Виртуальная работа

Работа, совершаемая силой по перемещению частицы вдоль виртуального перемещения

В механике виртуальная работа возникает при применении принципа наименьшего действия к изучению сил и движения механической системы . Работа силы, действующей на частицу при ее движении вдоль перемещения , различна для разных перемещений. Среди всех возможных смещений, за которыми может следовать частица, называемых виртуальными смещениями , одно действие будет минимизировано. Таким образом, это смещение представляет собой смещение, за которым следует частица в соответствии с принципом наименьшего действия.

Работа силы над частицей вдоль виртуального перемещения называется виртуальной работой.

Исторически виртуальная работа и связанное с ней вариационное исчисление были сформулированы для анализа систем твердых тел ^[1] , но они также были разработаны для изучения механики деформируемых тел. ^[2]

История

Принцип виртуальной работы всегда использовался в той или иной форме, начиная с античности, при изучении статики. Его использовали греки, средневековые арабы и латиняне, а также итальянцы эпохи Возрождения как «закон рычага». ^[3] Идея виртуальной работы в разной степени общности использовалась многими известными физиками 17-го века, такими как Галилей, Декарт, Торричелли, Уоллис и Гюйгенс, при решении задач статики. ^[3] Работая с концепциями Лейбница, Иоганн Бернулли систематизировал принцип виртуальной работы и подробно изложил концепцию бесконечно малого перемещения. Он мог решать задачи как для твердых тел, так и для жидкостей. Версия виртуального закона работы Бернулли появилась в его письме Пьеру Вариньону в 1715 году, которое позже было опубликовано во втором томе книги Вариньона «Новая механика или статистика» в 1725 году. Эта формулировка принципа сегодня известна как принцип виртуальных скоростей и обычно считается как прообраз современных принципов виртуальной работы. ^[3] В 1743 году Даламбер опубликовал свой «Трактат о динамике» , в котором он применил принцип виртуальной работы, основанный на работе Бернулли, для решения различных задач динамики. Его идея заключалась в том, чтобы преобразовать динамическую задачу в статическую путем введения силы инерции . ^[4] В 1768 году Лагранж представил принцип виртуальной работы в более эффективной форме, введя обобщенные координаты, и представил его как альтернативный принцип механики, с помощью которого можно решить все проблемы равновесия. Систематическое изложение программы Лагранжа по применению этого подхода ко всей механике, как статической, так и динамической, по сути, принципу Даламбера , было дано в его «Аналитической механике» 1788 года . ^[3] Хотя Лагранж представил свою версию принципа наименьшего действия до В этой работе он признал принцип виртуальной работы более фундаментальным, главным образом потому, что его можно было считать основой всей механики, в отличие от современного понимания, согласно которому наименьшее действие не учитывает неконсервативные силы. ^[3]

Обзор

Если на частицу действует сила при ее движении из точки в точку , то для каждой возможной траектории, которую может пройти частица, можно вычислить полную работу, совершаемую силой на этом пути. Принцип виртуальной работы , представляющий собой форму принципа наименьшего действия, применяемого к этим системам, гласит, что путь, по которому фактически следует частица, — это тот путь, для которого разница между работой по этому пути и другими близкими путями равна нулю ( до первого заказа). Формальная процедура вычисления разности функций, оцениваемых на соседних путях, представляет собой обобщение производной, известной из дифференциального исчисления, и называется вариационным исчислением . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Рассмотрим точечную частицу, которая движется по пути, описываемому функцией , от точки , где , до точки , где . Возможно, что частица движется из в по близкому пути, описываемому , где называется вариацией . Вариант удовлетворяет требованию . Скалярные компоненты вариации и называются виртуальными смещениями. Это можно обобщить на произвольную механическую систему, определяемую обобщенными координатами , . В этом случае изменение траектории определяется виртуальными перемещениями , . ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{0})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t=t_{1})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)+\delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t)}$ ${\displaystyle \delta \mathbf {r} (t_{0})=\delta \mathbf {r} (t_{1})=0}$ ${\displaystyle \delta r_{1}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{2}(t)}$ ${\displaystyle \delta r_{3}(t)}$ ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$ ${\displaystyle q_{i}(t)}$ ${\displaystyle \delta q_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2,...,n}$

Виртуальная работа — это общая работа, совершаемая приложенными силами и силами инерции механической системы при ее движении через набор виртуальных перемещений. При рассмотрении сил, приложенных к телу, находящемуся в статическом равновесии, принцип наименьшего действия требует, чтобы виртуальная работа этих сил была равна нулю.

