Преобразование Лапласа

Интегральное преобразование полезно в теории вероятностей, физике и технике.

В математике преобразование Лапласа , названное в честь его первооткрывателя Пьера-Симона Лапласа ( / l ə ˈ p l ɑː s / ), представляет собой интегральное преобразование , преобразующее функцию действительной переменной (обычно , во временной области ) в функцию комплексной переменной (в комплекснозначной частотной области , также известной как s -домен или s -плоскость ). ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$

Преобразование полезно для преобразования дифференцирования и интегрирования во временной области в гораздо более простое умножение и деление в области Лапласа (аналогично тому, как логарифмы полезны для упрощения умножения и деления на сложение и вычитание). Это дает преобразованию множество применений в науке и технике , в основном в качестве инструмента для решения линейных дифференциальных уравнений ^[1] и динамических систем за счет упрощения обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений в алгебраические полиномиальные уравнения , а также за счет упрощения свертки в умножение . ^{[2] [3]} После решения обратное преобразование Лапласа возвращается к исходной области.

Преобразование Лапласа определяется (для подходящих функций f ) интегралом :

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}$$

История

Пьер-Симон, маркиз де Лаплас

Преобразование Лапласа названо в честь математика и астронома Пьера-Симона, маркиза де Лапласа , который использовал подобное преобразование в своей работе по теории вероятностей . ^[4] Лаплас много писал об использовании производящих функций (1814 г.), и в результате естественным образом возникла интегральная форма преобразования Лапласа. ^[5]

Использование Лапласом производящих функций было похоже на то, что сейчас известно как z-преобразование , и он уделял мало внимания случаю непрерывной переменной , который обсуждался Нильсом Хенриком Абелем . ^[6] Теория получила дальнейшее развитие в 19 и начале 20 веков Матиасом Лерхом , ^[7] Оливером Хевисайдом , ^[8] и Томасом Бромвичем . ^[9]

Нынешнее широкое использование преобразования (в основном в технике) возникло во время и вскоре после Второй мировой войны , ^[10] заменив более раннее операционное исчисление Хевисайда . Преимущества преобразования Лапласа были подчеркнуты Густавом Дётчем ^[11] , которому, по-видимому, и обязано название преобразования Лапласа.

С 1744 года Леонард Эйлер исследовал интегралы вида

$${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ and }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$

^[12] Жозеф-Луи Лагранжфункций плотности вероятности

$${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

^{[13] [14] [ нужны разъяснения ]}

Эти типы интегралов, кажется, впервые привлекли внимание Лапласа в 1782 году, когда он, следуя духу Эйлера, использовал сами интегралы в качестве решений уравнений. ^[15] Однако в 1785 году Лаплас сделал решающий шаг вперед, когда вместо того, чтобы просто искать решение в форме интеграла, он начал применять преобразования в том смысле, который позже стал популярным. Он использовал интеграл вида

$${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

Меллинаразностное уравнение^[16]

Лаплас также признал, что метод рядов Фурье Жозефа Фурье для решения уравнения диффузии может применяться только к ограниченной области пространства, поскольку эти решения были периодическими . В 1809 году Лаплас применил свое преобразование, чтобы найти решения, которые бесконечно распространялись в пространстве. ^[17]

Формальное определение

Преобразование Лапласа функции f ( t ) , определенное для всех действительных чисел t ≥ 0 , представляет собой функцию F ( s ) , которая является односторонним преобразованием, определяемым формулой

где s — комплексный параметр частотной области

$${\displaystyle s=\sigma +i\omega ,}$$

σω

Альтернативное обозначение преобразования Лапласа: ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$вместо выключения . ^[3]

Смысл интеграла зависит от типов интересующих функций. Необходимым условием существования интеграла является то, что f должна быть локально интегрируема на [0, ∞) . Для локально интегрируемых функций, которые затухают на бесконечности или имеют экспоненциальный тип ( ), интеграл можно понимать как (собственный) интеграл Лебега . Однако для многих приложений его необходимо рассматривать как условно сходящийся несобственный интеграл в точке ∞ . Еще в более общем смысле интеграл можно понимать в слабом смысле , о чем речь пойдет ниже. ${\displaystyle |f(t)|\leq Ae^{B|t|}}$

Преобразование Лапласа конечной борелевской меры µ можно определить с помощью интеграла Лебега ^[18]

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

Важный частный случай — когда µ — вероятностная мера , например, дельта-функция Дирака . В операционном исчислении преобразование Лапласа меры часто рассматривается так, как если бы мера возникла из функции плотности вероятности f . В этом случае, чтобы избежать возможной путаницы, часто пишут

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$

0 ⁻

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

Этот предел подчеркивает, что любая точечная масса, расположенная в точке 0 , полностью захватывается преобразованием Лапласа. Хотя для интеграла Лебега нет необходимости принимать такой предел, он появляется более естественно в связи с преобразованием Лапласа–Стилтьеса .

