Интеграция по частям

Математический метод в исчислении

В исчислении и, в более общем смысле, в математическом анализе , интегрирование по частям или частичное интегрирование — это процесс, который находит интеграл произведения функций через интеграл произведения их производной и первообразной . Он часто используется для преобразования первообразной произведения функций в первообразную , для которой решение может быть найдено более легко. Правило можно рассматривать как интегральную версию правила произведения дифференциации ; оно действительно выводится с использованием правила произведения.

Формула интегрирования по частям гласит: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}$$

Или, допуская и , тогда как и формулу можно записать более компактно: ${\displaystyle u=u(x)}$ ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle v=v(x)}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,}$ $${\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}$$

Первое выражение записывается как определенный интеграл, а второе — как неопределенный интеграл. Применение соответствующих пределов к последнему выражению должно дать первое, но последнее не обязательно эквивалентно первому.

Математик Брук Тейлор открыл интегрирование по частям, впервые опубликовав эту идею в 1715 году. ^{[1] [2]} Более общие формулировки интегрирования по частям существуют для интегралов Римана–Стилтьеса и Лебега–Стилтьеса . Дискретный аналог для последовательностей называется суммированием по частям .

Теорема

Произведение двух функций

Теорему можно вывести следующим образом. Для двух непрерывно дифференцируемых функций и правило произведения гласит: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$

$${\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).}$$

Интегрируя обе части по , ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

и отметив, что неопределенный интеграл является первообразной, получаем

$${\displaystyle u(x)v(x)=\int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}$$

где мы пренебрегаем записью константы интегрирования . Это дает формулу интегрирования по частям :

$${\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}$$

или в терминах дифференциалов , ${\displaystyle du=u'(x)\,dx}$ ${\displaystyle dv=v'(x)\,dx,\quad }$

$${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}$$

Это следует понимать как равенство функций с неопределенной константой, добавленной к каждой стороне. Взяв разницу каждой стороны между двумя значениями и и применив основную теорему исчисления, получаем определенную интегральную версию: Исходный интеграл содержит производную v' ; чтобы применить теорему, нужно найти v , первообразную v ' , а затем вычислить полученный интеграл ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}$$ ${\displaystyle \int uv'\,dx}$ ${\displaystyle \int vu'\,dx.}$

Действительность для менее гладких функций

Не обязательно, чтобы и были непрерывно дифференцируемыми. Интегрирование по частям работает, если является абсолютно непрерывным , а обозначенная функция является интегрируемой по Лебегу (но не обязательно непрерывной). ^[3] (Если имеет точку разрыва, то ее первообразная может не иметь производной в этой точке.) ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle v}$

Если интервал интегрирования не компактен , то для не обязательно быть абсолютно непрерывным на всем интервале или быть интегрируемым по Лебегу на интервале, как показывают несколько примеров (в которых и непрерывны и непрерывно дифференцируемы). Например, если ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v'}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle u(x)=e^{x}/x^{2},\,v'(x)=e^{-x}}$$

${\displaystyle u}$не является абсолютно непрерывной на интервале [1, ∞) , но тем не менее:

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$

до тех пор, пока берется предел как и до тех пор, пока два члена в правой части конечны. Это верно только если мы выбираем Аналогично, если ${\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]_{1}^{\infty }}$ ${\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)}$ ${\displaystyle L\to \infty }$ ${\displaystyle v(x)=-e^{-x}.}$

$${\displaystyle u(x)=e^{-x},\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}$$

${\displaystyle v'}$не интегрируема по Лебегу на интервале [1, ∞) , но тем не менее

$${\displaystyle \int _{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{1}^{\infty }-\int _{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}$$с той же интерпретацией.