Математическая обработка

Рассмотрим частицу P , которая движется из точки A в точку B по траектории r ( t ), при этом к ней приложена сила F ( r ( t )). Работа силы F определяется интегралом

$${\displaystyle W=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ~dt,}$$

d rPvWrt

Теперь рассмотрим частицу P , которая снова движется из точки A в точку B , но на этот раз она движется по ближайшей траектории, отличающейся от r ( t ) вариацией δ r ( t ) = ε h ( t ) , где ε — масштабирование константа, которую можно сделать сколь угодно маленькой, а h ( t ) — произвольная функция, удовлетворяющая условию h ( t ₀ ) = h ( t ₁ ) = 0 . Предположим, что сила F ( r ( t ) + ε h ( t )) такая же, как F ( r ( t )) . Работа, совершаемая силой, определяется интегралом

$${\displaystyle {\bar {W}}=\int _{\mathbf {r} (t_{0})=A}^{\mathbf {r} (t_{1})=B}\mathbf {F} \cdot d(\mathbf {r} +\epsilon \mathbf {h} )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {d(\mathbf {r} (t)+\epsilon \mathbf {h} (t))}{dt}}~dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot (\mathbf {v} +\epsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

δWвиртуальная работа

$${\displaystyle \delta W={\bar {W}}-W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {F} \cdot \epsilon {\dot {\mathbf {h} }})~dt.}$$

Если на движение P нет никаких ограничений , то для полного описания положения P в любой момент времени t необходимы 3 параметра . Если имеется k ( k ≤ 3) ограничивающих сил, то необходимо n = (3 − k ) параметров. Следовательно, мы можем определить n обобщенных координат q _i ( t ) ( i = 1,..., n ) и выразить r ( t ) и δ r = ε h ( t ) через обобщенные координаты. То есть,

$${\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t),}$$

$${\displaystyle \mathbf {h} (t)=\mathbf {h} (q_{1},q_{2},\dots ,q_{n};t).}$$

δ r = ε h ( t )

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\delta \mathbf {r} ={\frac {d}{dt}}\epsilon \mathbf {h} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i},}$$

$${\displaystyle \delta W=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i}\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\left(\int _{t_{0}}^{t_{1}}\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}\epsilon {\dot {q}}_{i}~dt\right).}$$

Требование, чтобы виртуальная работа была равна нулю для произвольной вариации δr ( t ) = εh ( t ), эквивалентно набору требований

$${\displaystyle Q_{i}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {h} }{\partial q_{i}}}=0,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

Q _iобобщенными силамиr

Статическое равновесие

Статическое равновесие — это состояние, в котором чистая сила и чистый крутящий момент, действующие на систему, равны нулю. Другими словами, как линейный момент , так и угловой момент системы сохраняются. Принцип виртуальной работы гласит, что виртуальная работа приложенных сил равна нулю при всех виртуальных движениях системы из статического равновесия . Этот принцип можно обобщить так, что в него включены трехмерные вращения : виртуальная работа приложенных сил и приложенных моментов равна нулю для всех виртуальных движений системы из статического равновесия. То есть

$${\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot \delta \mathbf {\phi } _{j}=0,}$$

F _iimM _jjnδ r _iimδ φ _jjnвиртуальные перемещениявиртуальные вращения

Предположим, что система состоит из N частиц и имеет f ( f ≤ 6 N ) степеней свободы . Достаточно использовать только f координаты, чтобы дать полное описание движения системы, поэтому f обобщенные координаты q _k , k = 1, 2, ..., f определяются так, что виртуальные движения могут быть выражены в терминах этих обобщенных координат . То есть,

$${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad i=1,2,\dots ,m;}$$

$${\displaystyle \delta \phi _{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{f};t),\quad j=1,2,\dots ,n.}$$

