Форма матрицы
В математике , особенно в линейной алгебре , кососимметричная (или антисимметричная или антиметрическая [1] ) матрица — это квадратная матрица , транспонирование которой равно ее отрицательному значению. То есть оно удовлетворяет условию [2] : с. 38
![{\displaystyle A{\text{кососимметричный}}\quad \iff \quad A^{\textsf {T}}=-A.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
С точки зрения элементов матрицы, если обозначает элемент в -й строке и -м столбце, то условие кососимметричности эквивалентно![{\textstyle a_{ij}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль я}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль j}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A{\text{ кососимметричный}} \quad \iff \quad a_{ji} = -a_{ij}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Пример
Матрица
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&2&-45\\-2&0&-4\\45&4&0\end{bmatrix}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
является кососимметричным, поскольку
![{\displaystyle -A={\begin{bmatrix}0&-2&45\\2&0&4\\-45&-4&0\end{bmatrix}}=A^{\textsf {T}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Характеристики
Всюду мы предполагаем, что все элементы матрицы принадлежат полю , характеристика которого не равна 2. То есть мы предполагаем, что 1 + 1 ≠ 0 , где 1 обозначает мультипликативное тождество, а 0 — аддитивное тождество данного поля. Если характеристика поля равна 2, то кососимметричная матрица — это то же самое, что и симметричная матрица .![{\ textstyle \ mathbb {F} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Сумма двух кососимметричных матриц кососимметрична.
- Скаляр, кратный кососимметричной матрице, является кососимметричным.
- Элементы на диагонали кососимметричной матрицы равны нулю, следовательно, ее след равен нулю.
- Если действительная кососимметричная матрица и действительное собственное значение , то , т.е. ненулевые собственные значения кососимметричной матрицы недействительны.
![{\текстовый стиль А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль \лямбда }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль \лямбда =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если – действительная кососимметричная матрица, то обратима , где – единичная матрица.
![{\текстовый стиль А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle I+A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Если – кососимметричная матрица, то – симметричная отрицательная полуопределенная матрица .
![{\текстовый стиль А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle А^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Структура векторного пространства
В результате первых двух свойств, приведенных выше, набор всех кососимметричных матриц фиксированного размера образует векторное пространство . Пространство кососимметричных матриц имеет размерность
![{\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обозначим пространство матриц. Кососимметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов над главной диагональю ); симметричная матрица определяется скалярами (количеством элементов на главной диагонали или выше нее). Обозначим через пространство кососимметричных матриц и обозначим пространство симметричных матриц. Если тогда![{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle {\frac {1}{2}}n(n-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle {\frac {1}{2}}n(n+1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle {\mbox{Skew}}_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle {\mbox{Sym}}_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle A\in {\mbox{Mat}}_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(AA^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A+A^{\ mathsf {T}}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что и Это верно для каждой квадратной матрицы с элементами из любого поля , характеристика которого отличается от 2. Тогда, поскольку и![{\textstyle {\frac {1}{2}}\left(AA^{\textsf {T}}\right)\in {\mbox{Skew}}_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}+{\mbox{Sym}}_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mbox{Mat}}_{n}={\mbox{Skew}}_{n}\oplus {\mbox{Sym}}_{n},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
прямую сумму![{\displaystyle \oplus }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обозначим через стандартное скалярное произведение на . Действительная матрица кососимметрична тогда и только тогда, когда![{\ textstyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \langle Ax,y\rangle =-\langle x,Ay\rangle \quad {\text{for all }}x,y\in \mathbb {R} ^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это также эквивалентно for all (один из выводов очевиден, другой — простое следствие for all и ).![{\textstyle \langle x,Ax\rangle =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ textstyle \ langle x + y, A (x + y) \ rangle = 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle х}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Поскольку это определение не зависит от выбора базиса , кососимметрия — это свойство, которое зависит только от линейного оператора и выбора скалярного произведения .![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кососимметричные матрицы можно использовать для представления перекрестных произведений в виде умножения матриц.
