Открытый набор

Основное подмножество топологического пространства

Пример: синий круг представляет набор точек ( x , y ), удовлетворяющих x ² + y ² = r ² . Красный диск представляет набор точек ( x , y ), удовлетворяющих x ² + y ² < r ² . Красное множество — открытое множество, синее — его граничное множество, а объединение красного и синего множеств — закрытое множество .

В математике открытое множество — это обобщение открытого интервала действительной прямой .

В метрическом пространстве ( множество с расстоянием , определенным между любыми двумя точками) открытое множество — это множество, которое вместе с каждой точкой P содержит все точки, достаточно близкие к P (то есть все точки, расстояние до которых до P меньше некоторой величины, зависящей от P ).

В более общем смысле, открытое множество — это член заданной коллекции подмножеств данного множества, коллекция, которая обладает свойством содержать каждое объединение своих членов, каждое конечное пересечение своих членов, пустое множество и само все множество. . Множество, в котором задан такой набор, называется топологическим пространством , а набор — топологией . Эти условия очень свободны и допускают огромную гибкость в выборе открытых наборов. Например, каждое подмножество может быть открытым ( дискретная топология ) или ни одно подмножество не может быть открытым, кроме самого пространства и пустого множества (недискретная топология ). ^[1]

На практике, однако, открытые множества обычно выбираются, чтобы обеспечить понятие близости, аналогичное понятию близости метрических пространств, без определения понятия расстояния. В частности, топология позволяет определять такие свойства, как непрерывность , связность и компактность , которые изначально определялись посредством расстояния.

Наиболее распространенным случаем топологии без какого-либо расстояния являются многообразия , которые представляют собой топологические пространства, которые вблизи каждой точки напоминают открытое множество евклидова пространства , но на которых вообще не определено расстояние. Менее интуитивные топологии используются в других областях математики; например, топология Зарисского , которая является фундаментальной в алгебраической геометрии и теории схем .

Мотивация

Интуитивно понятно, что открытое множество предоставляет метод различения двух точек . Например, если около одной из двух точек топологического пространства существует открытое множество, не содержащее другой (отличной) точки, эти две точки называются топологически различимыми . Таким образом, можно говорить о том, являются ли две точки или, в более общем смысле, два подмножества топологического пространства «близкими», без конкретного определения расстояния . Следовательно, топологические пространства можно рассматривать как обобщение пространств, снабженных понятием расстояния, которые называются метрическими пространствами .

В множестве всех действительных чисел имеется естественная евклидова метрика ; то есть функция, которая измеряет расстояние между двумя действительными числами: d ( x , y ) = | х - у | . Следовательно, учитывая действительное число x , можно говорить о множестве всех точек, близких к этому действительному числу; то есть в пределах ε от x . По сути, точки в пределах ε от x аппроксимируют x с точностью до степени ε . Обратите внимание, что ε > 0 всегда, но по мере того, как ε становится все меньше и меньше, получаются точки, которые аппроксимируют x со все большей и большей степенью точности. Например, если x = 0 и ε = 1, точки внутри ε от x являются в точности точками интервала ( −1, 1); то есть набор всех действительных чисел между -1 и 1. Однако при ε = 0,5 точки внутри ε от x являются в точности точками (−0,5, 0,5). Очевидно, что эти точки аппроксимируют x с большей точностью, чем при ε = 1.

Предыдущее обсуждение показывает, что для случая x = 0 можно аппроксимировать x со все более высокой степенью точности, определяя ε все меньшим и меньшим. В частности, множества вида (− ε , ε ) дают нам много информации о точках, близких к x = 0. Таким образом, вместо того, чтобы говорить о конкретной евклидовой метрике, можно использовать множества для описания точек, близких к x . Эта новаторская идея имеет далеко идущие последствия; в частности, определяя различные наборы множеств, содержащих 0 (отличных от наборов (− ε , ε )), можно получить разные результаты относительно расстояния между 0 и другими действительными числами. Например, если бы мы определили R как единственный такой набор для «измерения расстояния», все точки были бы близки к 0, поскольку существует только одна возможная степень точности, которой можно достичь при аппроксимации 0: быть членом R . Таким образом, мы обнаруживаем, что в некотором смысле каждое действительное число находится на расстоянии 0 от 0. В этом случае может помочь думать о мере как о двоичном условии: все вещи в R одинаково близки к 0, в то время как любой элемент, который не находится в R и не близок к 0.