Затем виртуальную работу можно перепараметризовать с помощью обобщенных координат :

$${\displaystyle \delta W=\sum _{k=1}^{f}\left[\left(\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}}\right)\delta q_{k}\right]=\sum _{k=1}^{f}Q_{k}\delta q_{k},}$$

обобщенные силы Q _k

$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\phi } _{j}}{\partial q_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

^[5]обобщенные силы

$${\displaystyle Q_{k}=\sum _{i=1}^{m}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}+\sum _{j=1}^{n}\mathbf {M} _{j}\cdot {\frac {\partial \mathbf {\omega } _{j}}{\partial {\dot {q}}_{k}}},\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

Принцип виртуальной работы требует, чтобы виртуальная работа, совершаемая над системой силами F _i и моментами M _j , обращалась в нуль, если она находится в равновесии . Следовательно, обобщенные силы Q _k равны нулю, т.е.

$${\displaystyle \delta W=0\quad \Rightarrow \quad Q_{k}=0\quad k=1,2,\dots ,f.}$$

Сдерживающие силы

Важным преимуществом принципа виртуальной работы является то, что для определения механики системы необходимы только силы, которые работают при движении системы через виртуальное перемещение . В механической системе существует множество сил, которые при виртуальном перемещении не совершают работы , а значит, их не нужно учитывать в данном анализе. Двумя важными примерами являются (i) внутренние силы в твердом теле и (ii) силы ограничения в идеальном суставе .

Ланцош ^[1] представляет это как постулат: «Виртуальная работа сил реакции всегда равна нулю при любом виртуальном перемещении , которое находится в гармонии с заданными кинематическими ограничениями». Аргумент заключается в следующем. Принцип виртуальной работы гласит, что в состоянии равновесия виртуальная работа сил, приложенных к системе, равна нулю. Законы Ньютона гласят, что в состоянии равновесия приложенные силы равны и противоположны силам реакции или силам ограничения. Это означает, что виртуальная работа сил связи также должна быть равна нулю.

Закон рычага

Рычаг моделируется как жесткий стержень, соединенный с опорной рамой шарнирным соединением, называемым точкой опоры . Рычаг приводится в действие путем приложения входной силы F _A в точке A , расположенной по координатному вектору r _A на стержне. Затем рычаг прикладывает выходную силу F _B в точке B , расположенной через r _B . Поворот рычага вокруг точки опоры P определяется углом поворота θ .

Это гравюра из журнала «Механика» , изданного в Лондоне в 1824 году.

Пусть вектор координат точки P , определяющей точку опоры, равен r _P , и введем длины

$${\displaystyle a=|\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}|,\quad b=|\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}|,}$$

AB

Теперь введем единичные векторы e _A и e _B от точки опоры до точки A и B , так что

$${\displaystyle \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{P}=a\mathbf {e} _{A},\quad \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{P}=b\mathbf {e} _{B}.}$$

AB

$${\displaystyle \mathbf {v} _{A}={\dot {\theta }}a\mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad \mathbf {v} _{B}={\dot {\theta }}b\mathbf {e} _{B}^{\perp },}$$

e _A ^⊥e _B ^⊥e _Ae _B

Угол θ является обобщенной координатой, определяющей конфигурацию рычага, поэтому, используя приведенную выше формулу для сил, приложенных к механизму с одной степенью свободы, обобщенная сила определяется выражением

$${\displaystyle Q=\mathbf {F} _{A}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{A}}{\partial {\dot {\theta }}}}-\mathbf {F} _{B}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{B}}{\partial {\dot {\theta }}}}=a(\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp })-b(\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }).}$$

Обозначим теперь через F _A и F _B составляющие сил, перпендикулярные радиальным отрезкам PA и PB . Эти силы задаются формулой

$${\displaystyle F_{A}=\mathbf {F} _{A}\cdot \mathbf {e} _{A}^{\perp },\quad F_{B}=\mathbf {F} _{B}\cdot \mathbf {e} _{B}^{\perp }.}$$

$${\displaystyle Q=aF_{A}-bF_{B}=0.}$$

Отношение выходной силы F _B к входной силе F _A представляет собой механическое преимущество рычага и получается из принципа виртуальной работы как

$${\displaystyle MA={\frac {F_{B}}{F_{A}}}={\frac {a}{b}}.}$$

Это уравнение показывает, что если расстояние a от точки опоры до точки A , к которой прилагается входная сила, больше, чем расстояние b от точки опоры до точки B , где прилагается выходная сила, то рычаг усиливает входную силу. Если верно обратное: расстояние от точки опоры до входной точки А меньше, чем от точки опоры до выходной точки В , то рычаг уменьшает величину входной силы.