Двустороннее преобразование Лапласа

Когда кто-то без оговорок говорит «преобразование Лапласа», обычно имеется в виду одностороннее или одностороннее преобразование. Преобразование Лапласа можно альтернативно определить как двустороннее преобразование Лапласа или двустороннее преобразование Лапласа , расширив пределы интегрирования до всей действительной оси. Если это будет сделано, обычное одностороннее преобразование просто станет частным случаем двустороннего преобразования, где определение преобразуемой функции умножается на ступенчатую функцию Хевисайда .

Двустороннее преобразование Лапласа F ( s ) определяется следующим образом:

Альтернативное обозначение двустороннего преобразования Лапласа — вместо F. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$

Обратное преобразование Лапласа

Две интегрируемые функции имеют одинаковое преобразование Лапласа только в том случае, если они различаются на множестве нулевой меры Лебега . Это означает, что в диапазоне преобразования существует обратное преобразование. Фактически, помимо интегрируемых функций, преобразование Лапласа представляет собой взаимно однозначное отображение одного функционального пространства в другое во многих других функциональных пространствах, хотя обычно не существует простой характеристики диапазона.

Типичные функциональные пространства, в которых это верно, включают пространства ограниченных непрерывных функций, пространство L ^∞ (0, ∞) или, в более общем смысле, умеренные распределения на (0, ∞) . Преобразование Лапласа также определено и инъективно для подходящих пространств умеренных распределений.

В этих случаях образ преобразования Лапласа живет в пространстве аналитических функций в области сходимости. Обратное преобразование Лапласа задается следующим комплексным интегралом, который известен под разными названиями ( интеграл Бромвича , интеграл Фурье-Меллина и обратная формула Меллина ):

где γ – действительное число, так что контурный путь интегрирования находится в области сходимости F ( s ) . В большинстве приложений контур может быть замкнутым, что позволяет использовать теорему о вычетах . Альтернативная формула обратного преобразования Лапласа дается формулой обращения Поста . Предел здесь интерпретируется в топологииweak-* .

На практике обычно удобнее разложить преобразование Лапласа на известные преобразования функций, полученных из таблицы, и построить обратное путем проверки.

Теория вероятности

В чистой и прикладной вероятности преобразование Лапласа определяется как ожидаемое значение . Если X — случайная величина с функцией плотности вероятности f , то преобразование Лапласа f определяется ожиданием

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \!\left[e^{-sX}\right]\!.}$$

По соглашению это называется преобразованием Лапласа самой случайной величины X. Здесь замена s на − t дает производящую функцию момента X . Преобразование Лапласа имеет приложения во всей теории вероятностей, включая время первого прохождения случайных процессов, таких как цепи Маркова , и теорию восстановления .

Особенно полезной является возможность восстановить кумулятивную функцию распределения непрерывной случайной величины X с помощью преобразования Лапласа следующим образом: ^[19]

$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}\!(x)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}\!(x).}$$

Алгебраическая конструкция

Преобразование Лапласа можно альтернативно определить чисто алгебраическим способом, применив конструкцию поля частных к кольцу свертки функций на положительной полупрямой. Получающееся пространство абстрактных операторов в точности эквивалентно пространству Лапласа, но в этой конструкции никогда не требуется явно определять прямое и обратное преобразования (что позволяет избежать связанных с этим трудностей с доказательством сходимости). ^[20]

Область конвергенции

Если f — локально интегрируемая функция (или, в более общем смысле, борелевская мера локально ограниченной вариации), то преобразование Лапласа F ( s ) функции f сходится при условии, что предел

$${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

Преобразование Лапласа сходится абсолютно, если интеграл

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

условно сходящееся

Набор значений, для которых F ( s ) сходится абсолютно, имеет вид Re( s ) > a или Re( s ) ≥ a , где a — расширенная действительная константа с −∞ ≤ a ≤ ∞ (следствие теорема о доминируемой сходимости ). Константа a известна как абсцисса абсолютной сходимости и зависит от поведения роста f ( t ) . ^[21] Аналогично, двустороннее преобразование абсолютно сходится в полосе вида a < Re( s ) < b и, возможно, включая прямые Re( s ) = a или Re( s ) = b . ^[22] Подмножество значений s , для которых преобразование Лапласа сходится абсолютно, называется областью абсолютной сходимости или областью абсолютной сходимости. В двустороннем случае ее иногда называют полосой абсолютной сходимости. Преобразование Лапласа аналитично в области абсолютной сходимости: это следствие теоремы Фубини и теоремы Мореры .

