Сдерживающая сила C и виртуальное смещение δ r для частицы массы m, удерживаемой кривой. Результирующая несдерживающая сила равна N. Компоненты виртуального перемещения связаны уравнением связи.
В аналитической механике , разделе прикладной математики и физики , виртуальное смещение (или бесконечно малая вариация ) показывает, как траектория механической системы может гипотетически (отсюда и термин «виртуальная ») очень незначительно отклоняться от фактической траектории системы, не нарушая ограничений системы. [1] [2] [3] : 263 Для каждого момента времени является вектором, касательным к конфигурационному пространству в точке. Векторы показывают направления, в которых можно «идти», не нарушая ограничений.
Например, виртуальные смещения системы, состоящей из одной частицы на двумерной поверхности, заполняют всю касательную плоскость в предположении отсутствия дополнительных ограничений.
Если же ограничения требуют, чтобы все траектории проходили через данную точку в данный момент времени , т.е. тогда
Обозначения
Пусть – конфигурационное пространство механической системы, – моменты времени, состоит из гладких функций на , и
Ограничения приведены здесь только для иллюстрации. На практике для каждой отдельной системы требуется индивидуальный набор ограничений.
Определение
Для каждого пути и вариации есть такая функция , что для каждого и Виртуальное смещение , являющееся касательным расслоением соответствующего вариации, присваивает [1] каждому касательному вектору
С точки зрения касательной карты ,
Вот касательная карта того, где и
Характеристики
- Координационное представительство. Если координаты на произвольной карте включены и то
- Если в течение некоторого времени, мгновения и времени , для каждого
- Если тогда
Примеры
Свободная частица в R 3
Одна свободно движущаяся частица имеет 3 степени свободы. Пространство конфигурации - это и Для каждого пути и его вариации существует уникальный такой , что
По определению
что приводит к
Свободные частицы на поверхности
Частицы, свободно движущиеся по двумерной поверхности, обладают степенью свободы. Пространство конфигурации здесь
где – радиус-вектор частицы . Следует, что
и каждый путь может быть описан с использованием радиусов-векторов каждой отдельной частицы, т.е.
Это означает, что для каждого
где Некоторые авторы выражают это как
Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной точки
Твердое тело , вращающееся вокруг неподвижной точки без дополнительных ограничений, имеет 3 степени свободы. Конфигурационное пространство здесь представляет собой специальную ортогональную группу размерности 3 (также известную как группа трехмерного вращения ), и мы используем стандартные обозначения для обозначения трехмерного линейного пространства всех кососимметричных трехмерных матриц. Экспоненциальное отображение гарантирует существование такого, что для каждого пути существует его вариация и существует единственный путь такой , что и для каждого По определению
Поскольку для некоторой функции , например ,
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Аб Тахтаджан, Леон А. (2017). «Часть 1. Классическая механика». Классическая теория поля (PDF) . Департамент математики Университета Стоуни-Брук, Стоуни-Брук, штат Нью-Йорк.
- ^ Гольдштейн, Х .; Пул, CP; Сафко, Дж. Л. (2001). Классическая механика (3-е изд.). Аддисон-Уэсли. п. 16. ISBN 978-0-201-65702-9.
- ^ Торби, Брюс (1984). «Энергетические методы». Advanced Dynamics для инженеров . Серия HRW в области машиностроения. Соединенные Штаты Америки: Издательство CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.