Первообразная

Концепция исчисления

Поле наклона , показывающее три из бесконечного множества решений, которые могут быть получены путем изменения произвольной константы c . ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c}$

В исчислении первообразная , обратная производная , примитивная функция , примитивный интеграл или неопределенный интеграл [ ^{Примечание 1]} функции f — это дифференцируемая функция F , производная которой равна исходной функции f . Это можно выразить символически как F' = f . ^{[1] [2]} Процесс решения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а его противоположная операция называется дифференцированием , которое представляет собой процесс нахождения производной. Первообразные часто обозначаются заглавными латинскими буквами, такими как F и G.

Первообразные связаны с определенными интегралами посредством второй фундаментальной теоремы исчисления : определенный интеграл функции на замкнутом интервале , где функция интегрируема по Риману, равен разнице между значениями первообразной, вычисленной в конечных точках интервала.

В физике первообразные возникают в контексте прямолинейного движения (например, при объяснении связи между положением , скоростью и ускорением ). [ ^3] Дискретным эквивалентом понятия первообразной является антиразность .

Примеры

Функция является первообразной , так как производная равна . А поскольку производная константы равна нулю , будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как и т. д. Таким образом, все первообразные можно получить, изменяя значение c в , где c — произвольная константа, известная как константа интеграции . По сути, графики первообразных данной функции представляют собой вертикальный сдвиг друг друга, при этом вертикальное положение каждого графика зависит от значения c . ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c}$

В более общем смысле, степенная функция имеет первообразную , если n ≠ −1 и n = −1 . ${\displaystyle f(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}$ ${\displaystyle F(x)=\log |x|+c}$

В физике интегрирование ускорения дает скорость плюс константу. Константа — это начальный член скорости, который будет потерян при взятии производной скорости, поскольку производная постоянного члена равна нулю. Тот же самый шаблон применим к дальнейшему интегрированию и производным движения (положение, скорость, ускорение и т. д.). ^[3] Таким образом, интегрирование дает соотношения ускорения, скорости и перемещения :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}}$$

Использование и свойства

Первообразные можно использовать для вычисления определенных интегралов , используя фундаментальную теорему исчисления : если F является первообразной непрерывной функции f на интервале , то: ${\displaystyle [a,b]}$

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).}$$

По этой причине каждую из бесконечного множества первообразных данной функции f можно назвать «неопределенным интегралом» от f и записать с использованием символа интеграла без границ:

$${\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Если F является первообразной f и функция f определена на некотором интервале, то любая другая первообразная G от f отличается от F на константу: существует число c такое, что для всех x . c называется константой интегрирования . Если область определения F представляет собой непересекающееся объединение двух или более (открытых) интервалов, то для каждого из интервалов можно выбрать другую константу интегрирования. Например ${\displaystyle G(x)=F(x)+c}$

$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}}$$

является наиболее общей первообразной в своей естественной области ${\displaystyle f(x)=1/x^{2}}$ ${\displaystyle (-\infty ,0)\cup (0,\infty ).}$

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную, и одна первообразная F задается определенным интегралом от f с переменной верхней границей:

$${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t~,}$$

afтеоремы исчисления

Существует множество функций, первообразные которых, даже если они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (например , многочлены , показательные функции , логарифмы , тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции и их комбинации). Примерами этого являются

• функция ошибки
  $${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,}$$
• функция Френеля
  $${\displaystyle \int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,}$$
• синусоидальный интеграл
  $${\displaystyle \int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,}$$
• логарифмическая интегральная функция
  $${\displaystyle \int {\frac {1}{\log x}}\,\mathrm {d} x,}$$
  и
• мечта второкурсника
  $${\displaystyle \int x^{x}\,\mathrm {d} x.}$$

Для более подробного обсуждения см. также Дифференциальную теорию Галуа .

Методы интеграции

Найти первообразные элементарных функций зачастую значительно сложнее, чем найти их производные (действительно, не существует заранее определенного метода вычисления неопределенных интегралов). ^[4] Для некоторых элементарных функций невозможно найти первообразную через другие элементарные функции. Чтобы узнать больше, см. элементарные функции и неэлементарный интеграл .