Аналогично, набор значений, для которых F ( s ) сходится (условно или абсолютно), известен как область условной сходимости или просто область сходимости (ROC). Если преобразование Лапласа сходится (условно) при s = s ₀ , то оно автоматически сходится для всех s с Re( s ) > Re( s ₀ ) . Следовательно, область сходимости представляет собой полуплоскость вида Re( s ) > a , возможно, включающую некоторые точки граничной линии Re( s ) = a .

В области сходимости Re( s ) > Re( s0 ) преобразование Лапласа f можно выразить путем интегрирования по частям _как интеграл

$${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

То есть F ( s ) может быть эффективно выражено в области сходимости как абсолютно сходящееся преобразование Лапласа некоторой другой функции. В частности, оно аналитическое.

Существует несколько теорем Пэли-Винера , касающихся связи между свойствами затухания f и свойствами преобразования Лапласа в области сходимости.

В инженерных приложениях функция, соответствующая линейной инвариантной во времени (LTI) системе, является стабильной , если каждый ограниченный входной сигнал дает ограниченный выходной сигнал. Это эквивалентно абсолютной сходимости преобразования Лапласа функции импульсного отклика в области Re( s ) ≥ 0 . В результате системы LTI устойчивы при условии, что полюсы преобразования Лапласа функции импульсной характеристики имеют отрицательную действительную часть.

Этот ROC используется для определения причинно-следственной связи и стабильности системы.

Свойства и теоремы

Ключевое свойство преобразования Лапласа заключается в том, что оно преобразует дифференцирование и интегрирование во временной области в умножение и деление в области Лапласа. Таким образом, переменная Лапласа s также известна как операторная переменная в области Лапласа: либо оператор производной , либо (для s ⁻¹ ) оператор интегрирования .

Учитывая функции f ( t ) и g ( t ) и их соответствующие преобразования Лапласа F ( s ) и G ( s ) ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}}$$

В следующей таблице приведен список свойств одностороннего преобразования Лапласа: ^[23]

Теорема о первоначальном значении

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

Теорема об окончательной ценности

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$, если все полюса лежат в левой полуплоскости. ${\displaystyle sF(s)}$

Теорема об окончательном значении полезна, поскольку она дает долгосрочное поведение без необходимости выполнять разложение на частичные дроби (или другую сложную алгебру). Если F ( s ) имеет полюс в правой плоскости или полюсы на мнимой оси (например, if или ), то поведение этой формулы не определено. ${\displaystyle f(t)=e^{t}}$ ${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

Связь со степенным рядом

Преобразование Лапласа можно рассматривать как непрерывный аналог степенного ряда . ^[25] Если a ( n ) является дискретной функцией положительного целого числа n , то степенной ряд, связанный с a ( n ) , представляет собой ряд

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$

xZ-преобразованиеnt

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

a ( n )f ( t )

Изменение основания степени с x на e дает

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

Чтобы это сходилось, скажем, для всех ограниченных функций f , необходимо потребовать, чтобы ln x < 0 . Замена − s = ln x дает только преобразование Лапласа:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

Другими словами, преобразование Лапласа представляет собой непрерывный аналог степенного ряда, в котором дискретный параметр n заменяется непрерывным параметром t , а x заменяется на e ^{− s} .

Отношение к моментам

Количества

$${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$

являются моментами функции f . Если первые n моментов функции f сходятся абсолютно, то повторным дифференцированием под интегралом

$${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$

X ${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$

$${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

Вычисление преобразования Лапласа производной функции

Часто бывает удобно использовать свойство дифференцирования преобразования Лапласа, чтобы найти преобразование производной функции. Это можно получить из основного выражения для преобразования Лапласа следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

Общий результат

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$

nf ${\displaystyle f^{(n)}}$

Вычисление интегралов по положительной вещественной оси

Полезным свойством преобразования Лапласа является следующее:

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$

${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle \int \,dx}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

При подключении левой стороны получается: ${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

Этот метод можно использовать для вычисления интегралов, которые в противном случае было бы трудно вычислить с помощью элементарных методов реального исчисления. Например,

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

Связь с другими преобразованиями

Преобразование Лапласа – Стилтьеса

(Одностороннее) преобразование Лапласа – Стилтьеса функции g  : ℝ → ℝ определяется интегралом Лебега – Стилтьеса

