445304, arXiv : 1007.0398 , Bibcode : 2010JPhA...43R5304M, doi : 10.1088/1751-8113/43/44/445304, S2CID  119645054
24. Головатый, Ю.Д.; Гринив, Р.О. (2010), «О нормальной резольвентной сходимости операторов Шредингера с δ'-подобными потенциалами», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 43 (15): 155204, arXiv : 1108.5345 , Bibcode : 2010JPhA...43o5204G , doi : 10.1088/1751-8113/43/15/155204, S2CID  115169634
25. Головатый, Ю.Д. (2013), «Одномерные операторы Шредингера с короткодействующими взаимодействиями: двухмасштабная регуляризация потенциалов распределения», Интегральные уравнения и теория операторов , 75 (3): 341–362, arXiv : 1202.4711 , doi : 10.1007/s00020 -012-2027-з, S2CID  119593035
26. Золотарюк, А.В. (2010), «Граничные условия для состояний с резонансным туннелированием через δ'-потенциал», Physics Letters A , 374 (15): 1636–1641, arXiv : 0905.0974 , Bibcode : 2010PhLA..374.1636Z, doi :10.1016/j.physleta.2010.02.005, S2CID  115179602
27. Золотарюк, А.В. (2010), «Точечные взаимодействия дипольного типа, определяемые посредством трехпараметрической степенной регуляризации», Журнал физики A: Mathematical and Theoretical , 43 (10): 105302, Bibcode : 2010JPhA...43j5302Z, doi :10.1088/1751-8113/43/10/105302, S2CID  122330036
28. Золотарюк, А.В. (2013), «Одноточечные потенциалы с полным резонансным туннелированием», Physical Review A , 87 (5): 052121, arXiv : 1303.4162 , Bibcode : 2013PhRvA..87e2121Z, doi : 10.1103/physreva.87.052121, S2CID  118343895
29. Скарлатти, С.; Тета, А. (1990), «Вывод зависящего от времени пропагатора для трехмерного уравнения Шредингера с одноточечным взаимодействием», Journal of Physics A: Mathematical and General , 23 (19): L1033, Bibcode : 1990JPhA.. .23L1033S, doi : 10.1088/0305-4470/23/19/003
30. Гроше, К. (1994), «Интегралы по траектории для двух- и трехмерных возмущений δ-функции», Annalen der Physik , 506 (4): 283–312, arXiv : hep-th/9308082 , Bibcode : 1994AnP. ..506..283G, номер документа : 10.1002/andp.19945060406, S2CID  119436723
31. Мошковски, С.А. (1997), «Вывод поверхностного дельта-взаимодействия», Physical Review C , 19 (6): 2344–2348, Бибкод : 1979PhRvC..19.2344M, doi : 10.1103/physrevc.19.2344
32. Антуан, JP; Гестеси, Ф.; Шабани, Дж. (1999), «Точно решаемые модели сферических взаимодействий в квантовой механике», Journal of Physics A: Mathematical and General , 20 (12): 3687–3712, Бибкод : 1987JPhA...20.3687A, doi : 10.1088 /0305-4470/20/12/022
33. Шабани, Дж.; Вьябанди, А. (2002), «Точно решаемые модели взаимодействий дельта-сферы в релятивистской квантовой механике», Журнал математической физики , 43 (12): 6064, Bibcode : 2002JMP....43.6064S, doi : 10.1063/1.1518785
34. Хоунконноу, Миннесота; Хункпе, М.; Шабани, Дж. (1999), «Точно решаемые модели взаимодействий δ'-сферы в нерелятивистской квантовой механике», Журнал математической физики , 40 (9): 4255–4273, Бибкод : 1999JMP....40.4255H, doi : 10.1063/1.532964
35. Че, Дж. Х. (1999), Численное моделирование сложных многофазных потоков: электрогидродинамика и затвердевание капель , Мичиганский университет, с. 37
36. Юрич, Д. (1996), «Расчеты фазового перехода» (PDF) , докторская диссертация : 150
37. Унверди, Т.О.; Триггвасон, Г. (1992), «Метод отслеживания фронта для вязких, несжимаемых, многожидкостных потоков» (PDF) , Журнал вычислительной физики , 100 (1): 29–30, Бибкод : 1992JCoPh.100... 25U, doi : 10.1016/0021-9991(92)90307-K, hdl : 2027.42/30059
38. Гоз, МФ; Баннер, Б.; Зоммерфельд, М.; Трюггвасон, Г. (2002). Прямое численное моделирование роев пузырьков с помощью метода параллельного отслеживания фронтов . Высокопроизводительные научные и инженерные вычисления: материалы 3-й Международной конференции FORTWIHR по HPSEC, Эрланген, 12–14 марта 2001 г. Конспекты лекций по вычислительной науке и технике. Том. 21. С. 97–106. дои : 10.1007/978-3-642-55919-8_11. ISBN 978-3-540-42946-3.
39. Юрич, Д.; Триггвасон, Г. (1996), «Метод отслеживания фронта дендритной кристаллизации», Journal of Computational Physics , 123 (1): 127–148, Bibcode : 1996JCoPh.123..127J, CiteSeerX 10.1.1.17.8419 , doi :10.1006/jcph.1996.0011 
40. Уддин, Э.; Сунг, Х.Дж. (2011), «Моделирование взаимодействия потока с гибким телом при большой деформации», Международный журнал численных методов в жидкостях , 70 (9): 1089–1102, Бибкод : 2012IJNMF..70.1089U, doi : 10.1002/fld .2731, S2CID  121032029
41. Каждан, М. (2005). Реконструкция твердотельных моделей по ориентированным наборам точек (PDF) . Материалы третьего симпозиума Eurographics по геометрической обработке. п. 73.
42. Каждан, М.; Болито, М.; Хоппе, Х. (2006). Материалы четвертого симпозиума Eurographics по геометрической обработке (PDF) . стр. 1–3–4.