Существует множество свойств и методов поиска первообразных. К ним относятся, среди прочего:

• Линейность интегрирования (разбивающая сложные интегралы на более простые)
• Интегрирование путем замены , часто в сочетании с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом.
• Метод правила обратной цепочки (частный случай интегрирования заменой)
• Интеграция по частям (для интеграции продуктов функций)
• Интегрирование обратной функции (формула, которая выражает первообразную обратной f ⁻¹ обратимой и непрерывной функции f через первообразную f и f ⁻¹ ).
• Метод простейших дробей при интегрировании (позволяет интегрировать все рациональные функции — дроби двух многочленов)
• Алгоритм Риша
• Дополнительные методы многократного интегрирования (см., например, двойные интегралы , полярные координаты , якобиан и теорему Стокса )
• Численное интегрирование (метод аппроксимации определенного интеграла, когда элементарной первообразной не существует, как в случае exp(− x ² ) )
• Алгебраические манипуляции с подынтегральной функцией (чтобы можно было использовать другие методы интегрирования, такие как интегрирование путем замены)
• Формула Коши для повторного интегрирования (для вычисления n -кратной первообразной функции)
  $${\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.}$$

Системы компьютерной алгебры можно использовать для автоматизации некоторых или всей работы, связанной с описанными выше символьными методами, что особенно полезно, когда задействованные алгебраические манипуляции очень сложны или длительны. Интегралы, которые уже были получены, можно найти в таблице интегралов .

О ненепрерывных функциях

Ненепрерывные функции могут иметь первообразные. Хотя в этой области все еще остаются открытые вопросы, известно, что:

• Тем не менее некоторые крайне патологические функции с большим набором разрывов могут иметь первообразные.
• В некоторых случаях первообразные таких патологических функций могут быть найдены путем интегрирования по Риману , тогда как в других случаях эти функции не интегрируемы по Риману.

Предполагая, что области определения функций представляют собой открытые интервалы:

• Необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы функция f имела первообразную, является то, что f обладает свойством промежуточного значения . То есть, если [ a , b ] — подинтервал области определения f , а y — любое действительное число между f ( a ) и f ( b ) , то существует c между a и b такое , что f ( c ) = й . Это следствие теоремы Дарбу .
• Множество разрывов функции f должно быть скудным . Это множество также должно быть F-сигма- множеством (так как множество разрывов любой функции должно быть именно такого типа). Более того, для любого скудного множества F-сигм можно построить некоторую функцию f, имеющую первообразную, имеющую данное множество в качестве множества разрывов.
• Если f имеет первообразную, ограничена на замкнутых конечных подинтервалах области и имеет множество разрывов меры Лебега 0, то первообразную можно найти интегрированием в смысле Лебега. Фактически, используя более мощные интегралы, такие как интеграл Хенстока-Курцвейла , каждая функция, для которой существует первообразная, интегрируема, и ее общий интеграл совпадает с ее первообразной.
• Если f имеет первообразную F на замкнутом интервале , то для любого выбора разбиения, если выбрать точки выборки , как указано в теореме о среднем значении , то соответствующая сумма Римана телескопируется до значения . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$ ${\displaystyle F(b)-F(a)}$
  $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}$$
  Однако если f неограничено или если f ограничено, но множество разрывов f имеет положительную меру Лебега, другой выбор точек выборки может дать существенно другое значение суммы Римана, независимо от того, насколько точное разбиение. См. пример 4 ниже. ${\displaystyle x_{i}^{*}}$

Некоторые примеры

1. Функция
   $${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)}$$
   с не является непрерывным, но имеет первообразную ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$
   $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}$$
   с . Поскольку f ограничена на замкнутых конечных интервалах и разрывна только в точке 0, первообразную F можно получить интегрированием: . ${\displaystyle F(0)=0}$ ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t}$
2. Функция
   $${\displaystyle f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$
   с не является непрерывным, но имеет первообразную ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle x=0}$
   $${\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)}$$
   с . В отличие от примера 1, f ( x ) не ограничена в любом интервале, содержащем 0, поэтому интеграл Римана не определен. ${\displaystyle F(0)=0}$
3. Если f ( x ) — функция из примера 1, а F — ее первообразная и плотное счетное подмножество открытого интервала, то функция ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (-1,1),}$
   $${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}}$$
   имеет первообразную
   $${\displaystyle G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.}$$
   Множество разрывов g есть в точности множество . Поскольку g ограничена на замкнутых конечных интервалах и множество разрывов имеет меру 0, первообразную G можно найти интегрированием. ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$
4. Пусть – плотное счетное подмножество открытого интервала. Рассмотрим всюду непрерывную строго возрастающую функцию ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle (-1,1).}$
   $${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.}$$
   Можно показать, что
   $${\displaystyle F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}}$$

   

   Рисунок 1.

   

   Фигура 2.

