Неопределенная сумма

В дискретном исчислении оператор неопределенной суммы (также известный как оператор антиразности ), обозначаемый или , ^{[1] [2]} является линейным оператором , обратным оператору прямой разности . Он относится к оператору прямой разности так же, как неопределенный интеграл относится к производной . Таким образом ${\textstyle \sum _{x}}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta \sum _{x}f(x)=f(x)\,.}$

Более явно, если , то ${\textstyle \sum _{x}f(x)=F(x)}$

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x)\,.}$

Если F ( x ) является решением этого функционального уравнения для данного f ( x ), то так же является F ( x ) + C ( x ) для любой периодической функции C ( x ) с периодом 1. Следовательно, каждая неопределенная сумма фактически представляет собой семейство функций. Однако, согласно теореме Карлсона , решение, равное его разложению в ряд Ньютона , уникально с точностью до аддитивной константы C. Это уникальное решение можно представить в виде формального степенного ряда оператора антиразности: . ${\displaystyle \Delta ^{-1}={\frac {1}{e^{D}-1}}}$

Основная теорема дискретного исчисления

Неопределенные суммы можно использовать для расчета определенных сумм по формуле: ^[3]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$

Определения

Формула суммирования Лапласа

Формула суммирования Лапласа позволяет записать неопределенную сумму в виде неопределенного интеграла плюс поправочные члены, полученные в результате итерации разностного оператора , хотя изначально она была разработана для обратного процесса записи интеграла в виде неопределенной суммы плюс поправочные члены. Как обычно с неопределенными суммами и неопределенными интегралами, это справедливо до произвольного выбора константы интегрирования . Использование операторной алгебры позволяет избежать загромождения формулы повторяющимися копиями функции, над которой нужно работать: ^[4]

$${\displaystyle \sum _{x}=\int {}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{12}}\Delta +{\frac {1}{24}}\Delta ^{2}-{\frac {19}{720}}\Delta ^{3}+{\frac {3}{160}}\Delta ^{4}-\cdots }$$

В этой формуле, например, член представляет оператор, который делит данную функцию на два. Коэффициенты , и т. д., входящие в эту формулу, являются коэффициентами Грегори , также называемыми числами Лапласа. Коэффициент в члене равен ^[4] ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}}$

$${\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}_{n}}{n!}}=\int _{0}^{1}{\binom {x}{n}}\,dx}$$

где числитель левой части называется числом Коши первого рода, хотя это название иногда применяется и к самим коэффициентам Грегори. ^[4] ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$

Формула Ньютона

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\binom {x}{k}}\Delta ^{k-1}[f]\left(0\right)+C=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k-1}[f](0)}{k!}}(x)_{k}+C}$

где находится падающий факториал . ${\displaystyle (x)_{k}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-k+1)}}}$

Формула Фаульхабера

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f^{(n-1)}(0)}{n!}}B_{n}(x)+C\,,}$

Формула Фаульхабера показывает, что правая часть уравнения сходится.

Формула Мюллера

Если тогда ^[5] ${\displaystyle \lim _{x\to {+\infty }}f(x)=0,}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(f(n)-f(n+x)\right)+C.}$

Формула Эйлера-Маклорена

${\displaystyle \sum _{x}f(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt-{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)+C}$

Выбор постоянного члена

Часто константа C в неопределенной сумме фиксируется из следующего условия.

Позволять

${\displaystyle F(x)=\sum _{x}f(x)+C}$

Тогда константа C фиксируется из условия

${\displaystyle \int _{0}^{1}F(x)\,dx=0}$

или

${\displaystyle \int _{1}^{2}F(x)\,dx=0}$

Альтернативно можно использовать сумму Рамануджана:

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-f(0)-F(0)}$

или в 1

${\displaystyle \sum _{x\geq 1}^{\Re }f(x)=-F(1)}$

соответственно ^{[6] [7]}

Суммирование по частям

Неопределённое суммирование по частям:

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}(g(x)+\Delta g(x))\Delta f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(x)\Delta g(x)+\sum _{x}g(x)\Delta f(x)=f(x)g(x)-\sum _{x}\Delta f(x)\Delta g(x)}$

Определенное суммирование по частям:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}f(i)\Delta g(i)=f(b+1)g(b+1)-f(a)g(a)-\sum _{i=a}^{b}g(i+1)\Delta f(i)}$

Правила периода

Если – период функции , то ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=xf(Tx)+C}$

Если – антипериод функции , то ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x+T)=-f(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}f(Tx)=-{\frac {1}{2}}f(Tx)+C}$