В общем, в качестве базиса окрестности называют семейство множеств, содержащих 0, используемое для аппроксимации 0 ; член этого базиса окрестности называется открытым множеством . Фактически, эти понятия можно обобщить на произвольное множество ( X ); а не просто реальные цифры. В этом случае, учитывая точку ( x ) этого набора, можно определить набор множеств «вокруг» (то есть содержащих) x , используемый для аппроксимации x . Конечно, эта коллекция должна будет удовлетворять определенным свойствам (известным как аксиомы ), иначе у нас может не быть четко определенного метода измерения расстояния. Например, каждая точка X должна аппроксимировать x с некоторой степенью точности. Таким образом, X должен быть в этой семье. Как только мы начинаем определять «меньшие» множества, содержащие x , мы стремимся аппроксимировать x с большей степенью точности. Принимая это во внимание, можно определить остальные аксиомы, которым должно удовлетворять семейство множеств относительно x .

Определения

Здесь дается несколько определений, расположенных в порядке возрастания формальности. Каждый из них является частным случаем следующего.

Евклидово пространство

Подмножество евклидова n -пространства R ⁿ открыто , если для каждой точки x в существует положительное действительное число ε (зависящее от x ) , такое что любая точка в R ⁿ , чье евклидово расстояние от x меньше ε, принадлежит . ^[2] Эквивалентно, подмножество R ⁿ открыто, если каждая точка в нем является центром открытого шара, содержащегося в ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$

Примером неоткрытого подмножества R является замкнутый интервал [0,1] , поскольку ни 0 - ε , ни 1 + ε не принадлежат [0,1] ни при каком ε > 0 , каким бы малым оно ни было.

Метрическое пространство

Подмножество U метрического пространства ( M , d ) называется открытым , если для любой точки x в U существует действительное число ε > 0 такое, что любая точка, удовлетворяющая d ( x , y ) < ε , принадлежит U . Эквивалентно, U является открытым, если каждая точка в U имеет окрестность, содержащуюся в U . ${\displaystyle y\in M}$

Это обобщает пример евклидова пространства, поскольку евклидово пространство с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.

Топологическое пространство

Топология множества X — это набор подмножеств X со свойствами, указанными ниже . Каждый член называется открытым множеством . ^[3] ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

• ${\displaystyle X\in \tau }$и ${\displaystyle \varnothing \in \tau }$
• Любое объединение множеств принадлежит : если то ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \left\{U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$
  $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau }$$
• Любое конечное пересечение множеств в принадлежит : если то ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}\in \tau }$
  $${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau }$$

X вместе с называется топологическим пространством . ${\displaystyle \tau }$

Бесконечные пересечения открытых множеств не обязательно должны быть открытыми. Например, пересечение всех интервалов вида где – целое положительное число, является множеством , не открытым в реальной строке. ${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{0\}}$

Метрическое пространство — это топологическое пространство, топология которого состоит из совокупности всех подмножеств, являющихся объединениями открытых шаров. Однако существуют топологические пространства, которые не являются метрическими пространствами.