$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

Предполагается, что функция g имеет ограниченную вариацию . Если g является первообразной f : _

$${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

тогда преобразование Лапласа–Стилтьеса функции g и преобразование Лапласа функции f совпадают. В общем, преобразование Лапласа-Стилтьеса представляет собой преобразование Лапласа меры Стилтьеса , связанной с g . Таким образом, на практике единственное различие между этими двумя преобразованиями заключается в том, что преобразование Лапласа рассматривается как действующее на функцию плотности меры, тогда как преобразование Лапласа-Стилтьеса рассматривается как действующее на ее кумулятивную функцию распределения . ^[26]

преобразование Фурье

Преобразование Фурье является частным случаем (при определенных условиях) двустороннего преобразования Лапласа. В то время как преобразование Фурье функции является комплексной функцией действительной переменной (частоты), преобразование Лапласа функции является комплексной функцией комплексной переменной . Преобразование Лапласа обычно ограничивается преобразованием функций от t с t ≥ 0 . Следствием этого ограничения является то, что преобразование Лапласа функции является голоморфной функцией переменной s . В отличие от преобразования Фурье, преобразование Лапласа распределения, как правило, является функцией с хорошим поведением . Методы комплексных переменных также можно использовать для непосредственного изучения преобразований Лапласа. Как голоморфная функция, преобразование Лапласа имеет представление степенного ряда . Этот степенной ряд выражает функцию как линейную суперпозицию моментов функции. Эта точка зрения имеет приложения в теории вероятностей.

Преобразование Фурье эквивалентно вычислению двустороннего преобразования Лапласа с мнимым аргументом s = iω или s = 2 πiξ ^[27] , когда выполняется условие, объясненное ниже:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

Это соглашение о преобразовании Фурье ( в преобразовании Фурье § Другие соглашения ) требует фактора ${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$1/2 πна обратном преобразовании Фурье. Эта связь между преобразованиями Лапласа и Фурье часто используется для определения частотного спектра сигнала или динамической системы.

Вышеупомянутое соотношение действительно, как указано, тогда и только тогда, когда область сходимости (ROC) F ( s ) содержит мнимую ось, σ = 0 .

Например, функция f ( t ) = cos( ω ₀ t ) имеет преобразование Лапласа F ( s ) = s /( s ² + ω ₀ ² ) , ROC которого равно Re( s ) > 0 . Поскольку s = iω ₀ является полюсом F ( s ) , подстановка s = iω в F ( s ) не дает преобразования Фурье функции f ( t ) u ( t ) , которое содержит члены, пропорциональные дельта-функциям Дирака δ ( ω ± ω ₀ ) .

Однако отношение вида

$${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

слабый пределНеопределенная топологиятеорем Пэли–Винера

Преобразование Меллина

Преобразование Меллина и обратное ему связаны с двусторонним преобразованием Лапласа простой заменой переменных.

Если в преобразовании Меллина

$${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

θ = e ^{− t,}

Z-преобразование

Одностороннее или одностороннее Z-преобразование — это просто преобразование Лапласа идеально дискретизированного сигнала с заменой

$${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

T = 1/ f _sинтервал выборкиf _sчастота дискретизациивыборках в секундугерцах

Позволять

$${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$

гребенкой Дирака

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$

x ( t )

$${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

Преобразование Лапласа дискретизированного сигнала x _q ( t )

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

Это точное определение одностороннего Z-преобразования дискретной функции x [ n ]

$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$

z → e ^sT

Сравнивая последние два уравнения, мы находим связь между односторонним Z-преобразованием и преобразованием Лапласа дискретизированного сигнала:

$${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

Сходство между Z-преобразованиями и преобразованиями Лапласа расширяется в теории исчисления шкалы времени .

Преобразование Бореля

Интегральная форма преобразования Бореля

$${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$

fфункции

$${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

ABТеорема Нахбина

Фундаментальные отношения

Поскольку обычное преобразование Лапласа можно записать как частный случай двустороннего преобразования, а двустороннее преобразование можно записать как сумму двух односторонних преобразований, теория преобразований Лапласа, Фурье, Меллина - и Z-преобразования, по сути, одно и то же. Однако с каждым из этих четырех основных интегральных преобразований связана другая точка зрения и разные характерные проблемы.

Таблица избранных преобразований Лапласа

В следующей таблице представлены преобразования Лапласа для многих распространенных функций одной переменной. ^{[28] [29]} Определения и пояснения см. в пояснительных примечаниях в конце таблицы.