Можно также легко привести аналогичные примеры, в которых и не являются непрерывно дифференцируемыми. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

Далее, если — функция ограниченной вариации на отрезке и дифференцируема на , то ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$ ${\displaystyle \varphi (x)}$ ${\displaystyle [a,b],}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int _{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}$$

где обозначает знаковую меру, соответствующую функции ограниченной вариации , а функции являются расширениями до , которые соответственно имеют ограниченную вариацию и дифференцируемы. ^{[ необходима ссылка ]} ${\displaystyle d(\chi _{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))}$ ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)f(x)}$ ${\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}}$ ${\displaystyle f,\varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

Продукт многих функций

Интегрирование правила произведения для трех умноженных функций , , , дает аналогичный результат: ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle v(x)}$ ${\displaystyle w(x)}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}uw\,dv-\int _{a}^{b}vw\,du.}$$

В целом, для факторов ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right)'\ =\ \sum _{j=1}^{n}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x),}$$

что приводит к

$${\displaystyle \left[\prod _{i=1}^{n}u_{i}(x)\right]_{a}^{b}\ =\ \sum _{j=1}^{n}\int _{a}^{b}u_{j}'(x)\prod _{i\neq j}^{n}u_{i}(x).}$$

Визуализация

Графическая интерпретация теоремы. Изображенная кривая параметризована переменной t.

Рассмотрим параметрическую кривую . Предполагая, что кривая локально однозначна и интегрируема , мы можем определить ${\displaystyle (x,y)=(f(t),g(t))}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x(y)&=f(g^{-1}(y))\\y(x)&=g(f^{-1}(x))\end{aligned}}}$$

Площадь синей области равна

$${\displaystyle A_{1}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy}$$

Аналогично, площадь красной области равна $${\displaystyle A_{2}=\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx}$$

Общая площадь A ₁ + A ₂ равна площади большего прямоугольника, x ₂ y ₂ , минус площадь меньшего прямоугольника, x ₁ y ₁ :

$${\displaystyle \overbrace {\int _{y_{1}}^{y_{2}}x(y)\,dy} ^{A_{1}}+\overbrace {\int _{x_{1}}^{x_{2}}y(x)\,dx} ^{A_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}_{x_{1}}^{x_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}_{y_{1}}^{y_{2}}}$$Или, в терминах t , Или, в терминах неопределенных интегралов, это можно записать как Преобразование: Таким образом, интегрирование по частям можно рассматривать как вывод площади синей области из площади прямоугольников и площади красной области. $${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}x(t)\,dy(t)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}_{t_{1}}^{t_{2}}}$$ $${\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}$$ $${\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}$$

Эта визуализация также объясняет, почему интегрирование по частям может помочь найти интеграл обратной функции f ⁻¹ ( x ), когда интеграл функции f ( x ) известен. Действительно, функции x ( y ) и y ( x ) являются обратными, и интеграл ∫ x  dy может быть вычислен, как указано выше, зная интеграл ∫ y  dx . В частности, это объясняет использование интегрирования по частям для интегрирования логарифма и обратных тригонометрических функций . Фактически, если — дифференцируемая взаимно-однозначная функция на интервале, то интегрирование по частям может быть использовано для вывода формулы для интеграла через интеграл . Это продемонстрировано в статье Интеграл обратных функций . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Приложения

Нахождение первообразных

Интеграция по частям — это скорее эвристический , чем чисто механический процесс решения интегралов; если интегрировать одну функцию, типичная стратегия заключается в том, чтобы аккуратно разделить эту одну функцию на произведение двух функций u ( x ) v ( x ) таким образом, чтобы остаточный интеграл из формулы интегрирования по частям было легче оценить, чем одну функцию. Следующая форма полезна для иллюстрации наилучшей стратегии:

$${\displaystyle \int uv\,dx=u\int v\,dx-\int \left(u'\int v\,dx\right)\,dx.}$$

С правой стороны u дифференцируется, а v интегрируется; следовательно, полезно выбрать u как функцию, которая упрощается при дифференцировании, или выбрать v как функцию, которая упрощается при интегрировании. В качестве простого примера рассмотрим:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx\,.}$$

Так как производная ln( x ) равна ⁠1/х⁠ , можно сделать (ln( x )) частью u ; поскольку первообразная ⁠1/х ²⁠ есть − ⁠1/х⁠ , один делает ⁠1/х ²⁠ часть v . Формула теперь дает:

$${\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\,dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\,dx\,.}$$

Первообразная − ⁠1/х ²⁠ можно найти с помощью степенного правила и это ⁠1/х⁠ .