Это закон рычага , который был доказан Архимедом с помощью геометрических рассуждений. ^[6]

Зубчатая передача

Зубчатая передача образуется путем установки шестерен на раме так, чтобы зубья шестерен зацеплялись. Зубья шестерен предназначены для обеспечения качения делительных кругов шестерен сцепления друг о друга без проскальзывания, это обеспечивает плавную передачу вращения от одной шестерни к другой. Для этого анализа мы рассматриваем зубчатую передачу, имеющую одну степень свободы, что означает, что угловое вращение всех шестерен в зубчатой ​​передаче определяется углом входной шестерни.

Иллюстрация из «Учения армейского корпуса по механическому транспорту» (1911 г.), рис. 112. Передача движения и силы с помощью зубчатых колес, составной поезд.

Размер шестерен и последовательность их включения определяют отношение угловой скорости ω _A входной шестерни к угловой скорости ω _B выходной шестерни, известное как передаточное число или передаточное число зубчатой ​​передачи. . Пусть R — передаточное число, тогда

$${\displaystyle {\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}=R.}$$

Входной крутящий момент T _A , действующий на входную шестерню G _A , преобразуется зубчатой ​​передачей в выходной крутящий момент T _B , создаваемый выходной шестерней G _B . Если предположить, что шестерни жесткие и потерь в зацеплении зубьев шестерен нет, то принцип виртуальной работы можно использовать для анализа статического равновесия зубчатой ​​передачи.

Пусть угол θ входной шестерни является обобщенной координатой зубчатой ​​передачи, тогда передаточное число R зубчатой ​​передачи определяет угловую скорость выходной шестерни через входную шестерню, то есть

$${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}=\omega /R.}$$

Приведенная выше формула принципа виртуальной работы с приложенными крутящими моментами дает обобщенную силу

$${\displaystyle Q=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-T_{B}/R=0.}$$

Механическое преимущество зубчатой ​​передачи представляет собой отношение выходного крутящего момента T _B к входному крутящему моменту T _A , и приведенное выше уравнение дает

$${\displaystyle MA={\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R.}$$

Таким образом, передаточное число зубчатой ​​передачи также определяет ее механическое преимущество. Это показывает, что если входная шестерня вращается быстрее, чем выходная, то зубчатая передача усиливает входной крутящий момент. А если входная шестерня вращается медленнее выходной, то зубчатая передача снижает входной крутящий момент.

Динамическое равновесие твердых тел

Если принцип виртуальной работы приложенных сил применяется к отдельным частицам твердого тела , этот принцип можно обобщить для твердого тела: когда твердое тело, находящееся в равновесии, подвергается виртуальным совместимым перемещениям, общая виртуальная работа всех внешние силы равны нулю; и наоборот, если общая виртуальная работа всех внешних сил, действующих на твердое тело, равна нулю, то тело находится в равновесии .

Если система не находится в статическом равновесии, Даламбер показал, что путем введения условий ускорения законов Ньютона в виде сил инерции этот подход обобщается для определения динамического равновесия. Результатом является форма принципа виртуальной работы Даламбера, которая используется для вывода уравнений движения механической системы твердых тел.

Выражение «совместимые смещения» означает, что частицы остаются в контакте и смещаются вместе, так что работа, совершаемая парами сил действия/противодействия между частицами, компенсируется. Различные формы этого принципа приписывались Иоганну (Жану) Бернулли (1667–1748) и Даниэлю Бернулли (1700–1782).