Альтернативное использование

Некоторые авторы используют словосочетание «неопределенная сумма» для описания суммы, в которой не указано числовое значение верхнего предела:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(k).}$

В этом случае выражение суммы F ( k ) в замкнутой форме является решением уравнения

${\displaystyle F(x+1)-F(x)=f(x+1)}$

которое называется уравнением телескопирования. ^[8] Это обратный оператор обратной разности . Он связан с оператором прямой антиразности с использованием фундаментальной теоремы дискретного исчисления, описанной ранее. ${\displaystyle \nabla }$

Список неопределенных сумм

Это список неопределенных сумм различных функций. Не каждая функция имеет неопределенную сумму, которую можно выразить через элементарные функции.

Антиразличия рациональных функций

${\displaystyle \sum _{x}a=ax+C}$

Из которого можно выбросить, оставив 1, с альтернативной формой . Отсюда мы имеем: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x^{0}}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{0}=\ x}$

Для суммы ниже помните ${\displaystyle x=x^{1}}$

${\displaystyle \sum _{x}x={\frac {x(x+1)}{2}}+C}$

Для положительных целых показателей можно использовать формулу Фаульхабера . Для отрицательных целочисленных показателей

${\displaystyle \sum _{x}{\frac {1}{x^{a}}}={\frac {(-1)^{a+1}\psi ^{(a+1)}(x)}{a!}}+C,\,a\in \mathbb {Z} }$

где можно использовать полигамма -функцию . ${\displaystyle \psi ^{(n)}(x)}$

В более общем смысле,

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}={\begin{cases}-\zeta (-a,x+1)+C_{1},&{\text{if }}a\neq -1\\\psi (x+1)+C_{2},&{\text{if }}a=-1\end{cases}}}$

где – дзета-функция Гурвица и – дигамма-функция . и являются константами, которым обычно присваиваются значения (где – дзета-функция Римана ) и константа Эйлера – Маскерони соответственно. Заменив переменную на , получим номер обобщенной гармоники . О связи между дзета-функцией Гурвица и полигамма- функцией см. Сбалансированная полигамма-функция и дзета-функция Гурвица#Специальные случаи и обобщения . ${\displaystyle \zeta (s,a)}$ ${\displaystyle \psi (z)}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle \zeta (-a)}$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle -a}$

Отсюда с помощью можно получить другую форму: ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}\zeta (s,a)=-s\zeta (s+1,a)}$

${\displaystyle \sum _{x}x^{a}=\int _{0}^{x}-a\zeta (1-a,u+1)du+C,{\text{ if }}a\neq -1}$

${\displaystyle \sum _{x}B_{a}(x)=(x-1)B_{a}(x)-{\frac {a}{a+1}}B_{a+1}(x)+C}$

Антиразности показательных функций

${\displaystyle \sum _{x}a^{x}={\frac {a^{x}}{a-1}}+C}$

Особенно,

${\displaystyle \sum _{x}2^{x}=2^{x}+C}$

Антиразности логарифмических функций

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}x=\log _{b}(x!)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\log _{b}ax=\log _{b}(x!a^{x})+C}$

Антиразличия гиперболических функций

${\displaystyle \sum _{x}\sinh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\cosh \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cosh ax={\frac {1}{2}}\operatorname {csch} \left({\frac {a}{2}}\right)\sinh \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\tanh ax={\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x-{\frac {i\pi }{2a}}\right)+{\frac {1}{a}}\psi _{e^{a}}\left(x+{\frac {i\pi }{2a}}\right)-x+C}$

где – q-дигамма -функция. ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

Антиразности тригонометрических функций

${\displaystyle \sum _{x}\sin ax=-{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\cos \left({\frac {a}{2}}-ax\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ax={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {a}{2}}\right)\sin \left(ax-{\frac {a}{2}}\right)+C\,,\,\,a\neq 2n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\sin ^{2}ax={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\cos ^{2}ax={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4}}\csc(a)\sin(a-2ax)+C\,\,,\,\,a\neq n\pi }$

${\displaystyle \sum _{x}\tan ax=ix-{\frac {1}{a}}\psi _{e^{2ia}}\left(x-{\frac {\pi }{2a}}\right)+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