Специальные типы открытых наборов

Закрытые наборы и незакрытые и/или незакрытые наборы

Набор может быть открытым, закрытым, обоими или ни одним. В частности, открытые и закрытые множества не являются взаимоисключающими, а это означает, что подмножество топологического пространства, как правило, может одновременно быть как открытым, так и закрытым подмножеством. Такие подмножества известны как замкнуто-открытые множества . Явно, подмножество топологического пространства называется открытозамкнутым, если оба и его дополнение являются открытыми подмножествами ; или, что то же самое, если и ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X\setminus S}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$

В любом топологическом пространстве пустое множество и само множество всегда замкнуто-замкнутые. Эти два множества являются наиболее известными примерами открыто-замкнутых подмножеств и показывают, что открыто-замкнутые подмножества существуют в каждом топологическом пространстве. Чтобы понять, почему закрыто, начнём с напоминания о том, что множества и по определению всегда являются открытыми подмножествами (из ). Также по определению подмножество называется закрытым, если (и только если) его дополнение, в котором находится это множество, является открытым подмножеством. Поскольку дополнением (in ) всего набора является пустое множество (т.е. ), которое является открытым подмножеством, это означает, что оно является закрытым подмножеством (по определению «закрытого подмножества»). Следовательно, независимо от того, какая топология размещена во всем пространстве, оно одновременно является как открытым, так и закрытым подмножеством ; иными словами, всегда является открыто-открытым подмножеством. Поскольку дополнением к пустому множеству является открытое подмножество, можно использовать те же рассуждения, чтобы заключить, что оно также является открыто-открытым подмножеством ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X\setminus S,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S:=X}$ ${\displaystyle X\setminus S=\varnothing }$ ${\displaystyle S=X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\setminus \varnothing =X,}$ ${\displaystyle S:=\varnothing }$ ${\displaystyle X.}$

Рассмотрим действительную линию , наделенную своей обычной евклидовой топологией , открытые множества которой определяются следующим образом: каждый интервал действительных чисел принадлежит топологии, каждое объединение таких интервалов, например, принадлежит топологии, и, как всегда, оба и принадлежат топология. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (a,b)\cup (c,d),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varnothing }$

• Интервал открыт, поскольку он принадлежит евклидовой топологии. Если бы у нас было открытое дополнение, это по определению означало бы, что оно закрыто. Но не имеет открытого дополнения; его дополнением является то, что не принадлежит евклидовой топологии, поскольку оно не является объединением открытых интервалов формы. Следовательно, это пример множества, которое открыто, но не замкнуто. ${\displaystyle I=(0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I=(-\infty ,0]\cup [1,\infty ),}$ ${\displaystyle (a,b).}$ ${\displaystyle I}$
• По аналогичному аргументу интервал является закрытым, но не открытым подмножеством. ${\displaystyle J=[0,1]}$
• Наконец, поскольку ни одна , ни ее дополнение не принадлежат евклидовой топологии (поскольку ее нельзя записать в виде объединения интервалов вида ), то это означает, что она не является ни открытой, ни закрытой. ${\displaystyle K=[0,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus K=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle K}$

Если топологическое пространство наделено дискретной топологией (так что по определению каждое его подмножество открыто), то каждое подмножество является открыто-закрытым подмножеством. Для более сложного примера, напоминающего дискретную топологию, предположим, что это ультрафильтр на непустом множестве. Тогда объединение представляет собой топологию со свойством, что каждое непустое собственное подмножество является либо открытым подмножеством, либо закрытым подмножеством. , но никогда и то и другое; то есть, если (где ), то верно ровно одно из следующих двух утверждений: либо (1), либо иначе, (2) Иными словами, каждое подмножество является открытым или закрытым, но единственные подмножества , которые являются обоими (т. е. замкнуто-замкнутыми) и _ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau :={\mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \varnothing \neq S\subsetneq X}$ ${\displaystyle S\neq X}$ ${\displaystyle S\in \tau }$ ${\displaystyle X\setminus S\in \tau .}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle X.}$