В качестве альтернативы можно выбрать u и v так, чтобы произведение u ′ (∫ v  dx ) упростилось из-за сокращения. Например, предположим, что кто-то хочет интегрировать:

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx.}$$

Если мы выберем u ( x ) = ln(|sin( x )|) и v ( x ) = sec ² x, то u дифференцируется до с использованием цепного правила , а v интегрируется до tan x ; таким образом, формула дает: ${\displaystyle {\frac {1}{\tan x}}}$

$${\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\,dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}$$

Подынтегральное выражение упрощается до 1, поэтому первообразная равна x . Нахождение упрощающей комбинации часто требует экспериментов.

В некоторых приложениях может не быть необходимости гарантировать, что интеграл, полученный путем интегрирования по частям, имеет простую форму; например, в численном анализе может быть достаточно, чтобы он имел небольшую величину и, таким образом, вносил только небольшой член ошибки. Некоторые другие специальные методы продемонстрированы в примерах ниже.

Полиномы и тригонометрические функции

Для того, чтобы рассчитать

$${\displaystyle I=\int x\cos(x)\,dx\,,}$$

позволять: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=x\ &\Rightarrow \ &&du&=dx\\dv&=\cos(x)\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int \cos(x)\,dx=\sin(x)\end{alignedat}}}$$

затем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\,dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\,dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}$$

где C — константа интегрирования .

Для более высоких степеней в форме ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle \int x^{n}e^{x}\,dx,\ \int x^{n}\sin(x)\,dx,\ \int x^{n}\cos(x)\,dx\,,}$$

Повторное использование интегрирования по частям позволяет вычислять такие интегралы; каждое применение теоремы понижает степень на единицу. ${\displaystyle x}$

Экспоненциальные и тригонометрические функции

Пример, который обычно используется для изучения работы интегрирования по частям:

$${\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

Здесь интегрирование по частям выполняется дважды. Сначала пусть

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\cos(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=-\sin(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\ &\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}\end{alignedat}}}$$

затем:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\,dx.}$$

Теперь, чтобы оценить оставшийся интеграл, снова используем интегрирование по частям:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}u&=\sin(x)\ &\Rightarrow \ &&du&=\cos(x)\,dx\\dv&=e^{x}\,dx\,&\Rightarrow \ &&v&=\int e^{x}\,dx=e^{x}.\end{alignedat}}}$$

Затем:

$${\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

Соединяя все это вместе,

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\,dx.}$$

Один и тот же интеграл появляется в обеих сторонах этого уравнения. Интеграл можно просто добавить к обеим сторонам, чтобы получить

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\,dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}$$

который перестраивается в

$${\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}$$

где снова (и ) — константа интегрирования . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'={\frac {C}{2}}}$

Аналогичный метод используется для нахождения интеграла секанса в кубе .

Функции, умноженные на единицу

Два других известных примера — когда интегрирование по частям применяется к функции, выраженной как произведение 1 и самой себя. Это работает, если известна производная функции, и интеграл этой производной помноженной на нее также известен. ${\displaystyle x}$

Первый пример — . Запишем это так: ${\displaystyle \int \ln(x)dx}$

$${\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\,dx\,.}$$

Позволять:

$${\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}$$ $${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

затем:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\,dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\,dx\\&=x\ln(x)-\int 1\,dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}$$

где - постоянная интегрирования . ${\displaystyle C}$

Второй пример — функция арктангенса : ${\displaystyle \arctan(x)}$

$${\displaystyle I=\int \arctan(x)\,dx.}$$

Перепишите это как

$${\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\,dx.}$$

Теперь давайте:

$${\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}$$

$${\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}$$

затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\,dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}$$

используя комбинацию метода обратной цепочки и условия интеграла натурального логарифма .