Поскольку преобразование Лапласа является линейным оператором,

• Преобразование Лапласа суммы представляет собой сумму преобразований Лапласа каждого члена.
  $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• Преобразование Лапласа кратной функции - это кратное преобразование Лапласа этой функции.
  $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

Используя эту линейность, а также различные свойства и/или тождества тригонометрических , гиперболических и комплексных чисел (и т. д.), некоторые преобразования Лапласа можно получить из других быстрее, чем используя определение напрямую.

Одностороннее преобразование Лапласа принимает в качестве входных данных функцию, временная область которой является неотрицательными действительными числами, поэтому все функции временной области в таблице ниже кратны ступенчатой ​​функции Хевисайда u ( t ) .

Записи таблицы, содержащие задержку τ, должны быть причинно-следственными (это означает, что τ > 0 ). Причинная система — это система, в которой импульсный отклик h ( t ) равен нулю в течение всего времени t до момента t = 0 . В общем, область конвергенции каузальных систем не такая же, как у антикаузальных систем .

эквивалентные схемы и импедансы в s -области

Преобразование Лапласа часто используется при анализе цепей , и можно выполнить простые преобразования в s -область элементов схемы. Элементы схемы можно преобразовать в импедансы , очень похожие на векторные импедансы.

Вот краткий обзор эквивалентов:

s -доменные эквивалентные схемы

Обратите внимание, что резистор абсолютно одинаков во временной и s -области. Источники включаются при наличии начальных условий на элементах схемы. Например, если на конденсаторе имеется начальное напряжение или если через катушку индуктивности протекает начальный ток, это учитывается источниками, включенными в s -домен.

Эквиваленты источников тока и напряжения просто получаются в результате преобразований, приведенных в таблице выше.

Примеры и приложения

Преобразование Лапласа часто используется в технике и физике ; Выход линейной нестационарной системы можно рассчитать путем свертки ее единичной импульсной характеристики с входным сигналом. Выполнение этого вычисления в пространстве Лапласа превращает свертку в умножение; последнее легче решить из-за его алгебраической формы. Для получения дополнительной информации см. теорию управления . Преобразование Лапласа обратимо для большого класса функций. Учитывая простое математическое или функциональное описание входных или выходных данных системы , преобразование Лапласа обеспечивает альтернативное функциональное описание, которое часто упрощает процесс анализа поведения системы или синтеза новой системы на основе набора спецификаций. ^[35]

Преобразование Лапласа также можно использовать для решения дифференциальных уравнений и широко используется в машиностроении и электротехнике . Преобразование Лапласа сводит линейное дифференциальное уравнение к алгебраическому уравнению, которое затем можно решить с помощью формальных правил алгебры. Исходное дифференциальное уравнение затем можно решить, применив обратное преобразование Лапласа. Английский инженер-электрик Оливер Хевисайд впервые предложил подобную схему, хотя и без использования преобразования Лапласа; и полученное в результате операционное исчисление получило название исчисления Хевисайда.

Вычисление несобственных интегралов

Позволять . Тогда (см. таблицу выше) ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$

$${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}=-F(s)}$$

Из чего получают:

$${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

В пределе получается ${\displaystyle s\rightarrow 0}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$

теоремы об окончательном значенииa ≠ 0 ≠ b

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

Справедливость этого тождества можно доказать и другими способами. Это пример интеграла Фруллани .

Другой пример — интеграл Дирихле .

Комплексное сопротивление конденсатора

В теории электрических цепей ток, протекающий в конденсаторе , пропорционален емкости и скорости изменения электрического потенциала (с уравнениями, как для системы единиц СИ ). Символически это выражается дифференциальным уравнением

$${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

Ci = i ( t )электрический токv = v ( t )напряжение

Преобразовав это уравнение Лапласа, получим

$${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

Решая для V ( s ), мы имеем

$${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

Определение комплексного импеданса Z (в Омах ) представляет собой отношение комплексного напряжения V к комплексному току I при удержании начального состояния V ₀ на нуле:

$${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

Используя это определение и предыдущее уравнение, находим:

$${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

Импульсивный ответ

Рассмотрим линейную стационарную систему с передаточной функцией

$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

Импульсная характеристика — это просто обратное преобразование Лапласа этой передаточной функции:

$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

Частичное расширение дроби

Чтобы оценить это обратное преобразование, мы начинаем с расширения H ( s ) , используя метод разложения частичных дробей:

$${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

Неизвестные константы P и R представляют собой вычеты , расположенные в соответствующих полюсах передаточной функции. Каждый остаток представляет собой относительный вклад этой особенности в общую форму передаточной функции.