Регулярные открытые наборы

Подмножество топологического пространства называется регулярным открытым множеством, если или , что то же самое, если , где , , и обозначают соответственно топологическую границу , внутреннюю часть и замыкание в . Топологическое пространство, для которого существует база , состоящая из регулярных открытых множеств, называется полурегулярным пространством . Подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда его дополнение в является регулярным замкнутым множеством, где по определению подмножество называется регулярным замкнутым множеством, если или, что то же самое, если Каждое регулярное открытое множество (соответственно регулярное закрытое множество) открытое подмножество (соответственно, является закрытым подмножеством), хотя в целом ^{[примечание 1]} обратные утверждения неверны . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} \left({\overline {S}}\right)=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left({\overline {S}}\right)=\operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} S}$ ${\displaystyle {\overline {S}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {\operatorname {Int} S}}=S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right)=\operatorname {Bd} S.}$

Характеристики

Объединение любого числа открытых множеств или бесконечного числа открытых множеств является открытым . ^[4] Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. ^[4]

Дополнение открытого множества (относительно пространства, на котором определена топология) называется закрытым множеством . Множество может быть как открытым, так и закрытым ( закрытое множество ). Пустое множество и полное пространство являются примерами одновременно открытых и закрытых множеств. ^[5]

Использование

Открытые множества имеют фундаментальное значение в топологии . Эта концепция необходима для определения и понимания топологического пространства и других топологических структур, которые имеют дело с понятиями близости и сходимости таких пространств, как метрические пространства и равномерные пространства .

Каждое подмножество A топологического пространства X содержит (возможно, пустое) открытое множество; максимальное (упорядоченное по включению) такое открытое множество называется внутренностью A . Его можно построить путем объединения всех открытых множеств, содержащихся в A . ^[6]

Функция между двумя топологическими пространствами непрерывна , если прообраз каждого открытого множества в открыт в ^[7]. Функция называется открытой , если образ каждого открытого множества в открыт в ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Открытое множество на вещественной прямой обладает тем характерным свойством, что оно представляет собой счетное объединение непересекающихся открытых интервалов.

Примечания и предостережения

«Открытый» определяется относительно конкретной топологии.

Открытость множества зависит от рассматриваемой топологии . Отдав предпочтение большей краткости большей ясности , мы называем множество X , наделенное топологией, «топологическим пространством X », а не «топологическим пространством », несмотря на то, что все топологические данные содержатся в « Если существуют две топологии». в том же множестве множество U , открытое в первой топологии, может не быть открытым во второй топологии. Например, если X — любое топологическое пространство, а Y — любое подмножество X , множеству Y может быть присвоена собственная топология (называемая «топологией подпространства»), определяемая следующим образом: «множество U открыто в топологии подпространства на Y , если и только если U является пересечением Y с открытым множеством исходной топологии на X ». ^[8] Это потенциально вводит новые открытые множества: если V открыто в исходной топологии на X , но не открыто в исходной топологии на X , то оно открыто в топологии подпространства на Y. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle \tau .}$ ${\displaystyle V\cap Y}$ ${\displaystyle V\cap Y}$

В качестве конкретного примера: если U определяется как множество рациональных чисел в интервале, то U является открытым подмножеством рациональных чисел , но не действительных чисел . Это связано с тем, что когда окружающее пространство представляет собой рациональные числа, для каждой точки x в U существует положительное число a такое, что все рациональные точки на расстоянии a от x также находятся в U. С другой стороны, когда окружающее пространство является вещественным, то для каждой точки x в U не существует такого положительного a , что все действительные точки на расстоянии a от x находятся в U (поскольку U не содержит нерациональных чисел). ${\displaystyle (0,1),}$

Обобщения открытых множеств

Всюду будет топологическое пространство. ${\displaystyle (X,\tau )}$

Подмножество топологического пространства называется: ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$

• α-открыто, если, а дополнение такого множества называется α-замкнутым . ^[9] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)\right)}$
• preopen , почти open или локально плотный , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right).}$^[10]
  2. Существуют подмножества такие, что открыто в является плотным подмножеством и [ ^10] ${\displaystyle D,U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A=U\cap D.}$
  3. Существует открытое (в ) подмножество такое, что оно является плотным подмножеством из ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle U.}$

  Дополнение предоткрытого множества называется предзакрытым .