Правило ЛИАТЭ

Правило LIATE — это эмпирическое правило для интегрирования по частям. Оно подразумевает выбор в качестве u функции, которая стоит первой в следующем списке: ^[4]

• L – логарифмические функции : и т.д. ${\displaystyle \ln(x),\ \log _{b}(x),}$
• I – обратные тригонометрические функции (включая гиперболические аналоги ): и т.д. ${\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),\ \operatorname {arsinh} (x),}$
• A – алгебраические функции (например, многочлены ): и т.д. ${\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},}$
• T – тригонометрические функции (включая гиперболические аналоги ): и т.д. ${\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname {sech} (x),}$
• E – показательные функции : и т.д. ${\displaystyle e^{x},\ 19^{x},}$

Функция, которая должна быть dv, — это та, которая стоит последней в списке. Причина в том, что функции, расположенные ниже в списке, обычно имеют более простые первообразные, чем функции, расположенные выше. Правило иногда записывается как «DETAIL», где D обозначает dv , а верхняя часть списка — это функция, выбранная для dv . Альтернативой этому правилу является правило ILATE, где обратные тригонометрические функции идут перед логарифмическими функциями.

Чтобы продемонстрировать правило LIATE, рассмотрим интеграл

$${\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}$$

Следуя правилу LIATE, u = x , а dv = cos( x )  dx , следовательно, du = dx , а v = sin( x ), что делает интеграл равным $${\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}$$ $${\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}$$

В общем случае, пытаются выбрать u и dv так, чтобы du было проще, чем u , а dv было легко интегрировать. Если бы вместо этого cos( x ) был выбран в качестве u , а x dx в качестве dv , мы бы имели интеграл

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,}$$

что после рекурсивного применения формулы интегрирования по частям, очевидно, привело бы к бесконечной рекурсии и никуда не привело бы.

Хотя это полезное правило, существуют исключения из правила LIATE. Распространенной альтернативой является рассмотрение правил в порядке "ILATE". Кроме того, в некоторых случаях полиномиальные члены должны быть разделены нетривиальными способами. Например, чтобы интегрировать

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,}$$

можно было бы установить

$${\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,}$$

так что

$${\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.}$$

Затем

$${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int \left(x^{2}\right)\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.}$$

В конечном итоге это приводит к $${\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}\left(x^{2}-1\right)}{2}}+C.}$$

Интегрирование по частям часто используется как инструмент доказательства теорем в математическом анализе .

продукт Уоллиса

Бесконечное произведение Уоллиса для ${\displaystyle \pi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}$$

может быть получено с помощью интегрирования по частям .

Идентичность гамма-функции

Гамма -функция является примером специальной функции , определяемой как несобственный интеграл для . Интегрирование по частям показывает, что она является расширением факториальной функции: ${\displaystyle z>0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int _{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}$$

С

$${\displaystyle \Gamma (1)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}$$

когда — натуральное число, то есть , многократное применение этой формулы дает факториал : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$

Использование в гармоническом анализе

Интегрирование по частям часто используется в гармоническом анализе , в частности в анализе Фурье , чтобы показать , что быстро осциллирующие интегралы с достаточно гладкими подынтегральными функциями быстро затухают . Наиболее распространенным примером этого является его использование для демонстрации того, что затухание преобразования Фурье функции зависит от гладкости этой функции, как описано ниже.

Преобразование Фурье производной

Если - непрерывно дифференцируемая функция, и все производные до -й стремятся к нулю на бесконечности, то ее преобразование Фурье удовлетворяет условию ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}$$

где - производная . (Точная константа справа зависит от соглашения об используемом преобразовании Фурье .) Это доказывается, если заметить, что ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}$$

поэтому, используя интегрирование по частям на преобразовании Фурье производной, мы получаем

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]_{-\infty }^{\infty }-\int _{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}$$

Применение этого индуктивно дает результат для общего . Похожий метод можно использовать для нахождения преобразования Лапласа производной функции. ${\displaystyle k}$

Распад преобразования Фурье

Приведенный выше результат говорит нам о распаде преобразования Фурье, поскольку из него следует, что если и интегрируемы, то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int _{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}$$

Другими словами, если удовлетворяет этим условиям, то его преобразование Фурье затухает на бесконечности по крайней мере так же быстро, как 1/| ξ | ^k . В частности, если то преобразование Фурье интегрируемо. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

Доказательство использует тот факт, который непосредственно следует из определения преобразования Фурье , что

$${\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}$$

Используя ту же идею равенства, изложенную в начале этого подраздела, получаем

$${\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int _{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}$$

Суммируя эти два неравенства и затем деля на 1 + |2 π ξ ^k |, получаем указанное неравенство.