По теореме о вычетах обратное преобразование Лапласа зависит только от полюсов и их вычетов. Чтобы найти остаток P , мы умножаем обе части уравнения на s + α , чтобы получить

$${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

Тогда, полагая s = − α , вклад R исчезает, и остается только

$${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

Аналогично, остаток R определяется выражением

$${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$

Обратите внимание, что

$${\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}$$

RPH ( s )

$${\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}$$

Наконец, используя свойство линейности и известное преобразование экспоненциального убывания (см. пункт № 3 в Таблице преобразований Лапласа выше), мы можем воспользоваться обратным преобразованием Лапласа H ( s ) , чтобы получить

$${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right),}$$

Свертка

Того же результата можно достичь, используя свойство свертки , как если бы система представляла собой серию фильтров с передаточными функциями 1/( s + α ) и 1/( s + β ) . То есть, обратное

$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={\frac {1}{s+\alpha }}\cdot {\frac {1}{s+\beta }}}$$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\alpha }}\right\}*{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\{{\frac {1}{s+\beta }}\right\}=e^{-\alpha t}*e^{-\beta t}=\int _{0}^{t}e^{-\alpha x}e^{-\beta (t-x)}\,dx={\frac {e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}}{\beta -\alpha }}.}$$

Фазовая задержка

Начиная с преобразования Лапласа,

$${\displaystyle X(s)={\frac {s\sin(\varphi )+\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}X(s)&={\frac {s\sin(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}+{\frac {\omega \cos(\varphi )}{s^{2}+\omega ^{2}}}\\&=\sin(\varphi )\left({\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right)+\cos(\varphi )\left({\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right).\end{aligned}}}$$

Теперь мы можем выполнить обратное преобразование Лапласа наших членов:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\sin(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}+\cos(\varphi ){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}\\&=\sin(\varphi )\cos(\omega t)+\cos(\varphi )\sin(\omega t).\end{aligned}}}$$

Это просто синус суммы аргументов, что дает:

$${\displaystyle x(t)=\sin(\omega t+\varphi ).}$$

Мы можем применить аналогичную логику, чтобы найти, что

$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s\cos \varphi -\omega \sin \varphi }{s^{2}+\omega ^{2}}}\right\}=\cos {(\omega t+\varphi )}.}$$

Статистическая механика

В статистической механике преобразование Лапласа плотности состояний определяет статистическую сумму . ^[36] То есть каноническая статистическая сумма определяется выражением ${\displaystyle g(E)}$ ${\displaystyle Z(\beta )}$

$${\displaystyle Z(\beta )=\int _{0}^{\infty }e^{-\beta E}g(E)\,dE}$$

$${\displaystyle g(E)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\beta _{0}-i\infty }^{\beta _{0}+i\infty }e^{\beta E}Z(\beta )\,d\beta }$$

Пространственная (не временная) структура астрономического спектра

Широкая и общая применимость преобразования Лапласа и его обратного иллюстрируется применением в астрономии, которое дает некоторую информацию о пространственном распределении материи астрономического источника радиочастотного теплового излучения, слишком удаленного, чтобы его можно было разрешить как нечто большее, чем точку, учитывая его поток . спектр плотности , а не связывать временную область со спектром (частотная область).

Предполагая определенные свойства объекта, например сферическую форму и постоянную температуру, расчеты, основанные на проведении обратного преобразования Лапласа по спектру объекта, могут дать единственно возможную модель распределения вещества в нем (плотность как функция расстояния от объекта). центр) согласуется со спектром. ^[37] Когда доступна независимая информация о структуре объекта, метод обратного преобразования Лапласа хорошо согласуется.

Галерея

• Пример кривой e ^t  cos(10 t ) , которая суммируется с аналогичными кривыми для формирования преобразования Лапласа.
• 
  Анимация, показывающая, как сложение кривых может аппроксимировать функцию.

Смотрите также

• Математический портал

• Аналоговая обработка сигналов
• Теорема Бернштейна о монотонных функциях
• Ипотека с постоянным погашением
• Проблема момента гамбургера
• Тауберова теорема Харди – Литтлвуда
• Преобразование Лапласа – Карсона
• Функция генерации момента
• Нелокальный оператор
• Формула обращения Поста
• График потока сигналов
• Функция передачи