Обобщенные силы инерции

Пусть механическая система построена из n твердых тел B _i , i=1,...,n, и пусть результирующей приложенных сил к каждому телу являются пары сила- момент F _i и Ti _, i = 1,..., н . Обратите внимание, что эти приложенные силы не включают силы реакции в местах соединения тел. Наконец, предположим, что скорость Vi и угловые скорости ω _i , _i =1,..., n для каждого твердого тела определяются одной обобщенной координатой q. Говорят, что такая система твердых тел имеет одну степень свободы .

Рассмотрим одно твердое тело, которое движется под действием равнодействующей силы F и крутящего момента T с одной степенью свободы, определяемой обобщенной координатой q. Предположим, что точкой отсчета результирующей силы и крутящего момента является центр масс тела, тогда обобщенная сила инерции Q*, связанная с обобщенной координатой q, определяется выражением

$${\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-([I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega )\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}$$

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}$$

$${\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}$$

Система n твердых тел с m обобщенными координатами имеет кинетическую энергию

$${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}$$

^[7]

$${\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}$$

Форма принципа виртуальной работы Даламбера.

Форма принципа виртуальной работы Даламбера гласит, что система твердых тел находится в динамическом равновесии, когда виртуальная работа суммы приложенных сил и сил инерции равна нулю при любом виртуальном перемещении системы. Таким образом, для динамического равновесия системы n твердых тел с m обобщенными координатами необходимо, чтобы

$${\displaystyle \delta W=(Q_{1}+Q_{1}^{*})\delta q_{1}+\dots +(Q_{m}+Q_{m}^{*})\delta q_{m}=0,}$$

δq _jm

$${\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,}$$

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

уравнения Лагранжаобобщенные уравнения движения

Если обобщенные силы Q _j выводятся из потенциальной энергии V ( q ₁ ,..., q _m ), то эти уравнения движения принимают вид

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}$$

В этом случае введите лагранжиан L = T − V , чтобы эти уравнения движения приняли вид

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}$$

уравнения Эйлера-Лагранжауравнения Лагранжа второго рода

Принцип виртуальной работы деформируемого тела.

Рассмотрим теперь диаграмму свободного тела деформируемого тела , состоящую из бесконечного числа дифференциальных кубов. Давайте определим два несвязанных состояния для тела:

• -Состояние : показывает внешние поверхностные силы T , объемные силы f и внутренние напряжения в равновесии. ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$
• -Состояние : Это показывает непрерывные смещения и постоянные деформации . ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$

Верхний индекс * подчеркивает, что эти два состояния не связаны между собой. Помимо указанных выше условий, нет необходимости указывать, является ли какое-либо из состояний реальным или виртуальным.

Представьте теперь, что силы и напряжения в -состоянии претерпевают перемещения и деформации в -состоянии : мы можем вычислить общую виртуальную (мнимую) работу, выполняемую всеми силами, действующими на гранях всех кубов, двумя разными способами: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• Во-первых, суммируя работу, совершаемую силами, например , действующими на отдельные общие грани (рис. в): Поскольку материал испытывает совместимые перемещения , такая работа компенсируется, оставляя только виртуальную работу, совершаемую поверхностными силами Т (которые равны напряжениям на гранях кубов, по равновесию). ${\displaystyle F_{A}}$
• Во-вторых, путем вычисления чистой работы, совершаемой напряжениями или силами, такими как , которые действуют на отдельный куб, например, для одномерного случая на рис. (c): ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle F_{B}}$
  $${\displaystyle F_{B}\left(u^{*}+{\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}dx\right)-F_{A}u^{*}\approx {\frac {\partial u^{*}}{\partial x}}\sigma dV+u^{*}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}dV=\epsilon ^{*}\sigma dV-u^{*}fdV}$$
  где использовалось соотношение равновесия и пренебрегалось членом второго порядка. ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}+f=0}$
  Интеграция по всему телу дает:
  $${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{*T}{\boldsymbol {\sigma }}\,dV}$$
  – Работа, совершаемая массовыми силами f .

Приравнивание двух результатов приводит к принципу виртуальной работы деформируемого тела:

где полная внешняя виртуальная работа выполняется T и f . Таким образом,

Правую часть ( d , e ) часто называют внутренней виртуальной работой. Тогда принцип виртуальной работы гласит: внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения подвергаются несвязанным, но постоянным смещениям и деформациям . Он включает принцип виртуальной работы для твердых тел как частный случай, когда внутренняя виртуальная работа равна нулю.

