Нелокальный оператор

Математическое картирование

В математике нелокальный оператор — это отображение , которое отображает функции на топологическом пространстве в функции таким образом, что значение выходной функции в заданной точке не может быть определено исключительно из значений входной функции в любой окрестности любой точки. Примером нелокального оператора является преобразование Фурье .

Формальное определение

Пусть будет топологическим пространством , множеством , функциональным пространством , содержащим функции с областью определения , и функциональным пространством , содержащим функции с областью определения . Две функции и в называются эквивалентными в , если существует окрестность такая , что для всех . Оператор называется локальным, если для каждого существует такой , что для всех функций и в , которые эквивалентны в . Нелокальный оператор — это оператор, который не является локальным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G(Y)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u(x')=v(x')}$ ${\displaystyle x'\in N}$ ${\displaystyle A:F(X)\to G(Y)}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle Au(y)=Av(y)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle x}$

Для локального оператора возможно (в принципе) вычислить значение, используя только знание значений в произвольно малой окрестности точки . Для нелокального оператора это невозможно. ${\displaystyle Au(y)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$

Примеры

Дифференциальные операторы являются примерами локальных операторов ^{[ требуется ссылка ]} . Большой класс (линейных) нелокальных операторов задается интегральными преобразованиями , такими как преобразование Фурье и преобразование Лапласа . Для интегрального преобразования вида

${\displaystyle (Au)(y)=\int \limits _{X}u(x)\,K(x,y)\,dx,}$

где — некоторая функция ядра, необходимо знать значения почти всюду на носителе для того, чтобы вычислить значение при . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle K(\cdot ,y)}$ ${\displaystyle Au}$ ${\displaystyle y}$

Примером сингулярного интегрального оператора является дробный Лапласиан

${\displaystyle (-\Delta )^{s}f(x)=c_{d,s}\int \limits _{\mathbb {R} ^{d}}{\frac {f(x)-f(y)}{|x-y|^{d+2s}}}\,dy.}$

Префактор включает в себя гамма-функцию и служит нормализующим фактором. Дробный лапласиан играет роль, например, в изучении нелокальных минимальных поверхностей . ^[1] ${\displaystyle c_{d,s}:={\frac {4^{s}\Gamma (d/2+s)}{\pi ^{d/2}|\Gamma (-s)|}}}$

Приложения

Вот некоторые примеры применения нелокальных операторов:

• Анализ временных рядов с использованием преобразований Фурье
• Анализ динамических систем с использованием преобразований Лапласа
• Очистка изображения с использованием нелокальных средств ^[2]
• Моделирование гауссовского размытия или размытия движения на изображениях с использованием свертки с ядром размытия или функцией рассеяния точки

Смотрите также

• Дробное исчисление
• Линейная карта
• Нелокальный лагранжиан
• Действие на расстоянии

Ссылки

1. Каффарелли, Л.; Рокежоффр, Ж.-М.; Савин, О. (2010). «Нелокальные минимальные поверхности». Сообщения по чистой и прикладной математике . 63 (9): 1111–1144. arXiv : 0905.1183 . doi :10.1002/cpa.20331. S2CID  10480423.
2. Buades, A.; Coll, B.; Morel, J.-M. (2005). "Нелокальный алгоритм для шумоподавления изображений". Конференция компьютерного общества IEEE 2005 года по компьютерному зрению и распознаванию образов (CVPR'05) . Том 2. Сан-Диего, Калифорния, США: IEEE. стр. 60–65. doi :10.1109/CVPR.2005.38. ISBN 9780769523729. S2CID  11206708.

Внешние ссылки

• Нелокальные уравнения вики