Использование в теории операторов

Одно из применений интегрирования по частям в теории операторов состоит в том, что оно показывает, что −∆ (где ∆ — оператор Лапласа ) является положительным оператором в (см. пространство L p ). Если является гладким и имеет компактный носитель, то, используя интегрирование по частям, мы имеем ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle _{L^{2}}&=-\int _{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]_{-\infty }^{\infty }+\int _{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}$$

Другие приложения

• Определение граничных условий в теории Штурма–Лиувилля
• Вывод уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении

Повторное интегрирование по частям

Рассмотрение второй производной в интеграле в левой части формулы частичного интегрирования предполагает повторное применение к интегралу в правой части: ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}$$

Распространение этой концепции повторного частичного интегрирования на производные степени n приводит к $${\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}}$$

Эта концепция может быть полезна, когда последовательные интегралы легко доступны (например, простые экспоненты или синусы и косинусы, как в преобразованиях Лапласа или Фурье ), и когда n -я производная обращается в нуль (например, как полиномиальная функция степени ). Последнее условие останавливает повторение частичного интегрирования, поскольку правый интеграл обращается в нуль. ${\displaystyle v^{(n)}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (n-1)}$

В ходе повторения вышеприведенных частичных интегрирований интегралы и и становятся связанными. Это можно интерпретировать как произвольное «смещение» производных между и внутри подынтегральной функции, и это также оказывается полезным (см. формулу Родригеса ). $${\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad }$$ ${\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad }$ ${\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

Табличное интегрирование по частям

Основной процесс вышеприведенной формулы можно суммировать в таблице; полученный метод называется «табличная интеграция» ^[5] и был показан в фильме «Выстоять и сделать » (1988). ^[6]

Например, рассмотрим интеграл

$${\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }$$и взять ${\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}$

Начните перечислять в столбце A функцию и ее последующие производные, пока не достигнете нуля. Затем перечислите в столбце B функцию и ее последующие интегралы , пока размер столбца B не станет таким же, как и у столбца A. Результат будет следующим: ${\displaystyle u^{(0)}=x^{3}}$ ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n)}=\cos x}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

Произведение записей в строке i столбцов A и B вместе с соответствующим знаком дает соответствующие интегралы на шаге i в ходе повторного интегрирования по частям. Шаг i = 0 дает исходный интеграл. Для полного результата на шаге i > 0 i - й интеграл должен быть добавлен ко всем предыдущим произведениям ( 0 ≤ j < i ) j -й записи столбца A и ( j + 1) -й записи столбца B (т. е. умножить 1-ю запись столбца A на 2-ю запись столбца B, 2-ю запись столбца A на 3-ю запись столбца B и т. д. ...) с заданным j -м знаком. Этот процесс естественным образом останавливается, когда произведение, дающее интеграл, равно нулю ( i = 4 в примере). Полный результат следующий (с чередованием знаков в каждом члене):

$${\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} _{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} _{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} _{i=4:\;\to \;C}.}$$

Это дает

$${\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}$$

Повторное частичное интегрирование также оказывается полезным, когда в ходе соответственного дифференцирования и интегрирования функций и их произведения получаются результаты, кратные исходному подынтегральному выражению. В этом случае повторение также может быть прекращено с этим индексом i. Это может произойти, как и ожидалось, с экспоненциальными и тригонометрическими функциями. В качестве примера рассмотрим ${\displaystyle u^{(i)}}$ ${\displaystyle v^{(n-i)}}$

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}$$

В этом случае произведение членов в столбцах A и B с соответствующим знаком для индекса i = 2 дает отрицательное значение исходного подынтегральнго выражения (сравните строки i = 0 и i = 2 ).

$${\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} _{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} _{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} _{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} _{i=2}.}$$