Доказательство эквивалентности принципа виртуальной работы и уравнения равновесия.

Начнем с рассмотрения общей работы, совершаемой поверхностным сцеплением тела, претерпевающего заданную деформацию:

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot \mathbf {T} dS=\int _{S}\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} dS}$$

Применяя теорему о дивергенции к правой части, получаем:

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot n} dS=\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV}$$

Теперь перейдем к указательным обозначениям для облегчения вывода.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\nabla \cdot \left(\mathbf {u} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)dV&=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(u_{i}\sigma _{ij}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV\end{aligned}}}$$

Чтобы продолжить наш вывод, подставим в уравнение равновесия . Затем ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}+f_{i}=0}$

$${\displaystyle \int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}+u_{i}{\frac {\partial \sigma _{ij}}{\partial x_{j}}}\right)dV=\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV}$$

Первый член в правой части необходимо разбить на симметричную часть и косую часть следующим образом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{V}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV&=\int _{V}\left({\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\left[\epsilon _{ij}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\right]\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left(\epsilon _{ij}\sigma _{ij}-u_{i}f_{i}\right)dV\\&=\int _{V}\left({\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} \right)dV\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

Теперь подведем итоги. С помощью приведенного выше вывода мы показали, что

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV-\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV}$$

Переместим второе слагаемое из правой части уравнения влево:

$${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u\cdot T} dS+\int _{V}\mathbf {u} \cdot \mathbf {f} dV=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}:{\boldsymbol {\sigma }}dV}$$

Физическая интерпретация приведенного выше уравнения такова: внешняя виртуальная работа равна внутренней виртуальной работе, когда уравновешенные силы и напряжения подвергаются несвязанным, но постоянным смещениям и деформациям .

Для практического применения:

• Чтобы обеспечить равновесие реальных напряжений и сил, мы используем согласованные виртуальные перемещения и деформации в уравнении виртуальной работы.
• Чтобы обеспечить согласованные перемещения и деформации, мы используем уравновешенные виртуальные напряжения и силы в уравнении виртуальной работы.

Эти два общих сценария порождают два часто упоминаемых вариационных принципа. Они действительны независимо от материального поведения.

Принцип виртуальных перемещений

В зависимости от цели мы можем специализировать уравнение виртуальной работы. Например, чтобы вывести принцип виртуальных перемещений в вариационных обозначениях для опертых тел, укажем:

• Виртуальные смещения и деформации как вариации реальных смещений и деформаций с использованием вариационных обозначений, таких как и ${\displaystyle \delta \ \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} ^{*}}$ ${\displaystyle \delta \ {\boldsymbol {\epsilon }}\equiv {\boldsymbol {\epsilon }}^{*}}$
• Виртуальные смещения равны нулю на той части поверхности, которая имеет заданные смещения, и, следовательно, работа, совершаемая реакциями, равна нулю. Со стороны , совершающей работу, остаются только внешние поверхностные силы . ${\displaystyle S_{t}}$

Тогда уравнение виртуальной работы становится принципом виртуальных перемещений:

Это соотношение эквивалентно системе уравнений равновесия, записанных для дифференциального элемента в деформируемом теле, а также напряженных граничных условий на части поверхности. И наоборот, ( f ) можно достичь, хотя и нетривиальным способом, начав с дифференциальных уравнений равновесия и граничных условий напряжений на и действуя аналогично ( a ) и ( b ). ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{t}}$

Поскольку виртуальные смещения автоматически совместимы , когда они выражаются через непрерывные однозначные функции , мы часто упоминаем только необходимость согласованности между деформациями и смещениями. Принцип виртуальной работы справедлив и для больших реальных перемещений; однако тогда уравнение ( f ) будет записано с использованием более сложных показателей напряжений и деформаций.