• б-открыть, если. Дополнение к b-открытому множеству называется b-замкнутым . ^[9] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)~\cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$
• β-открытый или полупредоткрытый , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^[9]
  2. ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$является регулярным замкнутым подмножеством из ^[10] ${\displaystyle X.}$
  3. Существует предоткрытое подмножество такое , что ^[10] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  Дополнение к β-открытому множеству называется β-замкнутым .

• последовательно открыт , если он удовлетворяет любому из следующих эквивалентных условий:
  1. Всякий раз, когда последовательность в сходится к некоторой точке , то эта последовательность в конечном итоге оказывается в . Явно это означает, что если есть последовательность в и если существует какая- то такая, что в то в конечном итоге находится в (то есть существует какое-то целое число такое, что если тогда ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j\geq i,}$ ${\displaystyle x_{j}\in A}$
  2. ${\displaystyle A}$равна своей секвенциальной внутренности , в которой по определению находится множество ${\displaystyle X,}$

     ${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{ whenever a sequence in }}X{\text{ converges to }}a{\text{ in }}(X,\tau ),{\text{ then that sequence is eventually in }}A\}\\&=\{a\in A~:~{\text{ there does NOT exist a sequence in }}X\setminus A{\text{ that converges in }}(X,\tau ){\text{ to a point in }}A\}\\\end{alignedat}}}$

  Дополнение секвенциально открытого множества называется секвенциально замкнутым . Подмножество является секвенциально замкнутым в том и только том случае, если оно равно его последовательному замыканию , которое по определению представляет собой множество, состоящее из всех , для которых существует последовательность в , сходящаяся к (в ). ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {SeqCl} _{X}S}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

• почти открыто и называется обладающим свойством Бэра, если существуеттакое открытое подмножество, котороеявляетсяскудным подмножеством, гдеобозначаетсимметричную разность. ^[11] ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup U}$ ${\displaystyle \bigtriangleup }$
  • Говорят, что подмножество обладает свойством Бэра в узком смысле, если для каждого подмножества пересечения имеется свойство Бэра относительно . ^[12] ${\displaystyle A\subseteq X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\cap E}$ ${\displaystyle E}$
• полуоткрытый если. Дополнениеполуоткрытого множества называется полузамкнутым множеством . ^[13] ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$ ${\displaystyle X}$
  • Полузамкнутость (в ) подмножества, обозначаемого символом, представляет собой пересечение всех полузамкнутых подмножеств, содержащихся в качестве подмножества. ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X,}$ ${\displaystyle \operatorname {sCl} _{X}A,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$
• полу-θ-открытое, если для каждогосуществует полуоткрытое подмножествотакое, что ^[13] ${\displaystyle x\in A}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq A.}$
• θ-открыто (соответственно δ-открыто ), если его дополнение впредставляет собой θ-замкнутое (соответственно δ-закрытое ) множество, где по определению подмножествоназывается θ-замкнутым (соответственно δ-замкнутым ), если оно равен множеству всех его точек θ-кластера (соответственно точек δ-кластера). Точканазывается точкой θ-кластера (соответственно точкой δ-кластера ) подмножества, если для каждой открытой окрестностивпересечениинепусто (соответственноне пусто). ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {cl} _{X}U}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right)}$

Используя тот факт, что

${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}B}$     и     ${\displaystyle \operatorname {int} _{X}A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}B~\subseteq ~B}$

всякий раз, когда два подмножества удовлетворяют следующему, можно вывести: ${\displaystyle A,B\subseteq X}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$

• Каждое α-открытое подмножество является полуоткрытым, полупредоткрытым, предоткрытым и b-открытым.
• Каждое b-открытое множество полупредоткрыто (т.е. β-открыто).
• Каждое предоткрытое множество является b-открытым и полупредоткрытым.
• Каждое полуоткрытое множество является b-открытым и полупредоткрытым.

