Жозеф-Луи Лагранж [a] (урождённый Джузеппе Луиджи Лагранжа [5] [b] или Джузеппе Людовико Де ла Гранж Турнье ; [6] [c] 25 января 1736 – 10 апреля 1813), также известный как Джузеппе Луиджи Лагранж [7] или Лагранжа , [8] был итальянским математиком, физиком и астрономом , позже натурализованным французом. Он внёс значительный вклад в области анализа , теории чисел , а также классической и небесной механики .
В 1766 году по рекомендации Леонарда Эйлера и Д'Аламбера Лагранж сменил Эйлера на посту директора кафедры математики в Прусской академии наук в Берлине, Пруссия , где он проработал более двадцати лет, выпустив множество томов работ и завоевав несколько премий Французской академии наук . Трактат Лагранжа по аналитической механике ( Mécanique analytique , 4-е изд., 2 тома. Париж: Gauthier-Villars et fils, 1788–89), написанный в Берлине и впервые опубликованный в 1788 году, предложил наиболее полное рассмотрение классической механики со времен Ньютона и лег в основу развития математической физики в девятнадцатом веке.
В 1787 году, в возрасте 51 года, он переехал из Берлина в Париж и стал членом Французской академии наук. Он оставался во Франции до конца своей жизни. Он сыграл важную роль в процессе децимализации в революционной Франции , стал первым профессором анализа в Политехнической школе после ее открытия в 1794 году, был одним из основателей Бюро долгот и стал сенатором в 1799 году.
Лагранж был одним из создателей вариационного исчисления , выведя уравнения Эйлера–Лагранжа для экстремумов функционалов . Он расширил метод, включив в него возможные ограничения, придя к методу множителей Лагранжа . Лагранж изобрел метод решения дифференциальных уравнений , известный как вариация параметров , применил дифференциальное исчисление к теории вероятностей и работал над решениями алгебраических уравнений . Он доказал, что каждое натуральное число является суммой четырех квадратов . Его трактат Theorie des fonctions analytiques заложил некоторые основы теории групп , предвосхищая Галуа . В исчислении Лагранж разработал новый подход к интерполяции и теореме Тейлора . Он изучал задачу трех тел для Земли, Солнца и Луны (1764) и движение спутников Юпитера (1766), а в 1772 году нашел частные решения этой задачи, которые дают то, что сейчас известно как точки Лагранжа . Лагранж наиболее известен тем, что преобразовал ньютоновскую механику в раздел анализа, механику Лагранжа . Он представил механические «принципы» как простые результаты вариационного исчисления.
По внешнему виду он был среднего роста, слабого телосложения, с бледно-голубыми глазами и бесцветным цветом лица. По характеру он был нервным и робким, ненавидел споры и, чтобы избежать их, охотно позволял другим приписывать себе то, что он сам сделал.
Он всегда обдумывал тему своих работ еще до того, как начинал их составлять, и обычно писал их сразу, без единой помарок и исправлений.
WW Рауз Болл [9]
Первенец из одиннадцати детей, Джузеппе Лодовико Лагранжа , Лагранж имел итальянские и французские корни. [7] Его прадед по отцовской линии был французским капитаном кавалерии, чья семья происходила из французского региона Тур . [7] После службы при Людовике XIV он поступил на службу к Карлу Эммануилу II , герцогу Савойскому , и женился на конти из знатной римской семьи. [7] Отец Лагранжа, Джузеппе Франческо Лодовико, был доктором права в Университете Турина , в то время как его мать была единственным ребенком богатого доктора из Камбьяно , в сельской местности Турина . [7] [10] Он был воспитан как католик (но позже стал агностиком ). [11]
Его отец, который отвечал за военную казну короля и был казначеем Управления общественных работ и укреплений в Турине, должен был поддерживать хорошее социальное положение и богатство, но прежде чем его сын вырос, он потерял большую часть своего имущества в спекуляциях. Карьера юриста была запланирована для Лагранжа его отцом [7], и, конечно, Лагранж, кажется, охотно принял это. Он учился в Туринском университете , и его любимым предметом была классическая латынь. Поначалу он не питал большого энтузиазма к математике, находя греческую геометрию довольно скучной.