   для всех значений x , где ряд сходится, и что график F ( x ) имеет вертикальные касательные линии при всех других значениях x . В частности, график имеет вертикальные касательные во всех точках множества . ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 1}}$

   Более того, для всех x , где определена производная. Отсюда следует, что обратная функция всюду дифференцируема и что ${\displaystyle F(x)\geq 0}$ ${\displaystyle G=F^{-1}}$

   $${\displaystyle g(x)=G'(x)=0}$$

   для всех x в множестве , плотном в интервале. Таким образом, g имеет первообразную G . С другой стороны, не может быть правдой, что ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle [F(-1),F(1)].}$

   $${\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,}$$
   поскольку для любого раздела можно выбрать точки выборки для суммы Римана из набора , придав сумме значение 0. Отсюда следует, что g имеет множество разрывов положительной меры Лебега. На рисунке 1 справа показано приближение графика g ( x ) , где и ряд усечен до 8 членов. На рисунке 2 показан график аппроксимации первообразной G ( x ) , также усеченный до 8 членов. С другой стороны, если интеграл Римана заменить интегралом Лебега , то лемма Фату или теорема о доминируемой сходимости показывает, что g действительно удовлетворяет фундаментальной теореме исчисления в этом контексте. ${\displaystyle [F(-1),F(1)]}$ ${\displaystyle \{F(x_{n})\}_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle \{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}}$
5. В примерах 3 и 4 множества разрывов функции g плотны только на конечном открытом интервале. Однако эти примеры можно легко модифицировать, чтобы иметь множества разрывов, плотные на всей вещественной прямой . Позволять ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
   $${\displaystyle \lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.}$$
   Тогда имеет плотное множество разрывов и первообразную ${\displaystyle g(\lambda (x))\lambda '(x)}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle G\cdot \lambda .}$
6. Используя тот же метод, что и в примере 5, можно изменить g в примере 4 так, чтобы он обращался в нуль во всех рациональных числах . Если использовать наивную версию интеграла Римана , определенного как предел левых или правых сумм Римана по регулярным разбиениям, можно получить, что интеграл такой функции g на интервале равен 0, когда a и b оба равны рациональное, а не . Таким образом, фундаментальная теорема исчисления потерпит сокрушительный крах. ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle G(b)-G(a)}$
7. Функция, имеющая первообразную, все равно может оказаться неинтегрируемой по Риману. Примером может служить производная функции Вольтерра .

Основные формулы

• Если , то . ${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)}$ ${\displaystyle \int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C}$
• ${\displaystyle \int 1\ \mathrm {d} x=x+C}$
• ${\displaystyle \int a\ \mathrm {d} x=ax+C}$
• ${\displaystyle \int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1}$
• ${\displaystyle \int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C}$
• ${\displaystyle \int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C}$
• ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\log |x|+C}$
• ${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C}$
• ${\displaystyle \int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\log a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1}$

Смотрите также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Формальная первообразная
• Интеграл Джексона
• Списки интегралов
• Символическая интеграция
• Область

Примечания

1. Первообразные также называют общими интегралами , а иногда и интегралами . Последний термин является общим и относится не только к неопределенным интегралам (первообразным), но и к определенным интегралам . Когда слово « интеграл» используется без дополнительных уточнений, читатель должен сделать вывод из контекста, относится ли оно к определенному или неопределенному интегралу. Некоторые авторы определяют неопределенный интеграл функции как совокупность ее бесконечного числа возможных первообразных. Другие определяют его как произвольно выбранный элемент этого множества. В данной статье применяется последний подход. В английских учебниках по математике A-Level можно встретить термин « полный примитив» — L. Bostock and S. Chandler (1978) Pure Mathematics 1 ; Решение дифференциального уравнения, включающее произвольную константу, называется общим решением (или иногда полным примитивом) .

Рекомендации

1. Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: ранние трансценденталисты (6-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-495-01166-8.
2. Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс/Коул . ISBN 978-0-547-16702-2.
3. «4.9: Первообразные». Математика LibreTexts . 27 апреля 2017 г. Проверено 18 августа 2020 г.
4. «Первообразная и неопределенная интеграция | Блестящая математическая и научная вики» . блестящий.орг . Проверено 18 августа 2020 г.

дальнейшее чтение

• «Введение в классический реальный анализ» , Карл Р. Стромберг; Уодсворт, 1981 г. (см. Также)
• Исторический очерк о непрерывности деривативов, Дэйв Л. Ренфро

Внешние ссылки

• Wolfram Integrator — Бесплатная онлайн-символьная интеграция с Mathematica
• Калькулятор функций от WIMS
• Интеграл в Гиперфизике
• Первообразные и неопределенные интегралы в Академии Хана
• Интегральный калькулятор в Symbolab
• Первообразная в Массачусетском технологическом институте
• Введение в интегралы в SparkNotes
• Первообразные в колледже Харви Мадда