Более того, подмножество является регулярным открытым множеством тогда и только тогда, когда оно предоткрыто и полузакрыто. ^[10] Пересечение α-открытого множества и полупредоткрытого (соответственно полуоткрытого, предоткрытого, b-открытого) множества представляет собой полупредоткрытое (соответственно полуоткрытое, предоткрытое, b-открытое) множество. ^[10] Предварительно открытые множества не обязательно должны быть полуоткрытыми, а полуоткрытые множества не обязательно должны быть предоткрытыми. ^[10]

Произвольные объединения предоткрытых (соответственно α-открытых, b-открытых, полупредоткрытых) множеств снова являются предоткрытыми (соответственно α-открытыми, b-открытыми, полупредоткрытыми). ^[10] Однако конечные пересечения предоткрытых множеств не обязательно должны быть предоткрытыми. ^[13] Множество всех α-открытых подмножеств пространства образует более тонкую топологию, чем [ ^9] ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$

Топологическое пространство является хаусдорфовым тогда и только тогда, когда каждый компакт в нем θ-замкнут. ^[13] Пространство полностью несвязно тогда и только тогда, когда каждое регулярное замкнутое подмножество предоткрыто или, что то же самое, если каждое полуоткрытое подмножество предоткрыто. Более того, пространство полностью несвязно тогда и только тогда, когда замыкание каждого предоткрытого подмножества открыто. ^[9] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Почти открытая карта  — карта, удовлетворяющая условию, аналогичному условию открытой карты.
• База (топология)  - совокупность открытых наборов, используемых для определения топологии.
• Cloopen set  - подмножество, которое одновременно открыто и закрыто.
• Закрытое множество  - дополнение открытого подмножества.
• Область (математический анализ)  - Связное открытое подмножество топологического пространства.
• Локальный гомеоморфизм  - математическая функция, обратимая вблизи каждой точки.
• Открытая карта  — функция, которая отправляет открытые (соответственно закрытые) подмножества в открытые (соответственно закрытые) подмножества.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Подбаза  — совокупность подмножеств, генерирующих топологию.

Примечания

1. Одно исключение, если if наделен дискретной топологией , и в этом случае каждое подмножество является одновременно регулярным открытым подмножеством и регулярным закрытым подмножеством. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Рекомендации

1. Мункрес 2000, стр. 76–77.
2. Уэно, Кендзи; и другие. (2005). «Рождение многообразий». Математический дар: взаимодействие топологии, функций, геометрии и алгебры . Том. 3. Американское математическое общество. п. 38. ISBN 9780821832844.
3. Мункрес 2000, стр. 76.
4. Тейлор, Джозеф Л. (2011). «Аналитические функции». Комплексные переменные . Серия Салли. Американское математическое общество. п. 29. ISBN 9780821869017.
5. Кранц, Стивен Г. (2009). «Основы». Основы топологии с приложениями . ЦРК Пресс. стр. 3–4. ISBN 9781420089745.
6. Мункрес 2000, стр. 95.
7. Мункрес 2000, стр. 102.
8. Мункрес 2000, стр. 88.
9. Hart 2004, с. 9.
10. Hart 2004, стр. 8–9.
11. Окстоби, Джон К. (1980), «4. Свойство Бэра», Мера и категория, Тексты для выпускников по математике, том. 2 (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 19–21, ISBN 978-0-387-90508-2.
12. Куратовский, Казимеж (1966), Топология. Том. 1 , Academic Press и польские научные издательства.
13. Харт 2004, стр. 8.

Библиография

• Харт, Клаас (2004). Энциклопедия общей топологии . Амстердам Бостон: Эльзевир/Северная Голландия. ISBN 0-444-50355-2. ОСЛК  162131277.
• Харт, Клаас Питер; Нагата, Джун-ити; Воган, Джерри Э. (2004). Энциклопедия общей топологии . Эльзевир. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. ОСЛК  42683260.

Внешние ссылки

• «Открытый набор», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]