Кроме того, если – кососимметричная (или косоэрмитова ) матрица, то
для всех .![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x^{T}Ax=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Определитель
Пусть – кососимметричная матрица . Определитель удовлетворяет _ _![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(-A)=(-1)^{n}\det(A).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В частности, если нечетно и поскольку основное поле не имеет характеристики 2, определитель обращается в нуль. Следовательно, все кососимметричные матрицы нечетной размерности являются сингулярными, поскольку их определители всегда равны нулю. Этот результат называется теоремой Якоби в честь Карла Густава Якоби (Eves, 1980).![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Четномерный случай более интересен. Оказывается, что определитель для четного можно записать как квадрат многочлена от элементов , что впервые было доказано Кэли: [3]![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \det(A)=\operatorname {Pf} (A)^{2}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Этот многочлен называется пфаффианом и обозначается . Таким образом, определитель вещественной кососимметричной матрицы всегда неотрицательен. Однако этот последний факт элементарно можно доказать следующим образом: собственные значения вещественной кососимметричной матрицы чисто мнимые (см. ниже) и каждому собственному значению соответствует сопряженное собственное значение той же кратности; следовательно, поскольку определитель является произведением собственных значений, каждое из которых повторяется в соответствии со своей кратностью, из этого сразу следует, что определитель, если он не равен 0, является положительным действительным числом.![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Pf} (A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Число различных членов в разложении определителя кососимметричной матрицы порядка уже рассматривалось Кэли, Сильвестром и Пфаффом. Из-за сокращений это число весьма мало по сравнению с числом членов общей матрицы порядка , которая равна . Последовательность (последовательность A002370 в OEIS )![{\ displaystyle s (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п!}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle s (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- 1, 0, 1, 0, 6, 0, 120, 0, 5250, 0, 395010, 0, …
и это закодировано в экспоненциальной производящей функции
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {s(n)}{n!}}x^{n}=\left(1-x^{2}\right)^ {-{\frac {1}{4}}}\exp \left({\frac {x^{2}}{4}}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Последнее уступает асимптотике (при четном)![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s(n)=\pi ^{- {\frac {1}{2}}}2^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {3}{4} }\right)\left({\frac {n}{e}}\right)^{n-{\frac {1}{4}}}\left(1+O\left({\frac {1} {n}}\вправо)\вправо).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Количество положительных и отрицательных членов составляет примерно половину от общего количества, хотя их разница по мере увеличения принимает все большие положительные и отрицательные значения (последовательность A167029 в OEIS ).![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Перекрестное произведение
Кососимметричные матрицы размером три на три можно использовать для представления векторных произведений в виде умножения матриц. Рассмотрим векторы и Затем, определив матрицу![{\textstyle \mathbf {a} =\left(a_{1}\ a_{2}\ a_{3}\right)^{\textsf {T}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \mathbf {b} =\left(b_{1}\ b_{2}\ b_{3}\right)^{\textsf {T}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\ ,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
векторное произведение можно записать как
![{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_ {\times }\mathbf {b} .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
В этом можно сразу убедиться, вычислив обе части предыдущего уравнения и сравнив каждый соответствующий элемент результатов.
На самом деле у одного есть
![{\displaystyle [\mathbf {a\times b} ]_{\times }=[\mathbf {a} ]_{\times }[\mathbf {b} ]_{\times } - [\mathbf {b} ]_{\times }[\mathbf {a} ]_{\times };}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
т.е. коммутатор кососимметричных матриц размером три на три можно отождествить с векторным произведением трехвекторов. Поскольку кососимметричные матрицы размером три на три являются алгеброй Ли группы вращений, это проясняет связь между трехмерным пространством , векторным произведением и трехмерными вращениями. Более подробную информацию о бесконечно малых вращениях можно найти ниже.![{\ textstyle ТАК (3)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \mathbb {R} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Спектральная теория
Поскольку матрица аналогична своей собственной транспонированной, они должны иметь одинаковые собственные значения. Отсюда следует, что собственные значения кососимметричной матрицы всегда входят в пары ± λ (за исключением нечетномерного случая, когда имеется дополнительное неспарное собственное значение 0). Согласно спектральной теореме для вещественной кососимметричной матрицы все ненулевые собственные значения являются чисто мнимыми и, следовательно, имеют форму , в которой каждое из них действительно.![{\displaystyle \lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Реальные кососимметричные матрицы являются нормальными матрицами (они коммутируют со своими сопряженными ) и, таким образом, подчиняются спектральной теореме , которая утверждает, что любая действительная кососимметричная матрица может быть диагонализирована унитарной матрицей . Поскольку собственные значения вещественной кососимметричной матрицы мнимые, диагонализировать их с помощью действительной матрицы невозможно. Однако любую кососимметричную матрицу можно привести к блочно-диагональной форме специальным ортогональным преобразованием . [4] [5] В частности, любую действительную кососимметричную матрицу можно записать в виде где – ортогональна и![{\displaystyle 2n\times 2n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A=Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma = {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1} \\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\ Begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix} 0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\&&&&{\begin{matrix}0\\&\ddots \\&&0\end{matrix}}\end{ бматрица}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
для действительного положительно-определенного . Ненулевые собственные значения этой матрицы равны ±λ k i . В нечетномерном случае Σ всегда имеет хотя бы одну строку и столбец нулей.