Только в семнадцать лет он проявил интерес к математике — его интерес к этому предмету впервые пробудила статья Эдмонда Галлея 1693 года [12] , на которую он наткнулся случайно. Один и без посторонней помощи он погрузился в математические исследования; к концу года непрестанного труда он уже был состоявшимся математиком. Карл Эммануил III назначил Лагранжа на должность «Sostituto del Maestro di Matematica» (доцента математики) в Королевской военной академии теории и практики артиллерии в 1755 году, где он преподавал курсы исчисления и механики, чтобы поддержать раннее принятие пьемонтской армией баллистических теорий Бенджамина Робинса и Леонарда Эйлера . В этой должности Лагранж был первым, кто преподавал исчисление в инженерной школе. По словам Алессандро Папачино Д'Антони, военного командира академии и известного теоретика артиллерии, Лагранж, к сожалению, оказался проблемным профессором с его рассеянным стилем преподавания, абстрактными рассуждениями и нетерпением в отношении артиллерии и фортификационных инженерных приложений. [13] В этой академии одним из его учеников был Франсуа Давиет . [14]
Лагранж является одним из основателей вариационного исчисления . Начиная с 1754 года он работал над проблемой таутохроны , открыв метод максимизации и минимизации функционалов способом, аналогичным нахождению экстремумов функций. Лагранж написал несколько писем Леонарду Эйлеру между 1754 и 1756 годами, описывая свои результаты. Он изложил свой «δ-алгоритм», приведший к уравнениям Эйлера–Лагранжа вариационного исчисления и значительно упростивший более ранний анализ Эйлера. [15] Лагранж также применил свои идеи к проблемам классической механики, обобщив результаты Эйлера и Мопертюи .
Эйлер был очень впечатлен результатами Лагранжа. Было заявлено, что «с характерной вежливостью он удержал статью, которую он написал ранее, которая охватывала некоторые из тех же вопросов, чтобы молодой итальянец мог иметь время, чтобы завершить свою работу и заявить о бесспорном изобретении нового исчисления»; однако эта рыцарская точка зрения была оспорена. [16] Лагранж опубликовал свой метод в двух мемуарах Туринского общества в 1762 и 1773 годах.
В 1758 году с помощью своих учеников (в основном с Давиетом) Лагранж основал общество, которое впоследствии было включено в Туринскую академию наук, и большинство его ранних трудов можно найти в пяти томах его трудов, обычно известных как Miscellanea Taurinensia . Многие из них представляют собой подробные статьи. Первый том содержит статью по теории распространения звука; в ней он указывает на ошибку, допущенную Ньютоном , получает общее дифференциальное уравнение для движения и интегрирует его для движения по прямой линии. Этот том также содержит полное решение задачи о струне, колеблющейся поперечно ; в этой статье он указывает на отсутствие общности в решениях, ранее данных Бруком Тейлором , Д'Аламбером и Эйлером, и приходит к выводу, что форма кривой в любой момент времени t задается уравнением . Статья завершается мастерским обсуждением эха , биений и сложных звуков. Другие статьи в этом томе посвящены повторяющимся рядам , вероятностям и вариационному исчислению .
Второй том содержит большую статью, в которой изложены результаты нескольких статей первого тома по теории и обозначениям вариационного исчисления, а его использование иллюстрируется выводом принципа наименьшего действия и решениями различных задач динамики .
Третий том включает в себя решение нескольких динамических задач с помощью вариационного исчисления; несколько работ по интегральному исчислению ; решение задачи Ферма : для заданного целого числа n, не являющегося полным квадратом , найти число x такое, что nx 2 + 1 [ требуется проверка ] является полным квадратом; и общие дифференциальные уравнения движения для трех тел, движущихся под действием взаимного притяжения.
Следующая работа, которую он выполнил в 1764 году, была посвящена либрации Луны и объяснению того, почему одна и та же сторона всегда обращена к Земле, проблема, которую он решил с помощью виртуальной работы . Его решение особенно интересно тем, что содержит зародыш идеи обобщенных уравнений движения, уравнений, которые он впервые формально доказал в 1780 году.