Принцип виртуальных сил

Здесь мы указываем:

• Виртуальные силы и напряжения как вариации реальных сил и напряжений.
• Виртуальные силы равны нулю на той части поверхности, на которой действуют предписанные силы, и, следовательно, работу будут выполнять только поверхностные силы (реакции) (где предписаны перемещения). ${\displaystyle S_{t}}$ ${\displaystyle S_{u}}$

Уравнение виртуальной работы становится принципом виртуальных сил:

Это соотношение эквивалентно системе уравнений совместимости деформаций, а также граничных условий смещения на детали . У него есть другое название: принцип дополняющей виртуальной работы. ${\displaystyle S_{u}}$

Альтернативные формы

Специализацией принципа виртуальных сил является метод единичной фиктивной силы , который очень полезен для расчета смещений в структурных системах. Согласно принципу Даламбера , включение сил инерции в качестве дополнительных массовых сил даст уравнение виртуальной работы, применимое к динамическим системам. Более общие принципы могут быть выведены следующим образом:

• допуская вариации всех величин.
• использование множителей Лагранжа для наложения граничных условий и/или смягчения условий, указанных в двух состояниях.

Они описаны в некоторых ссылках.

Среди многих энергетических принципов в строительной механике принцип виртуальной работы заслуживает особого места из-за своей общности, которая приводит к мощным приложениям в структурном анализе , механике твердого тела и методе конечных элементов в строительной механике .

Смотрите также

• Гибкий метод
• Метод фиктивной силы единицы
• Метод конечных элементов в строительной механике
• Вариационное исчисление
• Лагранжева механика
• Принцип Мюллера-Бреслау
• Принцип Даламбера

Рекомендации

1. К. Ланцос, Вариационные принципы механики, 4-е изд., General Publishing Co., Канада, 1970 г.
2. Дим, К. Л. и И. Х. Шеймс, Механика твердого тела: вариационный подход , McGraw-Hill, 1973.
3. Capecchi, Данило (2012). История законов о виртуальной работе . Научные сети. Исторические исследования. Том. 42. Милан: Спрингер Милан. дои : 10.1007/978-88-470-2056-6. ISBN 978-88-470-2055-9.
4. Рене Дюга, История механики, Courier Corporation, 2012 г.
5. Т.Р. Кейн и Д.А. Левинсон, Динамика: теория и приложения, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 1985.
6. Ашер, AP (1929). История механических изобретений. Издательство Гарвардского университета (перепечатано Dover Publications, 1988 г.). п. 94. ИСБН 978-0-486-14359-0. OCLC  514178 . Проверено 7 апреля 2013 г.
7. Т.Р. Кейн и Д.А. Левинсон, Динамика, теория и приложения, McGraw-Hill, Нью-Йорк, 2005.

Внешние ссылки

• Примеры применения принципа виртуальной работы

Библиография

• Бат, К.Дж. «Процедуры конечных элементов», Прентис Холл, 1996. ISBN 0-13-301458-4 
• Чарльтон, Энергетические принципы ТМ в теории конструкций , Oxford University Press, 1973. ISBN 0-19-714102-1 
• Дайм, К. Л. и И. Х. Шеймс, Механика твердого тела: вариационный подход , McGraw-Hill, 1973.
• Гринвуд, Дональд Т. Классическая динамика , Dover Publications Inc., 1977, ISBN 0-486-69690-1 
• Ху, Х. Вариационные принципы теории упругости с приложениями , Тейлор и Фрэнсис, 1984. ISBN 0-677-31330-6 
• Лангхаар, Х.Л. Энергетические методы в прикладной механике , Кригер, 1989.
• Редди, Дж. Н. Энергетические принципы и вариационные методы в прикладной механике , Джон Уайли, 2002. ISBN 0-471-17985-X 
• Шамс, И.Х. и Дайм, К.Л. Энергия и методы конечных элементов в структурной механике , Тейлор и Фрэнсис, 1995, ISBN 0-89116-942-3 
• Таучерт, Т.Р. Энергетические принципы в строительной механике , McGraw-Hill, 1974. ISBN 0-07-062925-0 
• Васизу, К. Вариационные методы упругости и пластичности , Pergamon Pr, 1982. ISBN 0-08-026723-8 
• Вундерлих, В. Механика конструкций: вариационные и вычислительные методы , CRC, 2002. ISBN 0-8493-0700-7