В более общем смысле, каждая комплексная кососимметричная матрица может быть записана в форме где является унитарной и имеет приведенную выше блочно-диагональную форму, но при этом остается действительной положительно определенной. Это пример разложения Юлы комплексной квадратной матрицы. [6]![{\displaystyle A=U\Sigma U^{\mathrm {T} }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle U}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кососимметричные и чередующиеся формы
Кососимметричной формой в векторном пространстве над полем произвольной характеристики называется билинейная форма
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi:V\times V\mapsto K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
такой, что для всех в![{\displaystyle v,w}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это определяет форму с желаемыми свойствами для векторных пространств над полями с характеристикой, отличной от 2, но в векторном пространстве над полем с характеристикой 2 это определение эквивалентно определению симметричной формы, поскольку каждый элемент является собственным аддитивным обратным. .
Если векторное пространство находится над полем произвольной характеристики, включая характеристику 2, мы можем определить знакопеременную форму как билинейную форму, такую, что для всех векторов в![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi (v,v)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это эквивалентно кососимметричной форме, когда поле не имеет характеристики 2, как видно из
![{\displaystyle 0=\varphi (v+w,v+w)=\varphi (v,v)+\varphi (v,w)+\varphi (w,v)+\varphi (w,w)=\ varphi (v,w)+\varphi (w,v),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
откуда
![{\displaystyle \varphi (v,w)=-\varphi (w,v).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Билинейная форма будет представлена матрицей такой , что при выборе базиса и, наоборот, матрица on порождает форму, отправляющую на Для каждой из симметричных, кососимметричных и чередующихся форм представляющие матрицы являются симметричными, косыми -симметричные и чередующиеся соответственно.![{\displaystyle \varphi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi (v,w)=v^{\textsf {T}}Aw}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle А}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (v,w)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle v^{\textsf {T}}Ой.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Бесконечно малые вращения
Кососимметричные матрицы над полем действительных чисел образуют касательное пространство к вещественной ортогональной группе в единичной матрице; формально — специальная ортогональная алгебра Ли . В этом смысле кососимметричные матрицы можно рассматривать как бесконечно малые вращения .![{\ displaystyle O (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Другой способ сказать это состоит в том, что пространство кососимметричных матриц образует алгебру Ли группы Ли. Скобка Ли в этом пространстве задается коммутатором :
![{\ displaystyle O (n).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Легко проверить, что коммутатор двух кососимметричных матриц снова кососимметричен:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{ \textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,. \end{выровнено}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда матричная экспонента кососимметричной матрицы является ортогональной матрицей :
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Образ экспоненциального отображения алгебры Ли всегда лежит в компоненте связности группы Ли, содержащей единицу. В случае группы Ли этот компонент связности представляет собой специальную ортогональную группу , состоящую из всех ортогональных матриц с определителем 1. Поэтому определитель будет иметь +1. Более того, поскольку экспоненциальное отображение связной компактной группы Ли всегда сюръективно, оказывается, что любую ортогональную матрицу с единичным определителем можно записать как экспоненту некоторой кососимметрической матрицы. В особо важном случае размерности экспоненциальное представление ортогональной матрицы сводится к хорошо известной полярной форме комплексного числа единичного модуля. Действительно, если специальная ортогональная матрица имеет вид
![{\ displaystyle SO (n),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=\exp(A)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle n = 2,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle n = 2,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
с . Поэтому, положив и можно записать![{\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ displaystyle a = \ соз \ тета}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle b=\sin \theta,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \ left(i\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
что в точности соответствует полярной форме комплексного числа единичного модуля.![{\ displaystyle \ соз \ тета + я \ грех \ тета = е ^ {я \ тета}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Экспоненциальное представление ортогональной матрицы порядка также можно получить, исходя из того, что в размерности любую специальную ортогональную матрицу можно записать как где ортогонально, а S -
блочная диагональная матрица с блоками порядка 2 плюс один порядка 1, если является странным; поскольку каждый отдельный блок порядка 2 также является ортогональной матрицей, он допускает экспоненциальную форму. Соответственно, матрица
S записывается как экспонента кососимметричной блочной матрицы приведенной выше формы, так что экспонента кососимметричной матрицы . И наоборот, сюръективность экспоненциального отображения вместе с вышеупомянутой блочной диагонализацией для косо- симметричных матриц, подразумевает блочную диагонализацию ортогональных матриц.