Примечания

1. Линн, Пол А. (1986). «Преобразование Лапласа и z-преобразование». Электронные сигналы и системы . Лондон: Macmillan Education UK. стр. 225–272. дои : 10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8. Преобразование Лапласа и z-преобразование тесно связаны с преобразованием Фурье. Преобразование Лапласа имеет несколько более общий характер, чем преобразование Фурье, и широко используется инженерами для описания непрерывных цепей и систем, включая системы автоматического управления.
2. «Дифференциальные уравнения - преобразования Лапласа». учебник.math.lamar.edu . Проверено 8 августа 2020 г.
3. Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Лапласа». mathworld.wolfram.com . Проверено 8 августа 2020 г.
4. «Des Fonctions génératrices» [О производящих функциях], Théorie analytique des Probabilités [ Аналитическая теория вероятностей ] (на французском языке) (2-е изд.), Париж, 1814 г., глава I, раздел 2-20
5. Джейнс, ET (Эдвин Т.) (2003). Теория вероятностей: логика науки . Бретхорст, Дж. Ларри. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0511065892. ОСЛК  57254076.
6. Абель, Нильс Х. (1820), «Sur les fonctions génératrices et leurs determinantes», Œuvres Complètes (на французском языке), vol. II (опубликовано в 1839 г.), стр. 77–88.издание 1881 года
7. Лерх, Матиас (1903), «Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'Abel» [Доказательство формулы обращения], Acta Mathematica (на французском языке), 27 : 339–351, doi : 10.1007/BF02421315 , hdl : 10338.dmlcz/501554
8. Хевисайд, Оливер (январь 2008 г.), «Решение определенных интегралов путем дифференциального преобразования», Электромагнитная теория , том. III, Лондон, раздел 526, ISBN 9781605206189{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
9. Бромвич, Томас Дж. (1916), «Нормальные координаты в динамических системах», Труды Лондонского математического общества , 15 : 401–448, doi : 10.1112/plms/s2-15.1.401
10. Влиятельной книгой была: Гарднер, Мюррей Ф.; Барнс, Джон Л. (1942), Переходные процессы в линейных системах, изучаемые с помощью преобразования Лапласа , Нью-Йорк: Wiley
11. Дётч, Густав (1937), Theorie und Anwendung der Laplacesche Transformation [ Теория и применение преобразования Лапласа ] (на немецком языке), Берлин: Springerперевод 1943 г.
12. Эйлер 1744, Эйлер 1753, Эйлер 1769
13. Лагранж 1773 г.
14. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 260
15. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 261
16. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 261–262.
17. Граттан-Гиннесс 1997, стр. 262–266.
18. Феллер 1971, §XIII.1
19. Кумулятивная функция распределения представляет собой интеграл функции плотности вероятности.
20. Микусинский, январь (14 июля 2014 г.). Операционное исчисление. Эльзевир. ISBN 9781483278933.
21. Виддер 1941, Глава II, §1
22. Виддер 1941, Глава VI, §2
23. Корн и Корн 1967, стр. 226–227.
24. Брейсвелл 2000, Таблица 14.1, стр. 385
25. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Мэттук, Артур. «Откуда берется преобразование Лапласа». YouTube .
26. Феллер 1971, с. 432
27. Такач 1953, с. 93
28. Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, С.Дж. (2010), Математические методы в физике и технике (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 455, ISBN 978-0-521-86153-3
29. Дистефано, Джей-Джей; Стубберуд, Арканзас; Уильямс, И.Дж. (1995), Системы обратной связи и управление , Очерки Шаума (2-е изд.), McGraw-Hill, p. 78, ISBN 978-0-07-017052-0
30. Липшуц, С.; Шпигель, MR; Лю, Дж. (2009). Математический справочник формул и таблиц . Серия набросков Шаума (3-е изд.). МакГроу-Хилл. п. 183. ИСБН 978-0-07-154855-7.– обеспечивает случай реального q .
31. http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html - Wolfram Mathword предоставляет аргументы в пользу сложного q.
32. Брейсуэлл 1978, с. 227.
33. Williams 1973, с. 88.
34. Уильямс 1973, с. 89.
35. Корн и Корн 1967, §8.1
36. РК Патрия; Пол Бил (1996). Статистическая механика (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. п. 56. ИСБН 9780750624695.
37. Салем, М.; Ситон, MJ (1974), «I. Спектры континуума и контуры яркости», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 167 : 493–510, Бибкод : 1974MNRAS.167..493S, doi : 10.1093/mnras/167.3.493и Салем М. (1974), «II. Трехмерные модели», Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества , 167 : 511–516, Бибкод : 1974MNRAS.167..511S, doi : 10.1093/mnras/167.3. 511
    