Уже в 1756 году Эйлер и Мопертюи , видя математический талант Лагранжа, пытались убедить Лагранжа приехать в Берлин, но он робко отказался от предложения. В 1765 году Даламбер ходатайствовал за Лагранжа перед Фридрихом Прусским и в письме просил его покинуть Турин ради значительно более престижной должности в Берлине. Он снова отклонил предложение, ответив, что [17] : 361
В 1766 году, после того как Эйлер уехал из Берлина в Санкт-Петербург , сам Фридрих написал Лагранжу, выражая желание «величайшего короля Европы» иметь при своем дворе «величайшего математика Европы». Лагранжа наконец убедили. Следующие двадцать лет он провел в Пруссии , где он подготовил длинную серию статей, опубликованных в Берлинских и Туринских трудах, и написал свой монументальный труд « Аналитическая механика» . В 1767 году он женился на своей кузине Виттории Конти.
Лагранж был любимцем короля, который часто читал ему лекции о преимуществах совершенной регулярности жизни. Урок был принят, и Лагранж изучал свой разум и тело, как будто они были машинами, и экспериментировал, чтобы найти точный объем работы, которую он мог выполнить до истощения. Каждый вечер он ставил себе определенную задачу на следующий день, и после завершения любой ветви предмета он писал краткий анализ, чтобы увидеть, какие пункты в демонстрациях или предмете можно было улучшить. Он тщательно планировал свои работы перед тем, как писать их, обычно без единой подчистки или исправления.
Тем не менее, в годы его пребывания в Берлине здоровье Лагранжа было довольно слабым, а здоровье его жены Виттории было еще хуже. Она умерла в 1783 году после многих лет болезни, и Лагранж был очень подавлен. В 1786 году умер Фридрих II, и климат Берлина стал тяжелым для Лагранжа. [10]
В 1786 году, после смерти Фридриха, Лагранж получил аналогичные приглашения от государств, включая Испанию и Неаполь , и он принял предложение Людовика XVI переехать в Париж. Во Франции его приняли со всеми знаками отличия, и для его приема были подготовлены специальные апартаменты в Лувре, и он стал членом Французской академии наук , которая позже стала частью Института Франции (1795). В начале своего пребывания в Париже его охватил приступ меланхолии, и даже печатный экземпляр его Mécanique, над которым он работал четверть века, более двух лет лежал нераспечатанным на его столе. Любопытство относительно результатов Французской революции первым вывело его из летаргии, любопытство, которое вскоре превратилось в тревогу по мере развития революции.
Примерно в то же время, в 1792 году, необъяснимая печаль его жизни и его робость тронули сострадание 24-летней Рене-Франсуазы-Аделаиды Ле Монье, дочери его друга, астронома Пьера Шарля Ле Монье . Она настояла на том, чтобы выйти за него замуж, и оказалась преданной женой, к которой он горячо привязался.