где – q-дигамма -функция. ${\displaystyle \psi _{q}(x)}$

${\displaystyle \sum _{x}\tan x=ix-\psi _{e^{2i}}\left(x+{\frac {\pi }{2}}\right)+C=-\sum _{k=1}^{\infty }\left(\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1-x\right)+\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+x\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}+1\right)-\psi \left(k\pi -{\frac {\pi }{2}}\right)\right)+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\cot ax=-ix-{\frac {i\psi _{e^{2ia}}(x)}{a}}+C\,,\,\,a\neq {\frac {n\pi }{2}}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sinc} x=\operatorname {sinc} (x-1)\left({\frac {1}{2}}+(x-1)\left(\ln(2)+{\frac {\psi ({\frac {x-1}{2}})+\psi ({\frac {1-x}{2}})}{2}}-{\frac {\psi (x-1)+\psi (1-x)}{2}}\right)\right)+C}$

где – нормированная функция sinc . ${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$

Антиразности обратных гиперболических функций

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {artanh} \,ax={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma \left(x+{\frac {1}{a}}\right)}{\Gamma \left(x-{\frac {1}{a}}\right)}}\right)+C}$

Антиразности обратных тригонометрических функций

${\displaystyle \sum _{x}\arctan ax={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {\Gamma (x+{\frac {i}{a}})}{\Gamma (x-{\frac {i}{a}})}}\right)+C}$

Антиотличия специальных функций

${\displaystyle \sum _{x}\psi (x)=(x-1)\psi (x)-x+C}$

${\displaystyle \sum _{x}\Gamma (x)=(-1)^{x+1}\Gamma (x){\frac {\Gamma (1-x,-1)}{e}}+C}$

где – неполная гамма-функция . ${\displaystyle \Gamma (s,x)}$

${\displaystyle \sum _{x}(x)_{a}={\frac {(x)_{a+1}}{a+1}}+C}$

где находится падающий факториал . ${\displaystyle (x)_{a}}$

${\displaystyle \sum _{x}\operatorname {sexp} _{a}(x)=\ln _{a}{\frac {(\operatorname {sexp} _{a}(x))'}{(\ln a)^{x}}}+C}$

(см. суперэкспоненциальную функцию )

Смотрите также

• Неопределенный продукт
• Расчет шкалы времени
• Список производных и интегралов в альтернативных исчислениях

Рекомендации

1. Ман, Ю-Квонг (1993), «О вычислении замкнутых форм для неопределенного суммирования», Журнал символических вычислений , 16 (4): 355–376, doi : 10.1006/jsco.1993.1053, MR  1263873
2. Голдберг, Сэмюэл (1958), Введение в разностные уравнения с наглядными примерами из экономики, психологии и социологии, Wiley, Нью-Йорк, и Chapman & Hall, Лондон, стр. 41, MR  0094249, Если - функция, первой разностью которой является функция , то называется неопределенной суммой и обозначается ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \Delta ^{-1}y}$; переиздано Dover Books, 1986 г.
3. «Справочник по дискретной и комбинаторной математике», Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1 
4. Мерлини, Донателла; Спруньоли, Ренцо; Верри, М. Сесилия (2006), «Числа Коши», Дискретная математика , 306 (16): 1906–1920, doi : 10.1016/j.disc.2006.03.065, MR  2251571
5. Маркус Мюллер. Как добавить нецелое количество терминов и как произвести необычные бесконечные суммирования. Архивировано 17 июня 2011 г. в Wayback Machine (обратите внимание, что в своей работе он использует несколько альтернативное определение дробной суммы, т.е. обратное к обратной разности, отсюда 1 как нижний предел в его формуле)
6. Брюс К. Берндт, Записные книжки Рамануджана, заархивированные 12 октября 2006 г. в Wayback Machine , Теория расходящихся рядов Рамануджана , Глава 6, Springer-Verlag (редактор), (1939), стр. 133–149.
7. Эрик Делабаер, Суммирование Рамануджана, Семинар по алгоритмам 2001–2002 гг. , Ф. Чизак (редактор), INRIA, (2003), стр. 83–88.
8. Алгоритмы для нелинейных разностных уравнений высшего порядка, Мануэль Кауэрс

дальнейшее чтение

• «Разностные уравнения: введение с приложениями», Уолтер Г. Келли, Аллан К. Петерсон, Academic Press, 2001, ISBN 0-12-403330-X 
• Маркус Мюллер. Как сложить нецелое количество членов и как производить необычные бесконечные суммирования
• Маркус Мюллер, Дирк Шлейхер. Дробные суммы и тождества типа Эйлера
• ИП Поляков. Неопределенное суммирование рациональных функций с дополнительной минимизацией суммируемой части. Программирование, 2008, Том. 34, № 2.
• «Уравнения в конечных разностях и моделирование», Фрэнсис Б. Хильдебранд, Прентис-Холл, 1968 г.