Заметив, что интеграл в правой части может иметь свою собственную постоянную интегрирования , и перенеся абстрактный интеграл на другую сторону, получаем: ${\displaystyle C'}$

$${\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}$$

и наконец:

$${\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}$$

где . ${\displaystyle C={\frac {C'}{2}}}$

Более высокие измерения

Интеграция по частям может быть распространена на функции нескольких переменных, применяя версию фундаментальной теоремы исчисления к соответствующему правилу произведения. Существует несколько таких пар, возможных в многомерном исчислении, включая скалярную функцию u и векторную функцию (векторное поле) V . ^[7]

Правило произведения для дивергенции гласит:

$${\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}$$

Предположим, что есть открытое ограниченное подмножество с кусочно -гладкой границей . Интегрирование по относительно стандартной формы объема и применение теоремы о расходимости дает: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma \ =\ \int _{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

где — внешний единичный нормальный вектор к границе, проинтегрированный относительно его стандартной римановой формы объема . Перестановка дает: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle d\Gamma }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}$$

или другими словами Требования регулярности теоремы могут быть ослаблены. Например, граница должна быть только липшицевой , а функции u , v должны лежать только в пространстве Соболева . $${\displaystyle \int _{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .}$$ ${\displaystyle \Gamma =\partial \Omega }$ ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$

Первая личность Грина

Рассмотрим непрерывно дифференцируемые векторные поля и , где — i -й стандартный базисный вектор для . Теперь применим приведенное выше интегрирование по частям к каждому векторному полю : ${\displaystyle \mathbf {U} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+\cdots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{1},\ldots ,v\mathbf {e} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle v\mathbf {e} _{i}}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }u_{i}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }u_{i}v\,\mathbf {e} _{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}v\,d\Omega .}$$

Суммирование по i дает новую формулу интегрирования по частям:

$${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}$$

Случай , когда , известен как первое из тождеств Грина : ${\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}$ ${\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int _{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int _{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}$$

Смотрите также

• Интегрирование по частям для интеграла Лебега–Стилтьеса
• Интегрирование по частям для семимартингалов , включающее их квадратичную ковариацию.
• Интеграция путем подстановки
• преобразование Лежандра

Примечания

1. "Брук Тейлор". History.MCS.St-Andrews.ac.uk . Получено 25 мая 2018 г. .
2. "Brook Taylor". Stetson.edu . Архивировано из оригинала 3 января 2018 г. Получено 25 мая 2018 г.
3. "Интеграция по частям". Энциклопедия математики .
4. Касубе, Герберт Э. (1983). «Методика интегрирования по частям». The American Mathematical Monthly . 90 (3): 210–211. doi :10.2307/2975556. JSTOR  2975556.
5. Томас, ГБ ; Финни, РЛ (1988). Исчисление и аналитическая геометрия (7-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-17069-8.
6. Горовиц, Дэвид (1990). «Табличное интегрирование по частям» (PDF) . The College Mathematics Journal . 21 (4): 307–311. doi :10.2307/2686368. JSTOR  2686368.
7. Роджерс, Роберт С. (29 сентября 2011 г.). «Исчисление нескольких переменных» (PDF) .

Дальнейшее чтение

• Louis Brand (10 октября 2013 г.). Advanced Calculus: An Introduction to Classical Analysis. Courier Corporation. стр. 267–. ISBN 978-0-486-15799-3.
• Хоффманн, Лоуренс Д.; Брэдли, Джеральд Л. (2004). Исчисление для бизнеса, экономики, социальных и биологических наук (8-е изд.). С. 450–464. ISBN 0-07-242432-X.
• Уиллард, Стивен (1976). Исчисление и его приложения . Бостон: Prindle, Weber & Schmidt. С. 193–214. ISBN 0-87150-203-8.
• Вашингтон, Аллин Дж. (1966). Техническое исчисление с аналитической геометрией . Чтение: Addison-Wesley. стр. 218–245. ISBN 0-8465-8603-7.

Внешние ссылки

• «Интеграция по частям», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Интеграция по частям — из MathWorld