В сентябре 1793 года началось Царство террора . Благодаря вмешательству Антуана Лавуазье , который к тому времени был уже изгнан из академии вместе со многими другими учеными, Лагранж был специально поименно освобожден в указе от октября 1793 года, который предписывал всем иностранцам покинуть Францию. 4 мая 1794 года Лавуазье и 27 других откупщиков были арестованы и приговорены к смертной казни и гильотинированы на следующий день после суда. Лагранж сказал о смерти Лавуазье:
Хотя Лагранж готовился бежать из Франции, пока еще оставалось время, он никогда не подвергался никакой опасности; различные революционные правительства (а позднее и Наполеон ) оказывали ему почести и отличия. Эта удача или безопасность, возможно, в некоторой степени объясняются его жизненной позицией, которую он выразил много лет назад: « Я считаю, что, в общем, один из первых принципов каждого мудрого человека — строго соблюдать законы страны, в которой он живет, даже если они неразумны ». [10] Поразительное свидетельство того уважения, с которым к нему относились, было продемонстрировано в 1796 году, когда французскому комиссару в Италии было приказано присутствовать в полном составе на кончине отца Лагранжа и передать поздравления республики в связи с достижениями его сына, который «сделал честь всему человечеству своим гением и чье появление было особой славой Пьемонта ». Можно добавить, что Наполеон, достигнув власти, горячо поощрял научные исследования во Франции и был их щедрым благотворителем. Назначенный сенатором в 1799 году, он был первым, кто подписал Sénatus-consulte , который в 1802 году присоединил его родину Пьемонт к Франции. [7] В результате он получил французское гражданство. [7] Французы утверждали, что он был французским математиком, но итальянцы продолжали называть его итальянцем. [10]
Лагранж участвовал в разработке метрической системы измерений в 1790-х годах. Ему предложили пост президента Комиссии по реформе мер и весов ( la Commission des Poids et Mesures ), когда он готовился к побегу. После смерти Лавуазье в 1794 году именно Лагранж в значительной степени повлиял на выбор единиц метра и килограмма с десятичным подразделением комиссией 1799 года. [18] Лагранж также был одним из основателей Бюро долгот в 1795 году.
В 1795 году Лагранж был назначен на кафедру математики в недавно созданной École Normale , которая просуществовала всего четыре месяца. Его лекции там были элементарными; они не содержали ничего, что имело бы математическое значение, хотя и давали краткий исторический экскурс в причину, по которой он предложил недесятеричную систему счисления или систему с основанием 11 в качестве основы для реформированной системы мер и весов. [19] : 23 Лекции были опубликованы, потому что профессора должны были «дать обет представителям народа и друг другу не читать и не повторять по памяти» [«Les professeurs aux Écoles Normales ont pris, avec les Représentants du Peuple, et entr'eux l'engagement de ne point lire ou débiter de mémoire des discours écrits» [20] : iii ]. Выступления были упорядочены и стенографированы, чтобы депутаты могли увидеть, как оправдали себя профессора. Считалось также, что опубликованные лекции заинтересуют значительную часть граждан .
В 1794 году Лагранж был назначен профессором Политехнической школы ; и его лекции там, описанные математиками, которым посчастливилось их посещать, были почти совершенны как по форме, так и по содержанию. [ требуется ссылка ] Начиная с самых простых элементов, он вел своих слушателей до тех пор, пока они, почти не осознавая этого, сами не расширяли границы предмета: прежде всего он внушал своим ученикам преимущество постоянного использования общих методов, выраженных в симметричной нотации.
Однако Лагранж, похоже, не был успешным учителем. Фурье , посетивший его лекции в 1795 году, писал:
В 1810 году Лагранж начал тщательную переработку Mécanique analytique , но он смог завершить только около двух третей до своей смерти в Париже в 1813 году, на 128 rue du Faubourg Saint-Honoré . Наполеон почтил его Большим крестом Ordre Impérial de la Réunion всего за два дня до его смерти. Он был похоронен в том же году в Пантеоне в Париже. Надпись на его могиле гласит в переводе:
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ. Сенатор. Граф Империи. Великий офицер ордена Почетного легиона. Большой крест Императорского ордена Воссоединения . Член Института и Бюро долготы. Родился в Турине 25 января 1736 года. Умер в Париже 10 апреля 1813 года.
Лагранж был чрезвычайно активен в научной деятельности в течение двадцати лет, которые он провел в Берлине. Он не только написал свою Mécanique analytique , но и внес от одной до двухсот статей в Туринскую академию, Берлинскую академию и Французскую академию. Некоторые из них действительно являются трактатами, и все без исключения — высокого уровня совершенства. За исключением короткого периода, когда он был болен, он в среднем писал около одной статьи в месяц. Из них отметим следующие как наиболее важные.
Во-первых, его вклад в четвертый и пятый тома, 1766–1773, Miscellanea Taurinensia ; из которых наиболее важным был тот, что был в 1771 году, в котором он обсуждал, как многочисленные астрономические наблюдения должны быть объединены, чтобы дать наиболее вероятный результат. И позднее, его вклад в первые два тома, 1784–1785, трудов Туринской академии; в первый из которых он внес статью о давлении, оказываемом движущимися жидкостями, а во второй — статью об интегрировании бесконечными рядами и типе задач, для которых оно подходит.