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \lfloor n/2\rfloor }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Сигма }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S=\exp(\Sigma),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle R=Q\exp(\Sigma) Q^{\textsf {T}} =\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}}),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
без координат
Более внутренне (т. е. без использования координат) кососимметричные линейные преобразования в векторном пространстве со скалярным произведением могут быть определены как бивекторы в пространстве, которые являются суммами простых бивекторов ( 2-лопасти ) . Соответствие определяется выражением отобразить где – ковектор, двойственный вектору ; в ортонормированных координатах это в точности элементарные кососимметричные матрицы. Эта характеристика используется при интерпретации ротора векторного поля (естественно, 2-вектора) как бесконечно малого вращения или «завитка», отсюда и название.![{\displaystyle V}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle v\wedge w.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle v\wedge w\mapsto v^{*}\otimes ww^{*}\otimes v,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle v^{*}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\текстовый стиль v}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Кососимметризуемая матрица
Матрица называется кососимметризуемой, если существует обратимая диагональная матрица, такая что кососимметричная. Для реальных матриц иногда добавляется условие наличия положительных элементов. [7]![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\times n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Ричард А. Реймент; К.Г. Йорескуг ; Лесли Ф. Маркус (1996). Прикладной факторный анализ в естественных науках . Издательство Кембриджского университета. п. 68. ИСБН 0-521-57556-7.
- ^ Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (сентябрь 2005 г.). Очерк теории и проблем линейной алгебры Шаума . МакГроу-Хилл. ISBN 9780070605022.
- ^ Кэли, Артур (1847). «Sur les determinants gauches» [О перекосе определителей]. Журнал Крелля . 38 : 93–96.Перепечатано в Cayley, A. (2009). «Сюр-ле-детерминант гош». Сборник математических статей . Том. 1. С. 410–413. дои : 10.1017/CBO9780511703676.070. ISBN 978-0-511-70367-6.
- ^ Воронов, Теодор. Пфаффиан , в: Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике, под ред. С. Дуплидж, В. Сигел, Дж. Баггер (Берлин, Нью-Йорк: Springer 2005), с. 298.
- ^ Зумино, Бруно (1962). «Нормальные формы комплексных матриц». Журнал математической физики . 3 (5): 1055–1057. Бибкод : 1962JMP.....3.1055Z. дои : 10.1063/1.1724294.
- ^ Юла, округ Колумбия (1961). «Нормальная форма матрицы под унитарной конгруэнтной группой». Может. Дж. Математика . 13 : 694–704. дои : 10.4153/CJM-1961-059-8 .
- ^ Фомин, Сергей; Зелевинский, Андрей (2001). «Кластерные алгебры I: Основы». arXiv : math/0104151v1 .
дальнейшее чтение
- Ивс, Ховард (1980). Элементарная теория матриц . Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-63946-8.
- Супруненко, Д.А. (2001) [1994], «Кососимметричная матрица», Энциклопедия Математики , EMS Press
- Эйткен, AC (1944). «О количестве различных членов в разложении симметричных и косых определителей». Эдинбургская математика. Примечания . 34 : 1–5. дои : 10.1017/S0950184300000070 .
Внешние ссылки
- «Антисимметричная матрица». Вольфрам Математический мир .
- Беннер, Питер; Кресснер, Дэниел. «HAPACK - Программное обеспечение для решения (косых) гамильтоновых задач на собственные значения».
- Уорд, Колорадо; Грей, ЖЖ (1978). «Алгоритм 530: алгоритм вычисления собственной системы кососимметричных матриц и класса симметричных матриц [F2]». Транзакции ACM в математическом программном обеспечении . 4 (3): 286. дои : 10.1145/355791.355799 . S2CID 8575785.Фортран Фортран90