Рекомендации

Современный

• Брейсвелл, Рональд Н. (1978), Преобразование Фурье и его приложения (2-е изд.), McGraw-Hill Kogakusha, ISBN 978-0-07-007013-4
• Брейсвелл, Р.Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8
• Феллер, Уильям (1971), Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Том. II. , Второе издание, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , MR  0270403.
• Корн, Джорджия; Корн, Т.М. (1967), Математический справочник для ученых и инженеров (2-е изд.), McGraw-Hill Companies, ISBN 978-0-07-035370-1
• Виддер, Дэвид Вернон (1941), Преобразование Лапласа , Princeton Mathematical Series, т. 6, Princeton University Press , MR  0005923
• Уильямс, Дж. (1973), Преобразования Лапласа , Решатели проблем, Джордж Аллен и Анвин, ISBN 978-0-04-512021-5
• Такач, Дж. (1953), «Амплитуд Фурье мегатарозаса операторзамитассал», Magyar Hiradastechnika (на венгерском языке), IV (7–8): 93–96

Исторический

• Эйлер, Л. (1744), «Destructe aequationum» [Построение уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 22 : 150–161.
• Эйлер, Л. (1753), «Methodus aequationes Differentiales» [Метод решения дифференциальных уравнений], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), 22 : 181–213.
• Эйлер, Л. (1992) [1769], «Institutiones Calculi Integralis, Том 2» [Институты интегрального исчисления], Opera Omnia , 1-я серия (на латыни), Базель: Birkhäuser, 12 , ISBN 978-3764314743, Главы 3–5
• Эйлер, Леонард (1769), Institutiones Calculi Integralis [ Институты интегрального исчисления ] (на латыни), том. II, Париж: Петрополи, гл. 3–5, стр. 57–153.
• Граттан-Гиннесс, I (1997), «Интегральные решения Лапласа для уравнений в частных производных», в Гиллиспи, CC (редактор), Пьер Симон Лаплас 1749–1827: Жизнь в точной науке , Принстон: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-01185-1
• Лагранж, JL (1773), Mémoire sur l'utilité de la méthode , Œuvres de Lagrange, vol. 2, стр. 171–234.

дальнейшее чтение

• Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз Дж. К.; Хибер, Матиас; Нойбрандер, Франк (2002), Векторнозначные преобразования Лапласа и задачи Коши , Birkhäuser Basel, ISBN 978-3-7643-6549-3.
• Дэвис, Брайан (2002), Интегральные преобразования и их приложения (Третье изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-95314-4
• Дикин, MAB (1981), «Развитие преобразования Лапласа», Архив истории точных наук , 25 (4): 343–390, doi : 10.1007/BF01395660, S2CID  117913073
• Дикин, MAB (1982), «Развитие преобразования Лапласа», Архив истории точных наук , 26 (4): 351–381, doi : 10.1007/BF00418754, S2CID  123071842
• Дётч, Густав (1974), Введение в теорию и применение преобразования Лапласа , Springer, ISBN 978-0-387-06407-9
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970), Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Бенджамин, ISBN 0-8053-7002-1 
• Полянин А.Д.; Манжиров А.В. (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Бока-Ратон: CRC Press, ISBN. 978-0-8493-2876-3
• Шварц, Лоран (1952), «Преобразование Лапласа в распределениях», Comm. Сем. Математика. унив. Лунд [Медд. Лундсский университет. Мат. Сем.] (на французском языке), 1952 : 196–206, MR  0052555.
• Шварц, Лоран (2008) [1966], Математика для физических наук, Dover Books on Mathematics, Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 215–241, ISBN 978-0-486-46662-0- См. главу VI. Преобразование Лапласа.
• Зиберт, Уильям МакК. (1986), Схемы, сигналы и системы , Кембридж, Массачусетс: MIT Press, ISBN 978-0-262-19229-3
• Виддер, Дэвид Вернон (1945), «Что такое преобразование Лапласа?», The American Mathematical Monthly , 52 (8): 419–425, doi : 10.2307/2305640, ISSN  0002-9890, JSTOR  2305640, MR  0013447
• ЯКВейдман и Бенгт Форнберг: «Полностью числовые методы преобразования Лапласа», Численные алгоритмы, том 92 (2023), стр. 985–1006. https://doi.org/10.1007/s11075-022-01368-x.

Внешние ссылки

• «Преобразование Лапласа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Онлайн-вычисление преобразования или обратного преобразования, wims.unice.fr
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.
• Вайсштейн, Эрик В. «Преобразование Лапласа». Математический мир .
• Хорошие объяснения теорем о начальном и конечном значении. Архивировано 8 января 2009 г. в Wayback Machine.
• Преобразования Лапласа на MathPages
• Computational Knowledge Engine позволяет легко рассчитывать преобразования Лапласа и его обратное преобразование.
• Калькулятор Лапласа для легкого расчета преобразований Лапласа онлайн.
• Код для визуализации преобразований Лапласа и множества примеров видеороликов.