Большинство работ, отправленных в Париж, были посвящены астрономическим вопросам, и среди них, в том числе его работа о системе Юпитера в 1766 году, его эссе о проблеме трех тел в 1772 году, его работа о вековом уравнении Луны в 1773 году и его трактат о кометных возмущениях в 1778 году. Все они были написаны на темы, предложенные Французской академией , и в каждом случае ему присуждалась премия.
Между 1772 и 1788 годами Лагранж переформулировал классическую/ньютоновскую механику, чтобы упростить формулы и облегчить вычисления. Эта механика называется механикой Лагранжа .
Однако большая часть его работ этого периода была передана в Прусскую академию наук . Некоторые из них посвящены вопросам алгебры .
Некоторые из его ранних работ также посвящены вопросам теории чисел.
Имеются также многочисленные статьи по различным вопросам аналитической геометрии . В двух из них, написанных несколько позже, в 1792 и 1793 годах, он привел уравнения квадрик (или коникоидов) к их каноническим формам .
В период с 1772 по 1785 год он внес большой вклад в ряд статей, которые создали науку об уравнениях с частными производными . Большая часть этих результатов была собрана во втором издании интегрального исчисления Эйлера, опубликованном в 1794 году.
Наконец, есть многочисленные работы по проблемам астрономии . Из них наиболее важными являются следующие:
Помимо этих различных работ он составил свой фундаментальный трактат « Аналитическая механика» .
В этой книге он излагает закон виртуальной работы и из этого фундаментального принципа с помощью вариационного исчисления выводит всю механику как твердых тел, так и жидкостей.
Цель книги — показать, что предмет неявно включен в единый принцип, и дать общие формулы, из которых может быть получен любой конкретный результат. Метод обобщенных координат, с помощью которого он получил этот результат, является, пожалуй, самым блестящим результатом его анализа. Вместо того чтобы следовать движению каждой отдельной части материальной системы, как это делали Даламбер и Эйлер, он показал, что если мы определим ее конфигурацию достаточным числом переменных x , называемых обобщенными координатами , число которых совпадает с числом степеней свободы, которыми обладает система, то кинетическая и потенциальная энергии системы могут быть выражены через эти переменные, а дифференциальные уравнения движения оттуда выведены простым дифференцированием. Например, в динамике жесткой системы он заменяет рассмотрение частной задачи общим уравнением, которое теперь обычно записывается в виде
где T представляет собой кинетическую энергию, а V представляет собой потенциальную энергию системы. Затем он представил то, что мы теперь знаем как метод множителей Лагранжа — хотя это не первый раз, когда этот метод был опубликован — как средство решения этого уравнения. [23] Среди других приведенных здесь второстепенных теорем достаточно упомянуть положение о том, что кинетическая энергия, сообщаемая заданными импульсами материальной системе при заданных ограничениях, является максимальной, и принцип наименьшего действия . Весь анализ настолько изящен, что сэр Уильям Роуэн Гамильтон сказал, что работу можно описать только как научную поэму. Лагранж заметил, что механика на самом деле является разделом чистой математики, аналогичным геометрии четырех измерений, а именно времени и трех координат точки в пространстве; и говорят, что он гордился тем, что от начала до конца работы не было ни одной диаграммы. Сначала не удалось найти ни одного печатника, который бы опубликовал книгу; но Лежандр в конце концов убедил парижскую фирму взяться за это, и книга была издана под руководством Лапласа, Кузена, Лежандра (редактора) и Кондорсе в 1788 году. [10]
Лекции Лагранжа по дифференциальному исчислению в Политехнической школе легли в основу его трактата «Теория аналитических функций» , опубликованного в 1797 году. Эта работа является развитием идеи, содержащейся в статье, которую он послал в Берлинскую газету в 1772 году, и ее цель — заменить дифференциальное исчисление группой теорем, основанных на разложении алгебраических функций в ряды, опираясь, в частности, на принцип общности алгебры .
Несколько похожий метод ранее использовался Джоном Ланденом в « Остаточном анализе» , опубликованном в Лондоне в 1758 году. Лагранж считал, что таким образом он сможет избавиться от тех трудностей, связанных с использованием бесконечно больших и бесконечно малых величин, против которых возражали философы в обычной трактовке дифференциального исчисления. Книга разделена на три части: из них первая рассматривает общую теорию функций и дает алгебраическое доказательство теоремы Тейлора , справедливость которой, однако, остается под вопросом; вторая касается приложений к геометрии; а третья — приложений к механике.
Другим трактатом в том же духе были его Leçons sur le calcul des fonctions , изданные в 1804 году, со вторым изданием в 1806 году. Именно в этой книге Лагранж сформулировал свой знаменитый метод множителей Лагранжа в контексте задач вариационного исчисления с интегральными ограничениями. Эти работы, посвященные дифференциальному исчислению и вариационному исчислению, можно считать отправной точкой для исследований Коши , Якоби и Вейерштрасса .
В более поздний период Лагранж полностью принял использование бесконечно малых величин , отдав предпочтение основанию дифференциального исчисления на изучении алгебраических форм; и в предисловии ко второму изданию « Аналитической механики» , которое было опубликовано в 1811 году, он оправдывает использование бесконечно малых величин и заключает, что:
Его Résolution des équations numériques , опубликованный в 1798 году, также был плодом его лекций в École Polytechnique. Там он дает метод приближения действительных корней уравнения посредством непрерывных дробей и формулирует несколько других теорем. В примечании в конце он показывает, как малая теорема Ферма , то есть
где p — простое число, а a — простое число по отношению к p , может быть применено для получения полного алгебраического решения любого биномиального уравнения. Он также объясняет здесь, как уравнение, корни которого являются квадратами разностей корней исходного уравнения, может быть использовано для получения значительной информации о положении и природе этих корней.
Теория планетарных движений стала предметом некоторых из самых замечательных берлинских статей Лагранжа. В 1806 году эта тема была вновь открыта Пуассоном , который в докладе, прочитанном перед Французской академией, показал, что формулы Лагранжа приводят к определенным пределам устойчивости орбит. Присутствовавший Лагранж теперь снова обсудил всю тему и в письме, переданном в академию в 1808 году, объяснил, как с помощью изменения произвольных постоянных можно определить периодические и вековые неравенства любой системы взаимодействующих тел.
Эйлер выдвинул Лагранжа на выборы в Берлинскую академию, и он был избран 2 сентября 1756 года. Он был избран членом Королевского общества Эдинбурга в 1790 году, членом Королевского общества и иностранным членом Королевской шведской академии наук в 1806 году. В 1808 году Наполеон сделал Лагранжа Великим офицером ордена Почетного легиона и Графом Империи . Он был награжден Большим крестом Императорского ордена Реюньона в 1813 году, за неделю до своей смерти в Париже, и был похоронен в Пантеоне , мавзолее, посвященном самым почитаемым французам.
Лагранж был удостоен премии Французской академии наук 1764 года за мемуары о либрации Луны. В 1766 году академия предложила задачу о движении спутников Юпитера , и премия снова была присуждена Лагранжу. Он также разделил или выиграл премии 1772, 1774 и 1778 годов.
Лагранж — один из 72 выдающихся французских учёных , увековеченных на мемориальных досках на первом этаже Эйфелевой башни , когда она впервые открылась. В его честь названа улица Лагранжа в 5-м округе Парижа. В Турине улица, на которой до сих пор стоит его родной дом, носит имя Виа Лагранжа . Его имя носят также лунный кратер Лагранж и астероид 1006 Лагранжа .
Лагранж и Лаплас, хотя и были католиками по происхождению, были агностиками.
Первоначальная версия этой статьи была взята из общедоступного ресурса «Краткий обзор истории математики» (4-е издание, 1908 г.) автора У. В. Рауза Болла .
